湖南省长沙市2024年初中学业水平考试押题密（二）数学试题

这是一份湖南省长沙市2024年初中学业水平考试押题密（二）数学试题，共12页。试卷主要包含了223×1011B．2，5次/分C．70次/分D．72等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．−2024的相反数是（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
2．如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x5−x3=x2B．x2⋅x3=x6C．−3ab23=−27a3b6D．x8÷x2=x4
4．将一块三角板ABC和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点G，若∠ADE=α，则∠CGF的大小是（ ）
A．90°+αB．180°−αC．45°+αD．135°−α
5．2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.223×1011B．2.23×1010C．22.3×109D．223×108
6．如图，用尺规作图作已知角平分线，根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
7．适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表：
则这15名学生心率的中位数是（ ）
A．65次/分B．67.5次/分C．70次/分D．72.5次/分
8．一次函数y=x−5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量AC=2dm，BD=3dm，则这个风筝的面积是（ ）
A．6dm2B．3dm2C．32dm2D．34dm2
10．A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘．那么小强已经赛了（ ）盘
A．2盘B．3盘C．4盘D．5盘
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：11x2−11= ．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD=124°，则∠A的度数为 ．
13．若一个扇形的圆心角为120°，直径是6，则这个扇形的面积是 ．
14．已知反比例函数y=k−2x的图象位于第二、四象限，则k的值可以是 ．（任意写一个满足条件的k值）
15．方程1x−3=1的解是 ．
16．如图，在四边形ABCD中， AB=BC=43，∠B=60°，∠D=120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：π−10−2sin60°+3−−3；
18．先化简，再求值：x−2y2−x+y3x−y−5y2，其中x=−2，y=1．
19．某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为10°，已知两楼的间距CE为50米，教学楼高BC为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度AE．（参考数据sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
20．第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．“跳水”是学生喜欢的运动项目之一，为了解学生对“跳水”知识的了解程度，某学校从200名喜欢“跳水”运动的学生中随机抽取了50学生进行了测试，将他们的成绩（百分制）分成五组，绘制成如下频数直方图．
(1)已知90≤x≤100这组的数据为91、95、97、94、92、98、92，92．则这组数据的中位数是______，众数是______；
(2)根据题中信息，如果这200名喜欢“跳水”运动的学生全部进行测试，估计学生成绩在70≤x≤90的总人数；
(3)学校想要从成绩在50≤x≤60的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表法或树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，A−1,−2，B−2,−4，C−4,−1．
(1)把三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形A′B′C′，请画出三角形A′B′C′，并写出点B′，C′的坐标；
(2)求三角形ABC的面积．
22．中国中央电视台2024年春晚的主题为——“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．龙行龘（dá dá）为中国古文，出自四库本《玉篇》23龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销售量的增长率相同．
(1)求该款T恤销量的月平均增长率；
(2)3月份以后，该款T恤的销量逐渐减少，如果月销量平均下降率与平均增长率相同，估计5月份时该款T恤的销售量为_______件．
23．我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．
(1)下列图形：①有一个内角为45°的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）；
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，在菱形ABCD的外部以CD为斜边作等腰直角△CDN，连接MN．
①求证：四边形DMCN是对角直角四边形；
②若点N到BD的距离是2，求四边形DMCN的面积．
24．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AD=BD．
(1)如图1，求证：AE=BE；
(2)如图2，AC上有一点G，连接BG、CG，BG交CD于点F，若CG=CF，求证：∠GCF=2∠FBE；
(3)如图3，在（2）的条件下，过F作FH⊥CG于H，延长HF交AB于点M，若FHAB=35，BM=5，求⊙O的半径长．
25．我们定义：点P在一次函数y=ax+b上，点Q在反比例函数y=cx上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y=ax2+bx+c为一次函数和y=ax+b反比例函数y=cx的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P−1,−2在y=x−1上，点Q1,−2在y=−2x上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y=x2−x−2为一次函数y=x−1和反比例函数y=−2x的“向光函数”，点P−1,−2是“幸福点”．
(1)判断一次函数y=x+1和反比例函数y=−2x是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
(2)若一次函数y=x−k与反比例函数y=k+3x只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
(3)已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y=ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①a+b+c=0②“向光函数”经过点−3,4，③ a>b>0，记四边形ACBD的面积为S，求Sa的取值范围．
心率/（次/分）
60
68
70
73
80
人数/名
2
5
5
1
2
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．11(x+1)(x−1) 12．56° 13．3π
14．0（答案不唯一） 15．x=4 16．833
三、解答题
17．【详解】解：π−10−2sin60°+3−−3
=1−2×32+3−3
=1−3+3−3
=−2．
18．【详解】解：原式=x2−4xy+4y2−3x2−xy+3xy−y2−5y2
=x2−4xy+4y2−3x2+xy−3xy+y2−5y2
=−2x2−6xy，
当x=−2，y=1时，原式=−2×−22−6×−2×1=4．
19．【详解】解：由题意得，四边形BCED是矩形，
∴BD=CE=50，DE=BC=16，
∵∠ABD=10°，
∴AD=BD⋅tan10°=50×0.18=9（米），
∴AE=DE+AD=16+9=25（米），
答：实验楼的高度为25米．
20．【详解】（1）解：将数据从小到大重新排列为91、92、92、92、94、95、97、98．
92出现了三次，现出次数最多，则众数是92；
排在中间的两个数是92、94，则中位数是90+942=93，
故答案为：93，92；
（2）解：200×12+1650=112（人），
答：估计学生成绩在70≤x≤90的总人数为112人；
（3）解：用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，
∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是1012=56．
21．【详解】（1）解：如图，三角形A′B′C′即为所求，
点B′，C′的坐标为B′1,−2，C′−1,1；
（2）三角形ABC的面积为3×3−12×3×2−12×1×2−12×3×1=3.5．
22．【详解】（1）设该款T恤销量的月平均增长率为x，根据题意得：50001+x2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不符合题意，舍去）．
答：该款T恤销量的月平均增长率为20%；
（2）根据题意得：7200×1−20%2=4608（件），
∴估计5月份时该款T恤的销售量为4608件．
故答案为：4608．
23．【详解】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有90°的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为90°，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为90°，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为90°，但对角不一定为90°，不是对角直角四边形．
故答案为：②．
（2）①证明:∵.四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠CMD=90°，
∵△CDN是等腰直角三角形，
∴∠CND=90°，
∴∠CMD=∠CND=90°，
∴四边形DMCN是对角直角四边形；
②如图：过N作NH⊥BD于H，NG⊥AC于G，
∴∠HMG=∠MGN=∠MHN=90°，
∴四边形MHNG是矩形，
∴∠HNG=90°，
∵∠DNC=90°，
∴∠HND=∠CNG，
∵∠NHD=∠NGC=90°，DN=CN，
∴△DNH≌△CNGAAS，
∴HN=GN=2,
∴四边形MHNG是正方形，
∴四边形DMCN的面积=正方形MHNG的面积=2×2=4.
