【新结构】2023-2024学年浙江省浙江山海共富联盟高一下学期6月联考数学试题

这是一份【新结构】2023-2024学年浙江省浙江山海共富联盟高一下学期6月联考数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知已知向量AB=(1,3)，点A(−1,2)，则点B的坐标为( )
A. (0,5)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (5,0)
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，A=45∘，B=60∘，则b=( )
A. 2 63B. 2 2C. 6D. 4
3.已知向量a=(3,−2)，b=(−2,−3)，则( )
A. a=−32bB. a//bC. a=32bD. a⊥b
4.已知平面α⊥平面β，直线l⊄α，则“l//α”是“l⊥β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆锥侧面积为6πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )
A. 9πB. 6 2πC. 3πD. 3π
6.若数据x1+m、x2+m、…xn+m的平均数是5，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、…、3xn+1的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是( )
A. m=2，s=36B. m=2，s=6C. m=4，s=36D. m=4，s=6
7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，2AB=AA1，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值为( )
A. 710B. 45C. 12D. 13
8.在等腰△ABC中，BA=BC，若点M为△ABC的垂心，且满足BM=18BA+λBC，则cs∠ABC的值为( )
A. 15B. 16C. 17D. 18
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数z=1+3i−1+i，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. z在复平面内对应的点位于第四象限
B. z2=5−4i
C. z⋅z=5(z是z的共轭复数)
D. 若|z1−z|=1，则|z1|的最小值为 5−1.
10.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使D1P//平面A1BC1
B. 三棱锥B1−C1D1P的体积为定值
C. 若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 2

D. 若点P是AD的中点，点Q是BB1的中点，过P，Q作平面α⊥平面ACC1A1，则平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为3 32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若a=4，b=5，c=6，则最小角的余弦值=________.
13.若虚数3−i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m+n=________.
14.我国历史悠久，各地出土文物众多．甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印．图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图．如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则PA⋅PC的最大值是________
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a，b满足，a=2，b=2 3，a，b的夹角为π6；
(1)a−2b；
(2)若(a+b)⊥(λa−b)，求实数λ；
(3)若ka+2b与a−2b的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，BB1⊥平面ABC，AB=BC=2，AB⊥BC，M，N分别为A1B1，AC的中点．
(1)求证：MN//平面BCC1B1；
(2)求直线MN与平面AA1C1C所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式．某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示．为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率直方图如图②所示．
(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数(求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表)；
(ⅱ)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
18.(本小题12分)
在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB⋅sinC−sin2B=sin2C−sin2A
(1)求角A；
(2)若点M在边上BC满足BM=2MC，且AM=2，求△ABC面积的最大值．
19.(本小题12分)
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；
(2)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为π3，求四棱锥E−HBD的外接球的表面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
设点B的坐标为(x,y)，由AB=(1,3)=(x+1,y−2)，即可得B的坐标.
【解答】解：设点B的坐标为(x,y)，
则AB=(1,3)=(x+1,y−2)，
解得x=0，y=5，
于是点B的坐标为(0,5)，
故选A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．
由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】
解：∵在△ABC中，a=2，A=45∘，B=60∘，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：b=asinBsinA=2× 32 22= 6.
故选C.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量平行，垂直的判定方法，属于基础题.
根据题意，由向量共线的充要条件及坐标运算可判定ABC正误，由向量垂直的充要条件及坐标运算可判定D正误.
【解答】
解：因为a=(3,−2)，b=(−2,−3)，
因为3×(−3)−(−2)×(−2)≠0，
所以a≠λb，所以ABC均错误
又a⋅b=0,所以a⊥b，故选D
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判定、空间中直线与平面的位置关系，属于基础题．
由l⊥β时，则一定有l//α，当l//α时，“l⊥β”不一定成立，即可得出结论.
【解答】
解：∵平面α⊥平面β，直线l⊄α，
当l⊥β时，则一定有l//α；
反之，当l//α时，“l⊥β”不一定成立，
则“l//α”是“l⊥β”的必要不充分条件.
故选B.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积公式和体积公式，属于基础题.
首先根据圆锥侧面积求出r，然后求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求出结果.
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由 πl=2πr，得l=2r，
又 S=πr⋅2r=2πr2=6π，解得r= 3，
所以圆锥的高为 h= l2−r2= (2 3)2−( 3)2=3，
所以圆锥的体积 V=13πr2h=13π×( 3)2×3=3π.
