新人教版高二暑期数学衔接第16讲抛物线讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第16讲抛物线讲义(学生版+解析)，共31页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质
2.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
3.了解抛物线的简单应用
【基础知识】
一、抛物线的概念
1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
【解读】
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
特别提醒：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线.
2.抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
二、抛物线的标准方程与几何性质
【解读】
1.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
2.利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.
3.应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
三、直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点:
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A．2B．3C．6D．9
2．(2020年高考全国卷Ⅲ)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，
若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
3.(多选)(2022新高考全国卷 = 2 \* ROMAN II)已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则
A. 直线的斜率为B.
C. D.
4.(多选)(2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I)已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
5.(2022学年江苏省南师附中高二下学期期末)已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则到直线的距离为______.
6.(2022学年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末)已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______．
7.(2021高考全国卷 = 2 \* ROMAN II)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且
．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
8．(2021高考全国卷 = 1 \* ROMAN I)已知抛物线的焦点为，且与圆上
点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【过关检测】
1.设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
2. (2022学年河南省安阳市高二下学期阶段性测试)已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为( )
A．B．
C．D．
3.已知曲线C：y2＝2px(p＞0)，过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝( )
A．B．1C．2D．
4.(2022学年湖北省宜昌市英杰学校高二上学期12月月月考)过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为( )
A．32B．C．64D．
5.(多选)(2022学年湖南省长沙市南雅中学高二下学期期中)已知抛物线C：，圆F：(F为圆心)，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是( )
A．的最小值是B．的最小值是
C．当最大时，D．当最小时，
6.(多选)(2022学年重庆市西南大学附属中学校高二上学期月考)已知抛物线的焦点为，､是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
7.抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________．
8.(2022学年河南省安阳市高二下学期5月月考)已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点(点在轴的上方)，则______．
9.(2022学年山西省太原市山西大学附属中学高二下学期6月诊断)已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
10.(2022学年云南省玉溪第一中学高二下学期期中)已知点为抛物线的焦点，点在上，.
(1)求抛物线的方程；
(2)两条互相垂直的直线均过点，其中一条与交于两点，另一条与直线交于点，判断直线与的位置关系，并说明理由.标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
第16讲 抛物线
【学习目标】
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质
2.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
3.了解抛物线的简单应用
【基础知识】
一、抛物线的概念
1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
【解读】
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
特别提醒：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线.
2.抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
二、抛物线的标准方程与几何性质
【解读】
1.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
2.利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.
3.应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
三、直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点:
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．
故选C．
2．(2020年高考全国卷Ⅲ)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，
若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选B．
3.(多选)(2022新高考全国卷 = 2 \* ROMAN II)已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则
A. 直线的斜率为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确；
对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,设,则,则,代入抛物线得,解得,则,则,B错误；
对于C,由抛物线定义知：,C正确；
对于D,,则为锐角,
又,则为锐角, ,D正确.故选ACD.
4.(多选)(2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I)已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】将点坐标代入得,所以抛物线C的方程为,故准线方程为,A错误；
,所以直线的方程为,
联立,可得,解得,故B正确；
设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,
所以,直线的斜率存在,设其方程为,,
联立,得,
所以,所以或,,
又,,
所以,故C正确；
因为,,
所以,而,故D正确.
故选BCD
5.(2022学年江苏省南师附中高二下学期期末)已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则到直线的距离为______.
【答案】
【解析】，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故到距离为.
6.(2022学年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末)已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______．
【答案】2
【解析】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，
由抛物线定义知：，又且，
所以，故，
又，故.
7.(2021高考全国卷 = 2 \* ROMAN II)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且
．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
(2)设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．
8．(2021高考全国卷 = 1 \* ROMAN I)已知抛物线的焦点为，且与圆上
点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【解析】(1)抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
(2)抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值．
【过关检测】
1.设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】A
【解析】如图所示：
．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
2. (2022学年河南省安阳市高二下学期阶段性测试)已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得：，设，
于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，
即有，则，解得，因此，解得，
所以直线l的方程为：，即.故选D
3.已知曲线C：y2＝2px(p＞0)，过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝( )
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】由抛物线的方程可得焦点F(，0)，准线的方程为：x，
由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为：x＝ty，设t＞0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立，整理可得：，
所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t(t1+y2)+p＝2pt2+p，
所以MN的中点Q(pt2，pt)，
由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p(1+t2)，
|QF|pt，
由直线MN的方程可得tan∠QFP，所以cs∠QFP，
由题意在Rt△QFP中，|PF|p(1+t2)，
所以为定值，所以m的值为，故选A．
4.(2022学年湖北省宜昌市英杰学校高二上学期12月月月考)过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为( )
A．32B．C．64D．
【答案】D
【解析】由抛物线得其焦点，设直线AB的方程为，
与抛物线的方程联立，整理得，即，解得，
所以，
所以，，，
所以四边形的面积为，故选D.
5.(多选)(2022学年湖南省长沙市南雅中学高二下学期期中)已知抛物线C：，圆F：(F为圆心)，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是( )
A．的最小值是B．的最小值是
C．当最大时，D．当最小时，
【答案】AC
【解析】抛物线C：的焦点，圆F：的圆心，半径，
对于A，的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，的最小值是，A正确；对于B，设，则，，
当时，，当时
当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是，B不正确；
对于C，如图所示，要使最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，
所以当最大时，，C正确；
对于D，因的最小值为，即P，A，Q共线，则当最小时，即，D不正确.
故选AC
6.(多选)(2022学年重庆市西南大学附属中学校高二上学期月考)已知抛物线的焦点为，､是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】BD
【解析】对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，A错误；对于B，由题意知：直线斜率存在，设其方程为：，由得：，，B正确；
对于C，若，则直线过焦点，的最小值为抛物线的通径长，C错误；
对于D，，，即点纵坐标为，
到轴的距离为，D正确.故选BD.
7.抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意可得、，设，则，，
又，则，即，
又因为点在直线上，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，因此，的取值范围是.
8.(2022学年河南省安阳市高二下学期5月月考)已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点(点在轴的上方)，则______．
【答案】
【解析】抛物线：的焦点为，准线方程为：，直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，解得，，
依题意，点A的横坐标，点B的横坐标，
由抛物线定义得：.
9.(2022学年山西省太原市山西大学附属中学高二下学期6月诊断)已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
【解析】 (1)由点在上，得，解得，
由抛物线的定义及，得，解得或，
结合，得，
故抛物线的方程为．
(2)显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，
由消去并整理，得，
，直线与一定有两个交点，
设，，则，
设中点为，则，，
即，
线段的中垂线方程为，
令，得，即，
所以，
又，
由，得，解得，
所以．
10.(2022学年云南省玉溪第一中学高二下学期期中)已知点为抛物线的焦点，点在上，.
(1)求抛物线的方程；
(2)两条互相垂直的直线均过点，其中一条与交于两点，另一条与直线交于点，判断直线与的位置关系，并说明理由.
【解析】 (1)解：因为点在上，所以①，
因为，所以由焦半径公式得②，
由①②解得，
所以抛物线的方程为；
(2)解：由(1)得，焦点坐标为，
当有一条直线斜率不存在时，不妨设直线的方程为，则的方程为，
则有，
此时为等腰直角三角形且，
当与的斜率均存在时，不妨设，是与抛物线的交点，
，
则，
联立与抛物线的方程可得，
，
，
，
，
∴，
综上可得，.
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下