2023-2024学年天津外国语大学附属外国语学校高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年天津外国语大学附属外国语学校高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简OP+PS−OQ的结果等于( )
A. SPB. OQC. SQD. QS
2.关于向量a,b,c，下列命题中正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a//b，则a//c
C. 若a=b，则a//bD. 若|a|>|b|，则a>b
3.向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a⊥b，则( )
A. x=12B. x=−12C. x=2D. x=−2
4.已知向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，若a与a+b共线，则实数λ=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.已知向量a=(2,0)，b=(m,1)，且a与b的夹角为π3，则m的值为( )
A. − 33B. 33C. − 3D. 3
6.已知a，b均是单位向量，|a+b|=2，则a⋅b=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
7.在△ABC中，已知sinB=2sin(B+C)csC，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
8.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AC+AD)，则AP⋅AC=( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
9.已知等边△ABC的边长为6，D在AC上且AD=2DC，E为线段AB上的动点，则|AE+BD|的取值范围为( )
A. [2 3,4]B. [2 3,2 7]C. [4,2 7]D. [4,6]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3a=2bsin(B+C)，则B=__________.
11.在平行四边形ABCD中，点P满足AP=12(AB+AC)，若PD=λAB+μAD，则λ+μ的值是______.
12.已知△ABC中，|BC|=3，|CA|=4，且BC⋅CA=−6 3，则△ABC的面积是______.
13.在△ABC中，BC=6，AC=8，∠A=40∘，则∠B的解的个数是______个.
14.矩形ABCD中，AB=2，BC=1，且E，F分为BC，CD的中点，则AE⋅EF=______.
15.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π3，则a⋅b=__________；|a−2b|=__________.
三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知向量a=(−1,3),b=(t,2).
(1)若t=1，求a⋅b和|a+b|；
(2)若a与b平行，求实数t的值；
(3)若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围.
17.(本小题15分)
已知△ABC中，a=3，b=2，A=60∘.
(1)求sinB；
(2)求c；
(3)求△ABC的面积.
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=asinx+bcsx，称向量p=(a,b)为f(x)的特征向量，f(x)为p的特征函数.
(Ⅰ)设g(x)=2sin(π−x)+sin(32π−x)，求g(x)的特征向量；
(Ⅱ)设向量p=( 3,1)的特征函数为f(x)，求当f(x)=65且x∈(−π6,π3)时，sinx的值；
(Ⅲ)设向量p=(−12, 32)的特征函数为f(x)，记h(x)=f2(x)−14，若h(x)在区间[a,b]上至少有40个零点，求b−a的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：OP+PS−OQ=OS−OQ=QS.
故选：D.
运用向量加法法则及减法法则计算即可．
本题主要考查向量加法法则及减法法则，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A：当a=b时，|a|=|b|，故A错误；
对于B：若a//b，则a//c没有关系，故B错误；
对于C：若a=b，则a//b，故C正确；
对于D：若|a|>|b|，则a和b不能比较大小，故D错误．
故选：C.
直接利用向量的定义和向量的共线判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：向量间的关系，向量的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于向量a=(2,1)，b=(1,x)，且a⊥b，则2+x=0，解得x=−2.
故选：D.
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，
∴a+b=(λ+3,6)，
又∵a与a+b共线，
∴(λ+1)×6−(λ+3)×3=0，
解得λ=1.
故选：C.
利用共线向量的坐标关系求解．
本题主要考查了共线向量的坐标关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为a⋅b=2m,|a|=2,|b|= m2+1，
所以a⋅b=|a||b|csπ3，即2m=2× m2+1×12，
解得m= 33或m=− 33(舍去).
故选：B.
先表示出a⋅b,|a|,|b|，然后根据a⋅b=|a||b|csπ3解出m即可．
本题考查数量积的坐标运算，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：已知a，b均是单位向量，
则|a|=|b|=1，
又|a+b|=2，
则a2+2a⋅b+b2=4，
则2a⋅b=4−1−1=2，
即a⋅b=1.
故选：D.
由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，sinB=2sin(B+C)csC=2sinAcsC，
∵bsinB=csinC，csC=a2+b2−c22ab，
∴已知等式化简得：b=2a⋅a2+b2−c22ab，
整理得：b2=a2+b2−c2，即a2=c2，
∴a=c，
则△ABC一定是等腰三角形．
故选：B.
已知等式利用正弦、余弦定理化简，整理后得到a=c，即可确定出三角形为等腰三角形．
此题考查了正弦、余弦定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设AB=a，AD=b，则a⋅b=0，
由题意，AP=12(AC+AD)=12(a+2b)，
AC=a+b，
则AP⋅AC=12(a+2b)⋅(a+b)
=12a2+32a⋅b+b2=6.
故选：C.
根据向量的线性运算及数量积运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
9.【答案】B
【解析】解：建系如图，
则根据题意可得A(−3,0)，B(3,0)，D(−1,2 3)，
设E(x,0)，则x∈[−3,3]，
∴AE=(x+3,0)，BD=(−4,2 3)，
∴AE+BD=(x−1,2 3)，
∴|AE+BD|= (x−1)2+12，又x∈[−3,3]，
∴当x=1时，|AE+BD|取得最小值 12=2 3，
当x=−3时，|AE+BD|取得最大值 16+12=2 7，
∴|AE+BD|的取值范围为[2 3,2 7].
故选：B.
建系，利用坐标法及向量的坐标运算根据函数模型，再通过函数思想，即可求解．
本题考查向量的模的范围的求解，坐标法的应用，函数思想，属中档题．
10.【答案】60∘
【解析】【分析】
由正弦定理可得 3sinA=2sinBsinA，求解即可．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
【解答】
解：由 3a=2bsin(B+C)，可得 3sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB= 32，
∴0∘