山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

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本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为
A．B．C．D．
2．若是不共线的向量，且，，，则
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
3．
A．B．C．D．
4．已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为
A．B．C．D．
5．已知，是第二象限的角，则
A．B．C．D．
6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为
A．B．C．D．
7．如图，矩形是水平放置四边形的直观图，若，，则原四边形的周长是
A．
B．
C．
D．
8．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．
9．下列有关平行六面体的命题正确的是
A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
B．平行六面体的八个顶点在同一球面上
C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形
D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面
10．如图，，，线段，相交于点，则
A．
B．
C．
D．
11．相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆的半径为，弦，相交于点．且，则
A．
B．
C．当时，为定值
D．当时，四边形的面积最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数（），函数的图象关于点对称，且函数图象上相邻最高点和最低点的距离为，则_____________．
13．已知正三角形与正方形的中心为同一点，的边长为，则______________．
14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知复数．
（1）求；
（2）若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值．
16．（15分）
在等腰梯形中，，，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
17．（15分）
在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在中，角所对的边分别为，已知_________．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．
18．（17分）
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，
求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面
的高度为，求在转动一周的过程中，关于的
函数解析式；
（2）证明：；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）．
（参考数据：）