2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考三模数学试题（解析版）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考三模数学试题（解析版），共29页。
1．本试卷满分为120分，考试时向为120分钟．．
2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效．
4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚．
5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】∵
∴的倒数是，
故选：A．
2. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的运算法则逐个分析即可.
【详解】A. ，不是同类项，不能合并，不能选；
B. ；不能选；
C ，正确;
D. ,不能选；
故选C
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方已经合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键.
3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握它们的概念是解题的关键．把一个图形绕一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就做轴对称图形．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
4. 若反比例函数的图像经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把点代入，可得.
【详解】把点代入，可得，解得：k=-9.
故选A
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握性质是解题的关键.
5. 下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了小立方块搭成的几何体的三视图，由主视图和俯视图可判断各个位置立方块的个数，再由左视图的定义即可求解；能由主视图和俯视图可判断各个位置立方块的个数是解题的关键．
【详解】解：由主视图和俯视图可得
，
左视图为，
故选：B．
6. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是x（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】方程的两边同乘x（x-1），得
3x-3=4x，
解得x=-3．
检验：当x=-3时，x（x-1）≠0．
∴原方程的解为：x=-3．
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
7. 如图，飞机在空中B处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为，则飞机与指挥台之间的距离为( )米
A. 1200B. 1600C. 1800D. 2000
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正切即可求解，掌握正切的定义是解题的关键．
【详解】解： 由题意得：，
，
∴，且，
∴（米），
则（米）．
故选D．
8. 如图，为的直径，为弦，，点在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，连接，由圆内接四边形的性质可得，由垂径定理得，进而由圆周角定理可得，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∴，
故选：．
9. 已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（ ）
A. ，3B. ，C. 2，D. 2，3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键．
【详解】解：二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位，
得到二次函数，
故选：D．
10. 在一次越野赛中，甲选手匀速跑完全程，乙选手小时后速度为每小时10千米，两选手的行程y(千米)随时间x(小时）变化的图像（全程）如图所示，则乙比甲晚到（ ）小时．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标，可得时间，观察函数图象的纵坐标，可得相应的路程．先根据甲的速度和所用时间求出总路程，然后求出乙在小时内通过的路程，再求出乙剩余路程所用时间，最后求出乙比甲晚到时间即可．
【详解】解：由图可知：甲的速度为：（千米/时），甲用的时间为2小时，
∴总路程为（千米）．
根据图可知：乙在小时内，乙的速度为：
（千米/时）
则乙在小时内通过的路程为：
（千米），
∴小时内跑了（千米），
剩余的路程所用时间为：
（小时），
乙所用的总时间为：（小时），
∴乙比甲晚到（小时），
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 把数字用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法的运用，掌握运用乘方表示较大数的方法，理解中的取值是解题的关键．
12. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
13. 函数中，自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，分母不等于0式子才有意义.
【详解】要使有意义，x+5≠0,
所以，
故答案为:
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分母不为0是解题的关键.
14. 把多项式b3﹣6b2+9b分解因式的结果是________．
【答案】b（b﹣3）2
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查了因式分解的方法：提公因式法和公式法，提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解，特别注意要分解完全．
15. 不等式组的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集．
【详解】解答：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是解不等式．
16. 一个扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长和扇形面积关系可得10π=×R×4π，求出R，再根据扇形面积公式求解.
【详解】∵一个扇形的弧长是4π，面积是10π，
∴S=Rl，即10π=×R×4π，解得：R=5，
∴S=10π=，解得：n=144，
故答案为1440．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.
17. 为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为__________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，列表后利用概率计算公式求解即可，掌握列表或画树状图求概率的方法是解题的关键．
【详解】解：列表如下：
共有种等可能结果，其中一名男生和一名女生的结果有种，
抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为，
故答案：．
18. 为了配合新型冠状病毒的防控工作，某药店将某药品经连续两次降价后，售价变为原来的81%．若两次降价的百分率相同，则该药品每次降价的百分率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为x%，原售价为a元，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】设每次降价的百分率为x%，原售价为a元，
由题意可知：a（1﹣x%）2＝81%a，
∴x＝10或x＝190（舍去），
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意并找到等量关系是关键．
19. 在正方形中，，交于点O，点E在射线上，过点O作，交射线于点F，连接．若，则的长为__________．
【答案】5或
【解析】
【分析】根据题意画出示意图，分点E在上，点E在延长线上，两种情况讨论，根据正方形的性质证明，推出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，当点E在上时，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，；
如图，当点E在延长线上，
同理可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
综上，的长为5或，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确画出示意图，判定三角形全等是解题的关键．
20. 如图，在中，，平分，F为边上一点，连接交于点E．若，，，则长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是相似三角形综合题．作出适当的辅助线是解答本题的关键．延长到H，使，作交于G．证明，则．求出，得到，．证得，则，得到，求出，则．求出，得到，即可得到．
【详解】解：如图，延长到H，使，作交于G．
，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25~27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中.
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再把锐角三角函数值化简代入即可.
