2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考三模数学试题（解析版）

这是一份2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考三模数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了这组数据的中位数和众数分别是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.
的绝对值是（ ）
A. B. ﹣C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可解答．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则计算判断A，根据幂的乘方法则计算判断B，然后根据积的乘方法则计算判断B，最后根据合并同类项的法则计算判断D．
【详解】因为，
所以A正确；
因为，
所以B不正确；
因为，
所以C不正确；
因为，
所以D不正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从上面看：共有3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形，据此可画出图形．
【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
5. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 9，8B. 9，9C. 8.5，9D. 8，9
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可．
【详解】解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9；
从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位线是8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，解题的关键是熟练掌握将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值．如果一组数据有偶数个，那么中位数就是处于中间位置的两个数的平均值．
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，然后问题可求解．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：，
∴原不等组的解集为，；
在数轴上表示为
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7. 如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）

A. 60°B. 50°C. 45°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可．
【详解】延长交直线n于点D，如图所示．

∵，
∴．
在中，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解．
详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得
故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的性质进行解答即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为，
∴点A的对应点A′的坐标为或，即或，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
10. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交，于点，，连接．下列说法错误的是（ ）
A. 直线是的垂直平分线B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 一个七边形的内角和度数为______度．
【答案】900
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（且n为整数），应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：七边形的内角和，
故答案为：900．
14. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据所给抛物线的解析式即可得，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
15. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有________个．
【答案】
【解析】
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有个，
则，
答：红球的个数约为个．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
16. 在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”；
乙说：“红桃A不在我手上”；
丙说：“红桃A肯定不在甲手上”．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在______的手上．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．由题意知，若甲正确，则乙正确，甲、乙同学说法均正确，不符合要求；若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙、丙同学说法均正确，不符合要求；若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，若甲正确，则乙正确，甲乙同学说法正确，故不符合要求；
若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙丙同学说法正确，故不符合要求；
若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，
∴当三个同学中只有一个说对了，则红桃A在乙的手上，
故答案为：乙．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算的法则进行计算，再代入进行计算即可得；掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

【答案】垂直高度约为米
【解析】
【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，，可以求出长度，即可求出．
【详解】解：过点作于，作于，则四边形矩形，

，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算．
20. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：

请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】（1），，．
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：抽取学生总数（人），
，
，
．
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如图：
【小问3详解】
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而得出，证明，根据证明，即可得证；
（2）证明是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ 即
在和中
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴（菱形的四条边都相等）
∴菱形的周长.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
【答案】（1）每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米
（2）该服装厂最少需要生产60套B款服装
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产套A款服装，根据所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意得：，
解得：．
答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米；
【小问2详解】
设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产套A款服装，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装．
23. 如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

（1）求证：；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设，
是的直径，
，
，
，即，
根据（1）中的结论，可得，
根据勾股定理，可得，即，
解得，（舍去），
，,
根据勾股定理，可得；
解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F，

，
，
，
，即，
，，，
，
，
，
设，则，
，
可得方程，解得，
，，
根据勾股定理，可得．
解法二：如图，连接,

，，
，
，
又，，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．
24. 已知y是关于x的函数，若其图象经过点，则称点S为函数图象上的“双语点”．例如：直线上存在“双语点”．
（1）判断在下列关于x的函数中，是否存在“双语点”．存在的请在相应题目后的括号打“√”，不存在的请在相应题目后的括号打“×”；
①（ ）；②（ ）；③（ ）
（2）若抛物线上有两个“双语点”和，当时，求m的值；
（3）若关于x的函数的图象上存在两个“双语点”C和D，且同时满足①，②时，求线段CD长度L的取值范围．
【答案】（1）√，×，×
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“双语点”的定义解答即可；
（2）将代入抛物线整理得，由抛物线有2个双语点可知，求出，由整理得，进而可求就出m的值；
（3）由，可得，由双语点的定义得，整理得，求出，，然后根据两点间的距离公式求解即可．
【小问1详解】
∵当时，，
∴存在“双语点”；
∵当时，方程无解，
∴不存在“双语点”；
∵当时，
，
，方程无解，
∴存在“双语点”；
故答案为：√，×，×；
【小问2详解】
设抛物线“双语点”的坐标为，
将点S的坐标代入抛物线中得：
，
，
∵“双语点”为和，
∴、是方程的两个根，
则，，
，
∴，
∴，
又∵，
化简得：，，，（舍去），
综上所述；
小问3详解】
∵，∴，
∵，∴且，∴，
∵，∴，
∴，，
，
，
∵，
∴．
【点睛】本体考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，两点间的距离公式，理解双语点的含义是解答本题的关键．
25. 如图1，为的外接圆，点B为的中点，点F为劣弧上除弧中点外一动点，连接，，连接交于D点，过F点作的切线交直线于E点．
（1）连接，则______，若，则的面积______；
（2）判断的形状，并进行证明；
（3）已知半径为r，如图2，取延长线上一点G，连接，且平分．
①求；（结果用r表示）
②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）
【答案】（1）120；
（2）是等腰三角形，理由见解析
（3）①；②为定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理易证为等边三角形，即可求出，根据等腰三角形三线合一的性质及解直角三角形即可求解；
（2）连接，延长交于点N，连接，根据等腰三角形性质及切线的性质得到，从而得到，即可得出结论；
（3）①连接，由等边三角形的性质及切线的性质易证，利用相似三角形的性质即可求解；②设，，，则，，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点O作，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，故为等边三角形，
∴，，
∴是的等腰三角形，，
，，
∴，
的面积；
【小问2详解】
解：是等腰三角形．
理由如下：连接，延长交于点N，连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①连接，
由（2）得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴；
②为定值，理由如下：
设，，，
∴，，
∵平分，
∴点C到，的距离相等，设距离为h，
∴，
∵，
∴，即，整理得，即，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，切线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
成绩/分
频数/人
频率
10
0.1
15
b
a
0.35
40
c