故选C.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数据的平均数、方差的计算，注意数据平均数、方差的计算公式，属于基础题．
根据题意，设数据x1、x2、⋯、xn的平均数为x−，标准差为σ，利用平均数、方差的计算公式分析m、s的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设数据x1、x2、⋯、xn的平均数为x−，标准差为σ，
数据3x1+1、3x2+1、⋯、3xn+1的平均数是4，
则(3x1+1)+(3x2+1)+⋯+(3xn+1)n=3(x1+x2+⋯+xn)n+1=3x−+1=4，可得x−=1，
而数据x1+m、x2+m、⋯、xn+m的平均数是5，
则有(x1+m)+(x2+m)+⋯+(xn+m)n=x1+x2+⋯+xnn+m=x−+m=5，可得m=4，
由方差公式可得[(x1+m)−(x−+m)]2+[(x2+m)−(x−+m)]2+⋯+[(xn+m)−(x−+m)]2n
=(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2n=σ2=4，
s2=[(3x1+1)−(3x−+1)]2+[(3x2+1)−(3x−+1)]2+⋯+[(3xn+1)−(3x−+1)]2n
=9(x1−x−)2+9(x2−x−)2+⋯+9(xn−x−)2n=9σ2=36，解得s=6.
故选：D.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的计算，属于基础题．
作出异面直线A1C与AB1所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.
【解答】
解：根据题意，分别取AB，AC，AA1，A1B1的中点D，E，F，D1，连接DE，EF，DD1，D1E，D1F，
易知DE//BC，DD1//AA1，EF//A1C，DD1⊥DE，
则∠EFD1(或其补角)为异面直线A1C与AB1所成角
不妨设2AB=AA1=4，
则在Rt△EDD1中，D1E= DE2+D1D2= 12+42= 17，EF=FD1= 12+22= 5，
则cs∠EFD1=EF2+D1F2−D1E22⋅EF⋅D1F=5+5−172⋅ 5⋅ 5=−710，
则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值为710.
故选A
8.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查的是向量的线性运算，平面向量的共线定理，平面向量的数量积运算，向量的数量积与向量的垂直关系，属于难题.
取AC中点D，易得B，M，D三点共线，令BD=mBM，结合平面向量的线性运算与共线定理可求得BM=18BA+18BC，AM=−78BA+18BC，由M为垂心可得AM⊥BC，即AM⋅BC=0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
【解答】解：取AC中点D，由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，
由M为△ABC的垂心，则B，M，D三点共线，不妨令BD=mBM
由BM=18BA+λBC，BD=12BA+12BC，可得12BA+12BC=m18BA+λBC=18mBA+λmBC，
所以18m=12λm=12，解得m=4λ=18，则BM=18BA+18BC，AM=BM−BA=−78BA+18BC，
由M为△ABC的垂心可得AM⊥BC，即AM⋅BC=−78BA+18BC⋅BC=−78BA⋅BC+18BC2=0，
整理得−78BA⋅BC⋅cs∠ABC+18BC2=0，所以cs∠ABC=18BC278BA⋅BC=18BC278BC2=17.
故选C.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查复数除法的运算，属于基础题，解题时先计算出z，再逐一判断选项即可
【解答】
解：z=1+3i−1+i=1+3i−1−i−1+i−1−i=2−4i2=1−2i，
在复平面内所z对应的点坐标为(1,−2)，在第四象限，A正确；
z2=1−2i2=1−4−4i=−3−4i，故B错误；
z⋅z=1−2i⋅1+2i=1+4=5，C正确；
|z1−z|=1，则z1表示复平面内到点1,−2距离等于1的点，所以|z1|的最小值为 5−1，D正确
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查折线图，极差、百分位数、中位数、方差的定义，是基础题.
ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误.
【解答】
解：A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10年的粮食年产量极差为40−25=15，故A正确；
B选项，i=10×65%=6.5，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确；
C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，
这10年的粮食年产量的中位数为28+302=29，故C正确；
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误.
故选：ABC.
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查的是棱柱的结构特征，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，面面平行的性质，棱锥的体积，截面问题，属于难题.
结合棱柱的结构特征，利用线面平行的判定即可判断A；
利用棱锥的体积公式即可判断B；
连接DB，A1D，则利用正方体的结构特征易证AC⊥平面DBB1，则AC⊥DB1.结合AD1⊥DB1，可得B1D⊥平面D1AC，结合D1P⊥B1D，可知D1P⊂平面D1AC，即可得P点轨迹，求其长度即可判断C；
取AB中点为P1，连接PP1，BD，则由正方体结构与线面垂直的判定可得PP1⊥平面ACC1A1.取DD1中点为Q1，则平面PP1QQ1即为平面α，结合平行的性质可得平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为正六边形，再求其面积即可判断D.