【详解】解：原式

原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为对角线，线段的端点A、B在小正方形的顶点上．
（1）在图中的同侧画一个以为腰的等腰直角三角形，点E在小正方形的顶点上；
（2）点P在图中线段上，连接，当的值最小时，画出点P，并求出的最小值．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定、勾股定理、轴对称作图等知识， 准确作图是解题的关键．
（1）借助网格特点和等腰直角三角形的定义，作图即可；
（2）根据轴对称的性质和勾股定理进行解答即可．
【小问1详解】
如图，等腰直角三角形即为所求，
【小问2详解】
如图所示，点P即为所求，
23. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）69，74，54；
（2）见解析 （3）大约有1725名学生达到适宜心率．
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角；
（2）根据样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
将A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
∴中位数为；
∵74出现的次数最多，
∴众数是74；
，
∴在统计图中B组所对应扇形圆心角是；
故答案为：69，74，54；
【小问2详解】
∴C组的人数为30，
∴补全学生心率频数分布直方图如下：
【小问3详解】
（人），
∴大约有1725名学生达到适宜心率．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．
24. 如图1，在中，，点M、N分别为边的中点，连接．
初步尝试：（1）与的数量关系是__________，与的位置关系是__________．
特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A、E、F在同一直线上时，与相交于点D，连接
①求时度数；
②求的长．
【答案】（1）；；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据中位线的判定与性质即可得出结果；
（2）①根据中位线性质，旋转性质，以及解直角三角形的相关计算求出，从而推出为等边三角形，进而求出结果；②先证明，得到，根据勾股定理求出的长，设，则，即可求出，进而得出结果．
【详解】解：（1）在中，点M、N分别为边的中点，
为中位线，
，且，
故答案为：；；
（2）①如图，连接，
，，
，
分别为边的中点，
，
，
由旋转性质可知，
三点共线，
，
∵在中，，
，
即，
，
为等边三角形，
，
，
；
②如图，连接，
由题意可知，，
，
,
，
由①得,在中，
，
设，，
，
，
，
,解得，
，
．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关应用，旋转性质求解，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键．
25. 振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进本甲种图书和本乙种图书共需元，若购进本甲种图书和本乙种图书共需元.
求甲、乙两种图书每本进价各多少元；
该书店购进甲、乙两种图书共本进行销售，且每本甲种图书的售价为元，每本乙种图书的售价为元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？
【答案】（1）30；（2）70
【解析】
【分析】（1）设每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元，得，解方程组可得；（2）设该书店购进乙种图书本，购机甲种图书本.根据题意，得，解不等式组可得.
【详解】（1）解：设每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元.
根据题意 得解得：
答：每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元.
（2）解：设该书店购进乙种图书本，购机甲种图书本.
根据题意 得
解得
答：该书店至少购进乙图书本.
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的运用，理解题意找出等量关系是解题的关键.
26. 已知：内接于，，连接并延长交于点D，交于点E，于点F，交于点G．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点H，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点R为弧上一点，连接、，交于点P，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接、，由可判定，由全等三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，即可得证；
（2）连接AH，，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形的中位线得，由直角三角形的特征即可得证；
（3）连接，过点G作交于，设，则有，，由勾股定理得 ，由得，从而可求出，由勾股定理得 ，由正弦函数得 ，可求出，由正切函数得，可得，由角的和差得 ，由勾股定理得 ， ，由余弦函数得，，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接、，
在和中
，
()，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：连接AH，，
，
，
，
，
由（1）得：
，
，
在和中
，
()，
，
，为直径，
平分BC，
，
为中位线，
，
，，
，
；
【小问3详解】
解：连接，过点G作交于，
直径，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
同理可证：()，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理及其推论，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形等，掌握相关的判定方法及性质，熟练解直角三角形求解，能根据圆中常见辅助线，作出恰当的辅助线是解题的关键．
27. 已知在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于点A、C两点，与经过点A的直线相交于另一点B，直线交y轴于点E．
（1）如图1，求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接、，设点P的横坐标为t，三角形的面积为S，请求出S与t的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，将线段沿过点P且平行于y轴的直线翻折交线段与点D，过点D作分别交、y轴、x轴于点G、H、F．连接，若，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数解析式，先求出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴于点G，交于点Q，根据点P的横坐标为t，得出点P和点Q的坐标，表示出，根据三角形面积公式求出函数解析式即可；
（3）过点E作轴交的延长线于点M，延长交于点N，过点P作于点R，证明，得出，， 证明，得出，证明四边形为矩形，根据点P的横坐标为t，得出，求出，证明，得出，求出，
得出，求出，最后根据两点间距离公式，求出结果即可．
【小问1详解】
解：在中，令得，
解得：

把代入得：，
抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：过点P作轴于点G，交于点Q，
点P的横坐标为t
垂直于x轴，
∴点Q坐标为，
，
．
【小问3详解】
解：过点E作轴交的延长线于点M，延长交于点N，过点P作于点R，如图所示：
根据折叠可知：，
∵轴，
∴，
∴，
设，则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
，
，
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∵点P的横坐标为t，
，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
，
解得，
∴点P的坐标为，
，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，求二次函数解析式，两点间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．男
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，女）