24．【详解】（1）证明：如图所示，连接AC，BC，AD，BD，
∵AD=BD，
∴AD=BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴CBD=CAD，
∵AD=BD，
∴AC=BC，
∴AC=BC，
∴CD垂直平分AB，
∴AE=BE；
（2）证明：如图所示，连接BD，
∵CG=CF，
∴∠CFG=∠CGF，
又∵BC=BC，
∴∠CDB=∠CGF，
∵∠DFB=∠CFG，
∴∠DFB=∠BDF，
则BF=BD，
∵DG=DG，则∠GCD=∠GBD，即∠FBD=∠FCG，
又∵AB⊥CD，
∴∠FBE=12∠FBD=12∠GCF，
∴∠GCF=2∠FBE；
（3）解：如图所示，连接AC交HM于点P，连接GP并延长交CD于点N，
∵∠GCF=2∠FBE，
设∠FBA=α，
∵∠GCA=∠GBA=α，
∴∠ACE=∠GCF−∠GCA=α=∠GCA，
∵CG=CF，
∴CA⊥GB，
∴CA垂直平分GF，
∴PG=PF，
∴GN⊥CD（三角形的三条高交于一点），
∵∠CAB=90°−α，∠CPN=90°−α=∠CPH=∠APM，
∴∠MAP=∠MPA，
∴MA=MP，
∵FH⊥CG，CG=CF，
∴S△CGF=12CG×FH=12CF×GN，
∴GN=FH，
∵FHAB=35，
∴GNAB=35，
又AE=EB，GN∥AB，
∴△GFN∽△BFE，
∴GNEB=GN12AB=65=GFFB，
∵PN∥BM，
∴△GPF∽△BMF，
∴PFFM=PGMB=GFFB=65，
∵BM=5，
∴PF=PG=6，MF=5，
∴MP=MF+PF=11，
∴MA=MP=11，
∴AB=MA+MB=16，
则AE=CE=12AB=8，EM=EB−BM=8−5=3，
∴EF=FM2−EM2=52−32=4，
∴tanα=FEEB=48=12，
∴tanα=AECE=12，
∴CE=2AE=16，
连接OB，设圆的半径为r，在Rt△OBE中，OE=16−r，
∴r2=16−r2+82，
解得：r=10，即圆的半径为10．
25．【详解】（1）假设一次函数y=x+1和反比例函数y=−2x是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为P(m,n)，则Q(−m,n)
∴m+1=n−2−m=n，解并检验得：m1=1n1=2，m2=−2n2=−1，
∴一次函数y=x+2和反比例函数y=−3x是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为(1,2)，(−2,−1)；
（2）∵一次函数y=x−k关于y轴对称的直线函数解析式为y=−x−k，而且一次函数y=x−k与反比例函数y=k+3x只有一个“幸福点”，
所以y=−x−k与反比例函数y=k+3x只有一个交点，
∴y=−x−k③，y=k+3x④，
整理得：x2+kx+(k+3)=0，
Δ=k2−4(k+3)=0，
解得：k1=−2，k2=6，
当k=−2时，则一次函数y=x+2与反比例函数y=1x只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：y=x2+2x+1，
当k=6时，则一次函数y=x−6与反比例函数y=9x只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：y=x2−6x+9，
∴“向光函数”的解析式为：y=x2+2x+1或y=x2−6x+9．
（3）∵一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y=−ax+b上，
∴A、B关于y轴对称的点A′、B′是y=−ax+b与y=cx的交点坐标，
∴−ax+b=cx，
整理得：ax2−bx+c=0，
又∵“向光函数”为y=ax2+bx+c，
∴y=ax2−bx+c与“向光函数”为y=ax2+bx+c关于y轴对称，
∴xB−xA=xA′−xB′，
∵“向光函数”y=ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c=0②“向光函数”经过点(−3,4)，③a>b>0，
∴D(1,0)，c＜0
∴a+b+c=09a−3b+c=4，
∴b=2a−1c=1−3a，
即“向光函数”为y=ax2+(2a−1)x+(1−3a)
又∵a>b>0，
∴a>2a−12a−1>01−3a