2024邢台邢襄联盟高一下学期第三次月考试题数学含解析

这是一份2024邢台邢襄联盟高一下学期第三次月考试题数学含解析，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，且，则在上的投影向量为，是内一点，，，则，若，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．样本数据12，11，7，15，9，10，12，8的中位数是（ ）
A．12B．11C．10D．10.5
2．为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本．已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550．现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．已知在R软件的控制台中，输入“sample（1：20，4，replace＝F）”，按回车键，得到的4个1～20范围内的不重复的整数随机数为12，6，10，4，则这4个整数的标准差为（ ）
A．B．C．40D．10
4．如图所示，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中数据在内的个数为（ ）
A．225B．295C．235D．305
6．已知样本数据，，…，的平均数为14，样本数据，，…，的平均数为，若样本数据，，…，，，，…，的平均数为，则（ ）
A．12B．10C．2D．11
7．已知，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．是内一点，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若，则
C．若在复平面内对应的点位于第一象限，则
D．若，则
10．已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ）
A．A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多
B．图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%
C．图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为4.58%
D．若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变
11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，，点的曲率为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线平面
B．在三棱柱中，点的曲率为
C．在四面体中，点的曲率小于
D．二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数的虚部为_________．
13．已知向量，，．若，则_________；若，则向量与的夹角为_________．
14．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，河北廊坊市某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程．为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为，，，，（，，，，，）．已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知第10～19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示．
（1）求第10～19届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
（2）剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
（3）设第10～12届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由．
16．（15分）
在中，．
（1）求角的大小；
（2）若在边上，，且，，求的面积．
17．（15分）
已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．
（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）．
（1）根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？
（2）根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由．
18．（17分）
已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）．
尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中．
（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．
（2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元．
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元．
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案．
19．（17分）
如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且，，分别为线段，，的中点．
（1）证明：．
（2）证明：平面平面．
（3）若，，，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积．
2023—2024学年高一（下）第三次月考
数学参考答案
1．D 将数据从小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．故这组数据的中位数是．
2．A 依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为．
3．B 这4个整数的平均数为，
则这4个整数的标准差为．
4．C ．
5．C 因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为，故样本中数据在内的个数为．
6．B 根据题意可得，解得．
7．A 如图，依题意可得点为的外心．
因为，所以，所以，则四边形为菱形．设，则．因为，所以在上的投影向量为．
8．D 设，因为，所以．
由正弦定理可得，，
则，则，
解得．
9．AD 若为实数，则，A正确．若，则，则解得，B错误．若在复平面内对应的点位于第一象限，则解得，C错误．若，则，解得，，则，D正确．
10．ABD 由图中统计数据，可得A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，A正确．因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，B正确．因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，C错误．若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确．
11．ABD 取的中点，连接，．因为，，分别为，，的中点，所以可证平面平面，因为平面，所以直线平面，A正确．
在直三棱柱中，平面，则，，所以点的曲率为，解得，因为，所以，所以点的曲率为，B正确．
连接，易证平面，则，所以，又，所以，在四面体中，点的曲率为，C错误．
过作的延长线，垂足为，连接，则，则为二面角的平面角，通过计算得，则，所以，D正确．
12．2 因为，所以复数的虚部为2．
13．3； 若，则，得．若，则，即，解得，则，．设向量与的夹角为，则，因为，所以．
14．0 依题意得，，化简得，．易知，，得．
又因为，所以，，，，这5个数的绝对值不超过4．当时，，无解；当时，，由，，，，，，得这四个平方数只能为0，1，1，9，则，，，，符合题意，此时；当时，，无解．综上，．
15．解：（1）第10～19届亚运会中国队获得的金牌数的极差为．
（2）剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为．
（3）．
理由如下：
因为第10～12届亚运会中国队获得的金牌数的波动性比第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以．
16．解：（1）由题意得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）因为，所以，
在中，由正弦定理得，解得，
则或（舍去），得，
则．故．
17．解：（1）由题意得，就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为，
这200人平均分布在10个自选快餐窗口，平均每个窗口等待取餐的人数为，所以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为分钟．
（2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台．
自选快餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟；
商务套餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟；
现炒现做高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟；
自动售货机高峰期就餐总人数为，每台售货机等待人数为，最长等待时长为分钟．
依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，
则可得，即有．
因为．所以，，，．
故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台．
18．解：（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为．
（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为．
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为．
故．
因为，所以．
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．
19．（1）证明：如图，连接，与交于点．
因为平面，平面，所以．
又因为，，所以平面．
因为平面，所以．
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则．
因为平面，所以，，
所以，即．
（2）证明：延长交于点，连接．
由中位线性质可得，因为，所以．
因为平面，平面，所以平面．
易得为的中点，则．
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面．
（3）解：设，．
因为，所以，
则，，．
设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则．
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大．
的体积．