河南省豫北名校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省豫北名校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了 欧拉公式等内容，欢迎下载使用。

数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，，且，则实数（ ）
A. B. C. 2D.
3. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D.
4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（ ）
A. 2B. C. D. 6
6. 已知正四棱台上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对任意，与互为共轭复数
C. 对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上
D. 复数的实部为
11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 的最大值为
D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数对应的点到点的距离是，则____.
13. 在中，，，点在边上，则的最小值为________.
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为______；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知向量，，向量满足，且.
（1）求的坐标；
（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16. 已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍.
（1）求；
（2）若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？
17. 如图所示，是圆柱下底面圆直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线.
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值.
18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
19. 在中，内角，，对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）如图1，，，求；
（3）如图2，若，，在边，上分别取点，，将沿直线折叠，使顶点正好落在边上的点处，求的最大值.河南省豫北名校5月份联考考试
2023—2024学年高一年级阶段性测试（四）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，表示出复数，代入到要求的式子中即可得出答案.
【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，
所以.
故选：C.
2. 已知平面向量，，且，则实数（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积和向量垂直的概念求出参数的取值.
【详解】，
，
则
故答案选：D.
3. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可知直观图为平行四边形，作出直观图，求出相应的线段的长度，即可求出面积.
【详解】依题意可知四边形为平行四边形，则直观图也为平行四边形，
其直观图如下所示：
又，，则，，，
所以，
所以.
故选：A
4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.
【详解】由余弦定理，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
又，解得或，
又，所以，则，
所以.
故选：C
5. 已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（ ）
A. 2B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】首先由数量积的定义求出，再由平面向量线性运算法则得到，最后根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为向量，的夹角为，，，
所以，
又因为
，
所以
.
故选：A
6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得.
【详解】依题意将正四棱台补形为正四棱锥，如下图所示：
、
因为直线与的夹角为，所以为边长为的等边三角形，
又，且，所以是的中位线，
设，则平面，且，
所以正四棱台的高，
所以四棱台的体积.
故选：D
7. 如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求出长，再在直角中即可作答.
【详解】在中，依题意有，
由正弦定理得，
即，
由于塔垂直于地面，于是在直角中，，
从而得，
所以塔高m.
故选：C
8. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】设为的中点，连接、，根据圆锥的性质得到底面，则，求出，利用余弦定理求出，最后由勾股定理计算可得.
【详解】如图，设为的中点，连接、，
依题意底面，，
所以，，，，
所以底面，又底面，所以，
在中，，即为等腰直角三角形，
则，，
又为的中点，所以，
在中
，
所以.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D 若，，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系一一判断即可.
【详解】对于A，若，，则或，又，所以，故A正确；
对于B，若，，则或，又，则与斜交、垂直、平行及均有可能，故B错误；
对于C，若，，则，又，则，故C正确；
对于D，若，，则或，又，则或，故D错误．
故选：AC．
10. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对任意，与互为共轭复数
C. 对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上
D. 复数的实部为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由复数几何意义可判断A，由所给定义、诱导公式及共轭复数判断B，由复数的几何意义判断C，根据所给定义化简，即可判断D.
【详解】对于A：因为，
所以，故A错误；
对于B：，，
所以对任意，与互为共轭复数，故B正确；
对于C：因为，所以在复平面内对应的点为，
又，
所以在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，故C正确；
对于D：的实部为，故D正确.
故选：BCD
11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 的最大值为
D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D.
【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：，
所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确；
对于C：因为，
所以，
所以当时取得最大值，最大值，故C错误；
对于D：在上的投影向量为，所以，
所以，
又，所以，此时，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数对应的点到点的距离是，则____.
【答案】
【解析】
【分析】首先得到复数在复平面内对应的点的坐标，再由两点间的距离公式计算可得.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
依题意，解得.
故答案为：
13. 在中，，，点在边上，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，设，，
则，，
所以，
因为，所以当时.
故答案为：
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为______；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为_________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】首先的斜边，即可求出外接球的半径，从而求出外接球的表面积；取的中点，的中点，的中点，连接、、、，即可得到平面即为平面，即可求截面面积.
【详解】在直三棱柱中，，，
即底面为直角三角形，且斜边，
设该三棱柱外接球的半径为，则，所以外接球的表面积，
取的中点，的中点，的中点，连接、、、，
则、，所以，即、、、四点共面，
由，平面，平面，所以平面，故平面即为平面，
取的中点，的中点，连接，则为等腰梯形的高，
因为，，，所以，
所以，即
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，向量满足，且.
（1）求的坐标；
（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，表示出的坐标，再根据数量积及平面向量共线的坐标表示得到方程组，解得即可；
（2）依题意且与不反向，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
设，则，
又，且，
所以，解得，所以
【小问2详解】
因为，
因为与的夹角为钝角，所以
则，解得且，
所以实数的取值范围为.
16. 已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍.
（1）求；
（2）若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？
【答案】（1）
（2）直线去掉点
【解析】
【分析】（1）利用已知条件，设出复数，通过模长公式及所对点所在位置求出即可复数；
（2）把（1）中所求复数代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得出在复平面内对应的点的集合构成图形即可.
【小问1详解】
因为的虚部是实部的2倍，
所以设，
又，即，
所以，
因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，即，
所以；
【小问2详解】
设复数，
因为为纯虚数，
所以，
当时，解得，
所以等价于且，
所以复数在复平面内的图象为去掉一个点的直线.
17. 如图所示，是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线.
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆柱的性质得到，又，即可得证；
（2）依题意可得即为异面直线与所成的角，设圆柱的高为，底面半径为，则，根据圆柱的表面积求出、，设，，得到，最后根据及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
为圆柱的母线，平面，
又平面，．
是下底面圆的直径，．
又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
因为，是圆柱的两条母线，所以
所以即为异面直线与所成角，即，
所以为等腰直角三角形，所以，设圆柱的高为，底面半径为，则，
又圆柱的表面积，解得（负值已舍去），则，
在中，设，，
则，
所以．
当且仅当时，不等式取“=”号．
故的最大值为．
18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，结合，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证；
（2）设的中点为，连接、，即可证明、，即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得；
（3）根据，利用等体积法计算可得.
【小问1详解】
连接交于点，连接.
在底面中，因为，且，
由，可得，
因为，即，
所以在中，，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
设的中点为，连接、，
因为，，所以为等边三角形，
所以，
又平面，平面，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
平面，平面，所以，
在中，，
所以，所以，
即二面角的大小为；
【小问3详解】
因为，，所以，
所以，
在中，
，
，
所以，即，
所以，
设点到平面的距离为，则，
即，
即，
即点到平面的距离为.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）如图1，，，求；
（3）如图2，若，，在边，上分别取点，，将沿直线折叠，使顶点正好落在边上的点处，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，即可求解；
（2）建立如图平面直角坐标系，设，则，进而，有，求出即可求解.
（3）易知，如图，设，则，，在中根据正弦定理可得，结合正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，由正弦定理
得，又，
所以，
即，又，
所以，即，由，解得；
【小问2详解】
由，得，
建立如图平面直角坐标系，设，
则，又，，
得，即，
所以，即，得，
又，所以，
在中，，即，得，
所以.
小问3详解】
由题意知，，
如图，连接，则，
设，则，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，整理得，
又，所以，
故当或即或时，
，取到最大值，
即的最大值为1.
【点睛】关键点点睛：解答本题第（2）问的关键是建系，由的坐标求出的坐标，根据建立方程；第（3）问的关键是利用正弦定理将转化为，结合单变量的范围即可求解.