广西重点高中2023-2024学年高二下学期5月联合调研测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广西重点高中2023-2024学年高二下学期5月联合调研测试数学试卷（Word版附解析），共25页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量满足，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，是两条不同的异面直线，，，，则D. 若，，则与所成的角和与所成的角互余
4. 已知为递增等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则不等式解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（ ）
A. 众数为12B. 平均数为14C. 中位数为14.5D. 第25百分位数为12
10. 将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是（ ）
A. 当时，关于对称
B. 关于对称
C. 当时，在上单调递增
D. 若在上有3个零点，则的取值范围为
11. 已知定义域为的函数，满足，且，，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为________（用数字作答）．
13. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为________．
14. 已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为正项数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：．
16. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
17. 四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．
（1）证明：A、B、M、N四点共面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．
18. 已知函数，其中．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，求的取值范围．
19. 已知定点，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C方程；
（2）已知点P、A、B是曲线C上的点，且．
（i）若点P的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若，求面积的最小值．有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
广西重点高中高二5月联合调研测试
数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.
【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,
需满足，解得.
故选：B.
2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对两边同时平方可求出.设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】因为，以.
又，所以.设与的夹角为.
则，所以，
即与的夹角为.
故选：C.
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，是两条不同的异面直线，，，，则D. 若，，则与所成的角和与所成的角互余
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质依次判断即可．
【详解】A．，，则，又，则，所以不正确，A不正确；
B．，，，则或，故B不正确；
C．若，是两条不同的异面直线，，，，则，C正确．
D．由时，与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，
因此与所成的角和与所成的角不一定互余，D不正确.
故选：C．
4. 已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到.
【详解】因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，或，
又因为为递增的等比数列，则，则，
故选：D.
5. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用单调性脱去法则，解不等式即得.
【详解】函数定义域为R，
，即函数是偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
6. 某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解.
【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，
则,
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率.
故选：A
7. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用面积法得，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，再利用余弦定理求出，最后利用三角形面积公式和等面积法即可得到答案.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，因为，
所以，
在中，由余弦定理得，所以，
则的面积为，
边上的高.
故选：D.
8. 已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义及对称性可得，再利用余弦定理建立等式求出离心率.
【详解】令，由，得，
而在y轴上，则，由双曲线定义得，
由，得，即，则有，
于是，，令双曲线的半焦距为c，
在中，由余弦定理得，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（ ）
A. 众数为12B. 平均数为14C. 中位数为14.5D. 第25百分位数为12
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义和计算公式一一计算即可.
【详解】对A，由题意可知，16出现的次数最多，则众数应为16，故A错误；
对B，平均数为，故B正确；
对C，中间两个数为13和16，则中位数为:，故C正确；
对D，，所以第25百分位数是从小到大排列后第三个数字，即为12，故D正确.
故选：BCD.
10. 将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是（ ）
A. 当时，关于对称
B. 关于对称
C. 当时，在上单调递增
D. 若在上有3个零点，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】首先得到，代入验证即可判断AB；利用整体法得到，即可判断C；求出，得到相关不等式即可判断D.
【详解】对A，，
当时，，是函数的最大值，
所以关于对称，故选项A正确；
对B，当时，得，而不一定等于0，故选项B错误；
对C，当时，，得，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对D，由，得，由于在上有3个零点，
所以，所以，故选项D错误.
故选：AC．
11. 已知定义域为的函数，满足，且，，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，对抽象等式中的自变量进行赋值求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用周期性求函数值即可得解.
【详解】定义域为的函数，满足，
对于A，令，则，A正确；
对于B，令，则，而，则，
令，则，即，
令，则，
令，则，因此，
函数是上偶函数，B错误；
对于C，令，则，
而，，，则，C正确；
对于D，由，得，函数的一个周期为8．
令，则，即有，
因函数是偶函数，故有，
由函数的一个周期为8，则，
而，
因此，
所以，D正确．
故选：ACD
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为________（用数字作答）．
【答案】144
【解析】
【分析】先将学生的节目全排列，然后对教师节目进行插空即可得解.
【详解】由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法，
然后对教师节目进行插空有种排法，
所以满足题意的排法种数为种.
故答案为：144.
13. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】理解题意，先求出圆锥的内切球半径，题中棱长最大的正方体的外接球即圆锥的内切球，由此求得正方体棱长最大值.
【详解】设圆锥的母线长为，依题意，，解得，故圆锥的轴截面为正三角形.
因正方体在该圆锥内可以任意转动，故棱长最大的正方体的外接球是圆锥的内切球.

如图,作出圆锥和内切球的轴截面图，设内切球的半径为,球的内接正方体的棱长为.
由三角形面积相等可得，，解得，
又因，解得，即该正方体棱长的最大值为.
故答案为：.
14. 已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出切点弦所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求出最大值即可.
【详解】设点，圆圆心，半径，
显然切点在以线段为直径的圆上，
此圆方程为，
整理得，与圆的方程相减得直线的方程，
直线的方程为，即，
由，解得，即直线恒过定点，
连接交于，由切线长定理得，且是线段的中点，
，
显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点，
即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为正项数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义求出通项.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性及有界性推理即得.
【小问1详解】
正项数列的前n项和为，，当时，，
两式相减得，
显然，则，当时，，即，
又，则，而，解得，即，
从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
因此

，，，即，
又数列单调递增，，
所以.
16. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
【答案】（1）列联表见解析，有关.
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可；
（2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可.
【小问1详解】
（1）列联表，如图所示：
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以,.
17. 四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．
（1）证明：A、B、M、N四点共面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作辅助线，证明点为的重心，即可证明A、B、M、N四点共面；
（2）建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得；
（3）利用割补法，先求和，相减得，再用减去得,即得结果.
【小问1详解】
如图，延长交于点，
因且，故，
连接，中，分别是中点，
故的交点为的重心，设为点，则,
又N为PD靠近D的三等分点，故点重合，
因点都在平面内，故A、B、M、N四点共面；
【小问2详解】
如图，取中点，连接，因，则,
又平面平面,平面平面，平面，故平面,
过点在平面内作，分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因，故,
则,
设平面的法向量为，则，故可取；
又,
设平面的法向量为，则，故可取.
于是，，
因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为；
【小问3详解】
如图，设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为,
依题，,
而,
则，
又,
故，
于是，.
18. 已知函数，其中．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）（i）求出函数的导数，按，分类探讨单调性，再结合零点存在性定理求解即得；（ii）由（i）可得，再由零点的意义列式，令，用表示，构造函数并由单调性求解即得.
【小问1详解】
当 时, ，求导得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（i）函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个变号零点，令，求导得，
若，则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，
若，则当时，，当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
要有两个变号零点，必有，解得，
此时，即函数在上有唯一零点，
令，求出得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，即，
因此当时，，取，
函数在上有唯一零点，
所以当时,函数存在两个极值点.
（ii）由（i）知，，，两式相除得，
令，则，，于是，
即，因此，
令，求导得，
令，求导得，函数在上递增，
则，即，函数在上单调递增，
而，则当时，，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
19. 已知定点，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点P、A、B是曲线C上的点，且．
（i）若点P的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）过定点，定点坐标，（ii）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线定义即可得到焦点坐标和准线方程，则得到抛物线方程；
（2）（i）设直线的方程为，点，联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理式，根据，展开代入韦达定理式得到关系即可得到顶点坐标；（ii）记线段的中点为点，分和讨论，当时，求出，再设点，利用等腰直线三角形的性质得到，代入韦达定理式得到的等式，再用表示出面积，计算出其范围即可.
【小问1详解】
由题意得动点到点的距离与到直线的距离相等，
的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
的方程为:.
【小问2详解】
（i）设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，点，
则且，(或)，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
而
整理得，解得或(舍).
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（ii）由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，
记线段的中点为点，
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，
则为等腰直角三角形.则的两腰所在直线的方程为，
联立解得或，
此时，;
②当时，，
即点，
因为，则，设点，其中且，
，
由已知可得
所以，，则.
直线的斜率为，可得，.
所以，当时，等式不成立.
所以且，.
所以，，则
所以，
故
综上所述，.因此，面积的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是采用设线法，联立抛物线方程得到韦达定理式，将垂直关系转化为向量点乘为0，再代入韦达定理式，化简得到关系即可得到定点坐标.
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
40
80
感染支原体肺炎
80
40
120
合计
120
80
200
0
1
2
3