【新结构】2023-2024学年江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学高一下学期5月联合测试数学试卷-普通用卷

这是一份【新结构】2023-2024学年江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学高一下学期5月联合测试数学试卷-普通用卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i是虚数单位，复数5i1−2i的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若m//α，α∩β=n，则m//n
B. 若m//n，m⊥α，则n⊥α
C. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
D. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
3.函数f(x)=sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.已知向量a，b的夹角为120∘，a=1，b=5，则3a−b等于( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
5.定义运算acbd=ad−bc，若csα=17，sinαcsαsinβcsβ=3 314，00，则△ABC是锐角三角形
④若A=60∘，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(2 3,+∞)
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组(a,b,c)，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式a=k(m2−n2)b=2kmnc=k(m2+n2)，其中，k,m,n均为正整数，且m>n.如图所示，△PEF中，PE⊥PF，PF=12>PE，三边对应的勾股数中k=1,n=2，点M在线段EF上，EM=m，则PM⋅EM=( )
A. −1765B. −225C. 4213D. 14013
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1，z2，z3，下列说法正确的有( )
A. 若z1z1=z2z2，则|z1|=|z2|B. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
C. 若z1z2=z1z3，则z1=0或z2=z3D. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是( )
A. BC1//平面AQPB. 平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
C. A1D⊥平面AQPD. 异面直线QP与A1C1所成的角为60∘
11.在△ABC中，AB=2 2，BC=4，AC=2 10，M是BC的中点，则( )
A. 线段AM的长度为2 5
B. AM⋅BC=−16
C. ∠AMB+∠ACB=π4
D. 在线段AB的延长线上存在点P，使得∠CPM的最大值为π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若1+ 2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则b+c=__________.
13.已知sinα+sinβ+sinγ=0，csα+csβ+csγ=0，则cs(α−β)的值是__________.
14.已知函数f(x)=kx2+2x−1,x∈(0,1]kx+1,x∈(1,+∞)有两个不相等的零点x1,x2，则1x1+1x2的最大值为_________
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=3,−2，b=2,m，m∈R.
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⊥b，求m的值；
(3)若a与b夹角为锐角，求m的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA=AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC.求证：
(1)BC//平面AMN;
(2)平面AMN⊥平面PBC.
17.(本小题12分)
在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA+C2=bsinA.
(1)求B；
(2)若ΔABC为锐角三角形，且c=2，
(i)求角C的取值范围(ii)求ΔABC面积的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为直角梯形，BC//AD,AD⊥AB，且PA=AB=BC=1,AD=2.
(1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证:BC//l;
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD;
(3)求二面角C−PD−A的正切值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx，且α,β∈(0,π2)
(1)求f(α)+fα+π2的最大值
(2)写出f(α)+f(α+β)与f(β)的大小关系，并给出证明
(3)试问f(α),f(β)，f(α+β)能否作为ΔABC三边长？若能，给出证明，并探究ΔABC的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由。
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题.
先化简复数为一般形式，即可得到结果.
【解答】
解：∵5i1−2i=5i1+2i1−2i1+2i=−2+i，
∴复数5i1−2i的虚部为1.
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间直线与平面平行与垂直、平面与平面平行与垂直等位置关系的认识与理解，属于中档题．
根据空间中线线、线面、面面位置关系依次判断即可.
【解答】解：对于A，若α∩β=n，可知n⊂α，又m//α，则m//n或m与n异面，故A不正确；
对于B，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，故若m//n，m⊥α，则n⊥α，故B正确；
对于C，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得若m⊥α，m⊥β，则α//β，故C正确；
对于D，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，即若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故D正确.
故选：A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求三角函数的零点的个数，及函数的零点个数与方程根的个数的关系、二倍角公式的应用，属于中档题.
由二倍角公式 f(x)=sinx(1−2csx)=0，得sinx=0或csx=12，由x∈[0,2π]，解得即可.
【解答】
解：f(x)=sinx−sin2x=sinx−2sinxcsx=sinx(1−2csx)=0，
得sinx=0或csx=12.
∵x∈[0,2π]，由sinx=0可得x=0，π或2π；
由csx=12可得x=π3或5π3.
∴f(x)在[0,2π]上的零点个数为5.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“a2=a2”进行求解．
由数量积的定义先计算3a−b2=3a−b2的值，再开方即可求解.
【解答】
解：3a−b2=3a−b2=9a2+b2−6a⋅b
=9a2+b2−6a⋅b⋅cs120∘
=9+52−6×5×−12=49，
所以3a−b=7，
故选A.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式，属于基础题.
由已知得sin(α−β)，然后利用β=α−(α−β)，求出csβ即可求解.
【解答】
解：由已知有 sinαcsβ−csαsinβ=sin(α−β)=3 314，
又 02 3，
故④错误.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积、向量的几何运用，属于一般题.
首先通过勾股数方程组确定三角形的三边长，然后利用向量的数量积求解即可.
