2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有( )
A. C76B. A76C. 67D. 76
2.(1−x)2n(n∈N*,n≥4)的展开式中，第_____项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.( )
A. 第2n−7项B. 第2n−6项C. 第2n−5项D. 第2n−4项
3.已知等差数列{an}，则“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的_____条件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
4.两个单位向量e1与e2满足e1⋅e2= 32，则向量e1− 3e2与e2的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.在(33x−x)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为( )
A. 32B. −32C. 0D. 1
6.学校决定于3月14日∼3月21日举行为期8天的“数学节”活动，现安排A，B，C，D，E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日、3月15日做志愿者的同学每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天，则不同的安排方法一共有( )
A. 792种B. 1440种C. 1800种D. 10800种
7.下列不等式中，所有正确的序号是( )
①4tan14>1
②tan(π−2)>sin2
③10sin110>6πsinπ6
④cs450)，若不等式xae−2x≥3f(x)+1对x>0恒成立，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45∘，E为PD的中点.
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)若AB=2，G为△BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值.
16.(本小题15分)
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数X的分布列；
(2)给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率；
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=xln(x−1).
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，求函数g(x)的最小值；
(Ⅲ)若f(x)x−a>2，求实数a的值.
18.(本小题17分)
如图，已知椭圆C1:x24+y2=1和抛物线C2:x2=2py(p>0)，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB.
(1)求p的值；
(2)求OM⋅ON的值；
(3)求S△OMNS△OAB的取值范围.
19.(本小题17分)
已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax+ln(1+x)−1.
(1)记an=f(n)−ln(n+1)+n，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和.当a=89时，试比较S64与2024的大小，并说明理由；
(2)当a=1e时，证明：xf(x)≥0；
(3)当a>0且a≠1时，试讨论f(x)的零点个数.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为第1个班有7种选法，第2个班有7种选法，第3个班有7种选法，第4个班有7种选法，第5个班有7种选法，第6个班有7种选法，
所以由分步计数原理可得不同的选法有：7×7×7×7×7×7=76种，
故选：D.
由分步相乘原理直接得结论．
本题考查分步相乘计数原理，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：(1−x)2n(n∈N*,n≥4)的展开式中，第r+1项的二项式系数与第8项的二项式系数相等，
故C2nr=C2n7，整理得r=2n−7.
故选：A.
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由等差数列的性质可知，若k=9，则a7+a11=2ak一定成立，
若a7+a11=2ak，则不一定有k=9，例如等差数列为常数列，
所以“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的充分不必要条件．
故选：A.
利用等差数列的性质求解．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：两个单位向量e1与e2满足e1⋅e2= 32，
则(e1− 3e2)⋅e2=e1⋅e2− 3e22= 32− 3=− 32，
|e1− 3e2|= e12−2 3e1⋅e2+3e22= 1−2 3× 32+3=1，
cs=− 321×1=− 32，
可得向量e1− 3e2与e2的夹角为5π6.
故选：D.
由向量数量积的性质和夹角公式，计算可得所求值．
本题考查向量的夹角公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由于所有的二项式系数之和为32，则2n=32，解得n=5；
令x=1，解得所有项的系数和为25=32.
故选：A.
直接利用二项式的展开式的二项式系数，进一步利用赋值法求出结果．
本题考查的知识点：二项式系数和系数的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日、3月15日做志愿者的同学每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天，
则不同的安排方法一共有C51C41C62C42C22=1800种．
故选：C.
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：对于①，令f(x)=tanx−x，x∈(0,π2)，f′(x)=(sinxcs)′−1=1cs2x−1>0，
∴f(x)>f(0)=0，则tanx>x在x∈(0,π2)上恒成立，
则tan14>14，即4tan14>1，故①正确；
对于②，tan(π−2)=−tan2，而tan21，
而sin2sin2成立，故②正确；
对于③，设h(x)=sinxx，x∈(0,1)，则h′(x)=xcsx−sinxx2，
再令g(x)=xcsx−sinx，则g′(x)=−xsinx，x∈(0,1)，
则g(x)=−xsinx0恒成立，只有alna2−a≤0才能满足要求，
即a(lna2−1)≤0，
又因为a>0，解得01)，
曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率k=f′(2)=2.
又因为f(2)=0，所以切点为(2,0).
曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x−4.
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)=ln(x−1)+1x−1+1(x>1)，
g′(x)=1x−1−1(x−1)2=x−2(x−1)2，
当x变化时，g′(x)和g(x)的变化如下表：
所以当x=2时，g(x)min=2.
(Ⅲ)若a≠2，则f(2)2−a=0，不合题意；
若a=2，设φ(x)=f(x)−2(x−2)，
由(Ⅱ)知，φ′(x)=f′(x)−2≥0，
所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增．
又φ(2)=0，所以当x∈(1,2)时，φ(x)2；
当x∈(2,+∞)时，φ(x)>0，x−2>0，φ(x)x−2>0，f(x)x−2>2，
所以a=2符合题意．
综上所述a=2.
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，求出切点坐标，从而可得切线方程；
(Ⅱ)对g(x)求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得最小值；
(Ⅲ)若a≠2，则f(2)2−a=0，不合题意；若a=2，构造函数φ(x)=f(x)−2(x−2)，利用导数判断函数单调性，从而判断f(x)x−2>2，即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数判断函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)抛物线C2的焦点为F(0,1)，故p=2.
(2)若直线MN与y轴重合，则该直线与抛物线C2只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+1，点M(x1,y1)、N(x2,y2)，
联立x2=4yy=kx+1，可得x2−4kx−4=0，
Δ=16k2+16>0恒成立，则x1x2=−4，
OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=−4+1=−3.
(3)设直线NO、MO的斜率分别为k1、k2，其中k1>0，k2