【解答】
解：对于A，当点P为点C时，D1P//平面A1BC1.
证明如下：因为正方体ABCD−A1B1C1D1，所以A1D1=//AD=//BC，则四边形A1D1CB为平行四边形，
所以A1B//CD1，又A1B⊂平面A1BC1，D1P⊄平面A1BC1，所以D1P//平面A1BC1.
对于B，由题意及图形可知平面ABCD//平面A1B1C1D1，
所以点P到平面A1B1C1D1距离d为定值.
所以VB1−C1D1P=VP−B1D1C1=13d⋅S△B1D1C1
又S△B1D1C1为定值，故三棱锥B1−C1D1P的体积为定值.故B正确;
对于C，
如图有B1D⊥平面D1AC.
连接DB，A1D.由题可得AC⊥DB，AC⊥BB1，又DB∩BB1=B，DB，BB1⊂平面DBB1，所以AC⊥平面DBB1.
因为DB1⊂平面DBB1，所以AC⊥DB1.
同理可证得AD1⊥DB1，又AD1∩AC=A，所以B1D⊥平面D1AC，得D1P⊂平面D1AC.
故点P轨迹为平面D1AC与底面ABCD交线，即为线段AC，AC= 2，故C正确;
对于D，
如图取AB中点为P1，连接PP1.由题可得DB⊥AC，AA1⊥平面ABCD.
连接BD，因为PP1//DB，PP1⊂平面ABCD，则PP1⊥AC，PP1⊥AA1.
又AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，则PP1⊥平面ACC1A1.
又取DD1中点为Q1，则QQ1//DB//PP1，则有P，P1，Q，Q1四点共面.则平面PP1QQ1即为平面α.
又由两平面平行性质可知，PP1//RR1，PQ1//QR1，P1Q//Q1R，
又P，P1，Q，Q1都是中点，故R是D1C1中点，R1是B1C1中点.
则平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为正六边形，
又正方体棱长为1，则PP1= 22，故截面面积为6× 34×( 22)2=3 34.故D错误.
故选ABC.
12.【答案】34
【解析】【分析】
该题考查余弦定理及其应用，属基础题，熟记定理内容是解题关键.
根据已知，易判断最小角为A，直接由余弦定理可求csA即可.
【解答】
解：∵a=4，b=5，c=6，
∴知最小角为A，
∴csA=c2+b2−a22bc=36+25−1660=34，
故答案为34.
13.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算性质、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
将3−i代入方程2x2+mx+n=0，可得2(3−i)2+(3−i)m+n=0，化简根据复数相等的充要条件可得关于m、n的方程，求解即可.
【解答】
解：将3−i代入方程2x2+mx+n=0，
可得2(3−i)2+(3−i)m+n=0，
化简可得3m+n+16−(12+m)i=0，
根据复数相等的充要条件可得3m+n+16=012+m=0，
解得n=20,m=−12,
所以m+n=8.
14.【答案】8+6 2
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的计算，属于中档题.
解题时取AC中点M，则PA⋅PC=PM2−14AC2，然后分别计算PM2和AC2即可.
【解答】
解：正八边形内角和为(8−2)×180∘=1080∘，
则∠ABC=135∘，取AC中点M，则PA⋅PC=PM+MA⋅PM+MC=PM2−14AC2，
AC2=22+22−2×2×2cs135∘=8+4 2，
PM2≤FM2=FA2−AM2=(2+2 2)2−(2+ 2)=10+7 2，
所以PA⋅PC=PM2−14AC2≤10+7 2−(2+ 2)=8+6 2，
所以最大值为8+6 2.
15.【答案】解：(1)∵a⋅b=2×2 3csπ6=6，
∴|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2=4−24+48=28，
∴|a−2b|=2 7；
(2)∵(a+b)⊥(λa−b)，
∴(a+b)⋅(λa−b)=0，
⇒λa2+(λ−1)a⋅b−b2=0，
⇒4λ+(λ−1)⋅6−12=0，得λ=95.
(3)有题可得(ka+2b)⋅(a−2b)−92且k≠−1.
【解析】本题考查向量的模，向量的数量积和夹角，属于中档题.
(1)计算|a−2b|2，即可求得a−2b；
(2)利用向量垂直的充要条件列方程，即可求得λ的值.
(3)有题可得(ka+2b)⋅(a−2b)