【解答】
解：由已知可得a=m2−4b=4mc=m2+4，显然c>a，c>b，
因为在Rt△PEF中，EF为斜边，所以EF=c，
若a=PF=12，则m2−4=12，解得m=4，
此时PE=b=4m=16>12，与PF>PE矛盾，不符合题意；
若b=PF=12，则4m=12，解得m=3，此时PE=a=32−4=5PE，
故PE=5，PF=12，EF=13，EM=3，MF=10，
所以csE=PEEF=513，
所以PM⋅EM=(PE+EM)⋅EM
=PE⋅EM+EM⋅EM
=|PE|×|EM|cs(π−E)+|EM|2
=5×3×(−513)+32
=4213.
故答案为：4213.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查复数的运算、共轭复数和复数的模，属于中档题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A， z1 z1=z2 z2，则 |z1|2=|z2|2 ，所以 |z1|=|z2|，故A正确；
对于B，取z1=1， z2=−i，满足|z1|=|z2|，但z12=1，z22=−1，不满足z12=z22，故B错误；
对于C， z1 z2=z1 z3，则 z1(z2−z3)=0，所以 z1=0或 z2−z3=0，故C正确；
对于D，取z1=1， z2=−i，满足z12+z22=0，但不满足z1=z2=0，故D错误；
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
利用线面平行的判定和性质判断A；得出所求截面判断B；利用线面垂直的判定判断C；利用异面直线所成角判断D.
【解答】
解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：
①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，
所以PQ//BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1⊄平面APQ，
所以BC1//平面APQ，故正确．
②对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1//PQ，
则A，P，Q，D1四点共面，又D1Q=AP，
所以平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故正确．
③对于选项C：由于A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1=A，
则A1D⊥平面ABC1D1，而平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，
所以A1D不可能与平面AQP垂直，故错误．
④对于选项D：PQ//BC1，△A1BC1为等边三角形，
所以∠A1C1B=60∘，则异面直线QP与A1C1所成的角即∠A1C1B为60∘.故正确．
故选：ABD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查向量基本定理的运用，以及基本不等式和三点共线的性质的运用，考查运算能力、推理能力，属于较难题．
根据题意，逐项求解即可.
【解答】
AM=12(AB+AC)，AM2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)
=14(8+40+2AB⋅AC⋅AB2+AC2−BC22AB⋅AC)=14(48+48−16)=20
∴AM=2 5，A对.
AM⋅BC=12(AB+AC)(AC−AB)=12(AC2−AB)=16，B错.
csC=16+40−82×4×2 10=3 1010，sinC= 1010
cs∠AMB=4+20−82⋅2⋅2 5=2 55，sin∠AMB= 55
sin(∠AMB+∠ACB)= 55×3 1010+2 55× 1010= 22
∴∠AMB+∠ACB=π4，C对.
对于D，法一：cs∠ABC=− 22，∴∠ABC=135∘，∠PBC=45∘
设∠CPM=α，∠PCM=β，
△PBC中，PC 22=4sin(45∘+β)，∴PC=2 2sin(45∘+β)
△PMC中，2sinα=PCsin(α+β)，∴2sinα=2 2sin(α+β)sin(45∘+β)
化简得3sinα−csα=(sinα+csα)sin2β+(sinα−csα)cs2β
≤ (sinα+csα)2+(sinα−csα)2= 2
即3sinα− 2≤csα，1=cs2α+sin2α≥(3sinα− 2)2+sin2α
∴ 210≤sinα≤ 22，∴αmax=π4.
对于D，法二：cs∠ABC=8+16−402×2 2×4=− 22，∠ABC=3π4
过P作PQ⊥BC于点Q，设BQ=PQ=x，∴QM=2−x，CM=2，
tan∠CPM=tan(∠CPQ−∠MPQ)=4−xx−2−xx1+(4−x)(2−x)x2=2x+8−6x+x2x
=28x+2x−6≤22 16−6=1，当且仅当x=2时，取等号，
∴(∠CPM)max=π4，D正确.
12.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查实系数一元二次方程在复数范围内的根与系数的关系以及复数的四则运算，属于基础题.
结合题意将复数根代入原方程，直接展开运算即可.
【解答】
解：由于复数1+ 2i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚数根，
可得1+ 2i2+b1+ 2i+c=0，即b+c−1+ 2b+2 2i=0，
即b=−2，c=3，所以b+c=1.
故答案为1.
13.【答案】−12
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．
由题已知得{ sin⁡α+sin⁡β=−sin⁡γ, ① cs⁡α+cs⁡β=−cs⁡γ, ②，将①②两边同时平方相加，计算即可得到答案.
【解答】
解：由{ sin⁡α+sin⁡β=−sin⁡γ, ① cs⁡α+cs⁡β=−cs⁡γ, ②
由①、②得2+2(sinαsinβ+csαcsβ)=1⇒cs(α−β)=−12.
故答案为：−12.
14.【答案】94
【解析】【分析】
本题考查函数零点与方程根的关系及分段函数，同时考查二次函数，为较难题.
对k进行讨论，将1x1+1x2表示为k的函数，然后利用二次函数求解即可.
【解答】解：当k=0时，f(x)=0，仅有一根x=12，不符题意；
当k>0时，x>1时，f(x)无零点；则0