【数学】黑龙江省哈尔滨市2024年中考考前最后一卷（解析版）

这是一份【数学】黑龙江省哈尔滨市2024年中考考前最后一卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．2024D．－2024
【答案】A
【解析】
∴的相反数是
故选：A
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
4．如图，某几何体由8个完全相同的小正方体搭成，其箭头所指为主视方向，则该几何体的左视图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据左视图的定义：：由物体左边向右做正投影得到的视图，也就是从图的左边往右边看．
所以，从左往右看可以得到：
故选：C．
5．如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接，
∵半径长，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵点A、B、C是三等分点，
∴，
∴，
故选：A．

6．2023年11月1日，中国邮政发行《科技创新（四）》纪念邮票一套5枚，将我国取得的5项重大科技成果的创新点和要素浓缩在小小的方寸之间某中学开展“科技节”活动，要从如图所示的5个主题中随机选择两个进行宣讲，则选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】5个主题分别用A、B、C、D、E表示，
画树状图如下：
共20种等可能的结果数，其中恰好选到“A”和“D”有2种，
∴选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率为．
故选：B．
7．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为尺，绳索长为尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设竿长为x尺，绳索长为y尺，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，
，
将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺，
，
，
故选：B．
8．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【解析】，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
∵分式方程的解是非负数，，
∴，
解得，且，
故选：D．
9．如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，记与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D
10．甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开A地的距离与甲行驶时间的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：①乙车速度是；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早到达B地．其中正确的有（ ）

A．①②③④B．①②C．①②③D．②③④
【答案】A
【解析】（千米/小时），
即乙车速度是，故①正确；
由题意，得．故②正确；
，则，
故③正确；
设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，
把代入得：，
解得，
∴，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把代入得：，
解得：，
∵乙车的行驶速度：，
∴乙车行驶需要，
∴，
∴乙车比甲车早到达B地．故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．某品种的牡丹花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12．已知，求自变量取值范围 ．
【答案】且
【解析】根据题意得：，
解得：且，
故答案为：且．
13．计算： ．
【答案】5
【解析】
，
故答案为：5．
14．分解因式： ．
【答案】
【解析】

，
故答案为：．
15．不等式组的解集 ．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
故答案为：
16．如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【解析】延长交轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积为4，
∴，，
∴，
∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限，
∴，
∴；
故答案为：．
17．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ．
【答案】
【解析】点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，
，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
∴点的横坐标为.
18．如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ．
【答案】
【解析】∵正六边形的外角和为
∴每一个外角的度数为
∴正六边形的每个内角为
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，
解得：
∴这个圆锥高
故答案为：．
19．如图，在矩形中，，，点E、点F分别在上，，若P为矩形上一点，则当为直角三角形时，斜边长为 ．
【答案】或或
【解析】∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，，
显然点P与点E重合时，为直角三角形，此时斜边长为；
当点E为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴斜边长为；
当点F为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
过点P作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合，
∴，
∴斜边长为；
综上，斜边长为或或．
20．在矩形中，，，将沿翻折得到，F是上一点，连接，若，则线段的长度是 ．
【答案】
【解析】过作交于点，另交于点，过作于，
根据，，可得，
有，
∴，，，
∴，
在中，设，则，
∵，
∴，
，
在中，有，
即：，
整理得：，
，
(不合题意，舍去)，，
∴，
故答案是：．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分，其中21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
又，
上式．
22．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
①在图（1）中，过点A画的平行线；
②在图（2）中，画的中线；
③在图（3）中，画的角平分线．
解：①如图（1），即为所求作：
点B向上平移4格得到点A，可知将点C向上平移4格即可得到点G，
；
②如图（2），即为所求作：
四边形是矩形，
与互相平分，
点H为的中点，
为的中线；
③如图（3），即为所求作：
由勾股定理得，，
延长至点D，则，
为等腰三角形，
取的中点E，连接交与点K，
平分．
23．某校开展了安全知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息：
七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七八年级抽取的竞答成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)求扇形统计图中B组成绩所在扇形圆心角的度数；
(3)该校七、八年级共有学生1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数．
（1）解：由题可知，七年级随机抽取名学生的竞答成绩，其中C组所占百分比为，D组所占百分比为，
∴C组人数为（人），D组人数为（人），
其中B组有名学生的竞答成绩，
∴A组有（人），
将七年级竞答成绩从低到高进行排列，第、位竞答成绩是分、分，
∴七年级被抽取学生竞答成绩中位数为（分），
∵八年级被抽取学生的竞答成绩出现次数最多的是分，
∴八年级被抽取学生的竞答成绩众数是分，
又，即，
故答案为：，，．
（2）解：，
答：图中B组成绩所在扇形圆心角的度数为．
（3）解：（人），
答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于分的有人．
24．为展青年华彩，丰富校园生活，激发学生英语学习兴趣，某校举办“趣味横声 英你精彩”英文合唱比赛．王老师负责本次英文合成比赛的奖品采购，经过调查，选择A奖品为一等奖，B奖品为二等奖，已知购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同．
(1)求A、B两种奖品的单价；
(2)本次英文合唱比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，实际购买时A种奖品可打7折，请你帮王老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费．
（1）解：设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：A、B两种奖品的单价分别为50元，30元；
（2）解：设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，
∴，
∵一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，
∴，
∴，
∵，，
∴w随m增大而增大，
又∵m为正整数，
∴当时，w最小，最小值为，此时，
∴当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元．
25．【问题提出】
（1）如图①，在正方形中，点E在边上，连接，，垂足为点 G，交于点 F．请判断与的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（2）如图②，在矩形中， ，点E在边上，连接， ，垂足为点C，交于点F．求 的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若 ，则的长为 ．
解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由平移的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵点H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：8．
26．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，E为下方上一点，且，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，在上取一点F，连接，使，过点B作的垂线交于点G，若，，求的长度．
（1）证明：如图，连接，

是的切线，
，即，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，在线段上取点，使得，连接，

，，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过作于，

为直径，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
，
由（2）知，
．
27．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
(1)如图1，当时，点A的坐标为；
(2)在（1）的条件下，点C，D是抛物线上不同的两点，点C的横坐标为m，点D的横坐标为，将此抛物线上C、D两点之间的部分（包括C、D两点）记为图象G，顶点A在图象G上（点A不与点C、D重合），设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)如图2，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧）将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点为B，当四边形为正方形时，与的交点为G，点P在抛物线上，直线与线段交点为M，过M作交于点N，连接，设的面积为，正方形的面积为，当时，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线中，，
∴，
∴顶点为；
（2）当时，，
∴，
∵，
即点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∵开口向上，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∵在图象G上，
∴不合；
当时，，
∴，
不合：
当时，，
∴，
∵，
即点D到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，
∴；
故；
（3）∵，
∴对称轴为直线，顶点，
∵抛物线沿直线翻折，得到抛物线，
∴抛物线的顶点为，
∵正方形中，，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴点A、E、N、M到的中点的距离相等，
∴A、E、N、M四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设解析式为，
则，
解得，
∴,
联立，
解得，，
∴或．年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82
b