广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题(含解析)

这是一份广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）
1．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．与点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起B．五边形的外角和等于
C．购买一张彩票，中奖D．随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数
4．如图，在⊙O中，，，则的度数是（ ）
A．10B．20C．30D．40
5．若方程没有实数根，则k值可以是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，的半径为13，弦，于点，则的长为（ ）
A．10B．6C．5D．12
8．将抛物线通过一次平移可得到抛物线．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向右平移个单位长度B．向上平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向下平移个单位长度
9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（ ）
A．B．6C．D．
10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地.设原正方形空地的边长为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

A．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．水温从加热到，需要
D．水温不低于的时间为
12．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，且其周长是20，则四边形的面积的最大值是（ ）
A．25B．30C．40D．50
第Ⅱ卷
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分．）
13．随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点是3的概率是 ．
14．如果一元二次方程的两根为，，那么 ．
15．如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ．
16．已知圆锥的高h＝2cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是 ．
17．下列是关于抛物线的性质：①图象开口向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，，其中正确的是 （填写序号）．
18．如图，三个顶点分别在反比例函数，的图象上，若，轴，轴，，则k的值为 ．

三、解答题（共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解方程：．
20．如图，和关于点成中心对称．

(1)找出它们的对称中心；
(2)若，求的周长；
21．一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
22．直线与双曲线相交于点，与轴交于点．
(1)求双曲线表达式；
(2)请在平面直角坐标系中直接画出直线与双曲线的图像．
23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．

(1)建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式．
(2)一大型货车装载设备后高为，宽为，如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
24．如图，为的直径，点在直径上（点与，两点不重合），，点在上且满足，连接并延长到点，使．

(1)求证：是的切线；
(2)当时，求半径的长．
25．已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为直线______；抛物线与轴的交点坐标为______；
(2)若抛物线的顶点恰好在轴上，写出抛物线的顶点坐标，求它的解析式并画出函数图象；
(3)在（2）的条件下，若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，求的取值范围．
26．综合与探究．
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在中，，，点是边上一点（），连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到．
（1）连接，试判断的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）希望小组受此启发，如图2，在线段上取一点，连接，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
（3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现，，三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意．
【详解】A、，是的正比例函数，不符合题意；
B、，不是的反比例函数，不符合题意；
C、，是的反比例函数，符合题意；
D、，该函数与成反比例函数关系，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标的变化规律．根据“关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了事件的分类：必然事件、随机事件及不可能事件，一定发生的事件是必然事件，可发生也可能不发生的事件是随机事件，不可能发生的事件是不可能事件；根据这三种事件的意义进行判断即可．
【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
B、五边形的外角和等于，是不可能事件，不符合题意；
C、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
D、随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
【详解】解：，，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用．
5．B
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得：，
∵
∴值可以是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
6．C
【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7．C
【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴由勾股定理可得：
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
8．A
【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x−3）2的顶点坐标为（3，0），
∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．C
【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．
【详解】∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，
∴AD=ABcs30°=6×=3．
根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，
∴△ADE的等边三角形，
∴DE=AD=3，
即线段DE的长度为3．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
10．A
【分析】设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式即可列出方程.
【详解】设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．
根据题意得：（x﹣3）（x﹣2）=20．
故选A.
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．
11．D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则，
，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意；
B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意；
C、开机加热时水温每分钟上升，
水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意；
D、水温从加热到所需要的时间为，
令，则，解得，
水温不低于的时间为，故D选项符合题意．
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了二次函数的最值，三角形的中位线的性质，矩形的性质，得到四边形的面积是解题的关键．连接、，交于点，根据三角形中位线性质得出，，由四边形是矩形，即可得到，进而即可得出四边形的面积，设的长为，则相邻的边为，从而得到，根据二次函数的性质即可求得结论．
【详解】解：连接、，交于点，
点、、、分别是边、、、的中点，
，，，，
四边形是矩形，
，
四边形的面积，
四边形的周长为20，
设的长为，则相邻的边为，
，，
，
四边形的面积的最大值是50．
故选：D．
13．
【分析】列举出所有等可能出现的结果数，进而求出朝上点数为3的概率．
【详解】解：随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点数可能为1，2，3，4，5，6，共六种，且每一种发生的可能性相同，因此朝上的点数是3的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果总数是解决此类问题的关键．
14．
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，根据“若一元二次方程的两实数根为，，则有，”，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，
故答案为：．
15．##度
【分析】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是掌握旋转角的概念．根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数即可．
【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且，
故答案为：．
16．
【分析】根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．
【详解】解：∵圆锥的高为2cm，底面半径为2cm，
∴圆锥的母线长为：＝4（cm），
底面周长是：2×2π＝4π（cm），
则侧面积是：×4π×4＝8π（cm2），
底面积是：π×22＝4π（cm2），
则全面积是：8π+4π＝12π（cm2）
故答案为：12πcm2．
【点睛】本题考查了圆锥的面积，掌握知识点是解题关键．
17．①③##③①
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令，得出函数图像与轴的交点，根据函数图像即可判断④，即可求解．
【详解】解：，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小；故①正确，②错误，③正确；
令，即，
解得：，，
如图，当或时，，故④不正确，
故答案为：①③．
18．5
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设点C的坐标为，则点A的坐标为点B的坐标为，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积结合，即可求出k值，取其正值即可．
【详解】解：设点C的坐标为，则点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∵ ，
∴或．
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴．
故答案为5．
19．，
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
20．(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接，，其交点就是对称中心；
（2）依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；

（2）解：和关于点成中心对称，
，
，，，
的周长；
答：的周长为15．
【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
22．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像与性质．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用描点法画出函数图像即可．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
解得：，
把代入，得，
解得：，
则双曲线表达式为；
（2）直线与双曲线的图像如图所示：
23．(1)
(2)能
【分析】（1）根据题意建立坐标系可得抛物线的顶点坐标为点 ，点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；
（2）根据题意得：当时， ，即可求解．
【详解】（1）解：如图：以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以为一个单位建立坐标系，

∵，，
∴，，，
设抛物线函数表达式为 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意得：当 时，
，
∴这辆货车能安全通过．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
24．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】此题考查了圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键．
（）先证，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立；
（）设的半径为，在中，利用勾股定理得，求得；
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，（舍去），
∴半径的长为．
25．(1)1，；
(2)顶点坐标为，，图象见解析；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握相关结论是解题关键．
（1）对于二次函数，其对称轴为直线，与轴的交点坐标为，据此即可求解；
（2）由题意得抛物线的点点坐标为，把代入即可求解；
（3）根据对称性求出关于对称轴的对称点坐标，根据题意建立不等式组即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故答案为：1，
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在轴上，
∴抛物线的顶点坐标为．
把代入，
得．
解得：．
∴抛物线的解析式为．
函数图象如图所示．
（3）解：关于对称轴直线的对称点为．
关于对称轴直线的对称点为．
若要，
则．
解得：．
26．（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识．
（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）由，，可得，再证明即可求解；
（3）根据题意得，由旋转得，，进而得：在中，，结合，即可求解．
【详解】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下：
如图1，由旋转得，，
，
，
为等腰直角三角形；
（2）．理由如下：
，，
，
，
又，，
在和中，,
．
．
（3）．理由如下：
，，
．
由旋转的性质可知，，
．
在中，．
又，
．