2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.椫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫棒，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.如果两个相似三角形对应边之比是：，那么它们的对应周长之比是( )
A. B. ：C. ：D. ：
3.下列函数中，函数值随的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
4.如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距( )
A. 米B. 米C. 米D. 米
5.据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则顶点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，弦，相交于点若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于第批向全国中小学生推荐优秀影片片目的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为______．
12.已知，那么的值等于______．
13.若是关于的方程的一个解，则的值是______．
14.已知二次函数的顶点坐标为______．
15.如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为______．
16.如图，在反比例函数的图象上有，，，等点，它们的横坐标依次为，，，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解方程：．
19.本小题分
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，求证：∽．
20.本小题分
贵州旅游资源丰富某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图景区内修建观光索道设计示意图如图所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为索道与的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点图中所有点都在同一平面内，点、、在同一水平线上

求索道的长结果精确到；
求水平距离的长结果精确到．
参考数据：，，，
21.本小题分
某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级班的所有学生在家劳动时间单位：小时，并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题：

九年级班的学生共有______人，补全条形统计图；
已知类学生中恰好有名女生名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
22.本小题分
当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元满足一次函数关系，它们的关系如下表：
求与之间的函数关系式；
该商家每天想获得元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
23.本小题分
如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，一次函数与函数的图象交于两点．
求这两个函数的解析式；
根据图象，直接写出满足时的取值范围；
点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为，求点的坐标．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点是轴上任意一点．
求抛物线的表达式；
点在抛物线上，若以点，，，为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点的坐标；
如图，当点从点出发沿轴向点运动时点与点，不重合，自点分别作，交于点，作，垂足为点当为何值时，面积最大，并求出最大值．
26.本小题分
问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放点、、在同一条直线上，其中小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：
初步探究
如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，请直接写出与的关系______；
如图，将中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：；
深入探究
如图，将中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．
探索线段与的关系，说明理由；
连接，，若，，直接写出 ______．
答案和解析
1.【答案】
解：如图所示，俯视图为：
．
故选：．
直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
2.【答案】
解：两个相似三角形对应边之比是：，
它们的对应周长之比为：，
故选：．
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】
解：选项，的函数值随着增大而增大，
故A不符合题意；
选项，的函数值随着增大而减小，
故B符合题意；
选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而减小，
故C不符合题意；
选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而增大，
故D不符合题意，
故选：．
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4.【答案】
解：由题意得：，
在中，，米，
米，
，两处相距米，
故选：．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.【答案】
解：由题意得：，
故选：．
根据年的人均可支配收入年平均增长率年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
解：与位似，与的相似比为：，
与位似比为：，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故选：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
7.【答案】
解：，，
，
，
．
故选：．
根据外角，求出，由同弧所对圆周角相等即可求出．
本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
8.【答案】
解：把三部影片分别记为、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有种，
这两个年级选择的影片相同的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】
解：由题意，得，．
，
有两点距离公式可得：．
．
或．
又，
．
故选：．
依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．
本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．
10.【答案】
解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得，
综上，的取值范围为：．
故选：．
由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
11.【答案】
解：袋子中共有个球，其中绿球有个，
从袋子中随机取出个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
12.【答案】
解：，
．
故答案为：．
把化成，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，把化成是解题的关键．
13.【答案】
解：依题意，得，
解得．
故答案为．
把代入方程列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．
本题考查一元二次方程的解．
14.【答案】
解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
二次函数的顶点坐标是，根据抛物线的顶点式解答．
本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是关键．
15.【答案】
解：由题意得，，，
在中，，
则，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
根据正切的定义求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】
解：，，，的横坐标依次为，，，，，
阴影矩形的一边长都为，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，
，
把代入关系式得，，即，
，
由几何意义得，，
．
故答案为：．
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，得出所求面积为矩形的面积，再分别求矩形和矩形的面积即可．
本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
17.【答案】解：


．
【解析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、绝对值的意义，二次根式的性质及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】解：原方程可化为：，
或，
解得，，．
【解析】先把方程化为两个因式积的形式，再求出的值即可．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．
19.【答案】证明：四边形是矩形，
，
由翻折而成，
，
，
，
∽．
【解析】先根据图形翻折变换的性质得出，故可得出，再由可得出，据此可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定，矩形的性质及翻折变换，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：在中，，，，
，
即的长约为；
延长交于，

，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
即的长为．
【解析】通过解可求得的长；
延长交于，证明四边形是矩形，可得，，再解可求解的长，进而可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
21.【答案】
解：人，
九年级班的学生共有人；
的人数为人，
的人数为人，
补全条形统计图如下：
故答案为：；
列树状图如下：
由图可知，一共有中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有种，
所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．
由的人数及对应的百分数可得九年级班的学生共有人；求出的人数为人，的人数为人，再补全条形统计图；
列树状图用概率公式可得答案．
本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列树状图求求概率．
22.【答案】解：设商品每天的销售量件与销售单价元满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故与之间的函数关系式为：；
根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：不合题意，舍去，，
答：应将销售单价定为元．
【解析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
直接利用中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
23.【答案】证明：连接，
是的切线，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，，
，，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
．
【解析】连接，由切线的性质得到半径，又，因此，推出，由等腰三角形的性质得到，故，即可证明；
连接，，由圆周角定理得到，而，得到，推出，因此，由∽，得到：：，即可求出．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出；由等腰三角形的性质得到，由∽，求出的长．
24.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
．
．
反比例函数解析式为．
把代入，得．
点坐标为，
一次函数解析式，经过，，
．
．
故一次函数解析式为：．
由，
，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，．
由题意，设且，
．
．
解得，．
或．
【解析】将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围；
由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
，
，
；
如图，

抛物线的对称轴为：直线，
由对称性可得，
当时，
，
，
，，
综上所述：或或；
设的面积为，
由题意得：，，，，．
，
，
，
，
，
∽，，
，
，
，
，
当时，最大，
当时，的面积最大值为：．
【解析】可将抛物线的表达式设为交点式，然后用根与系数的关系，进一步求得结果；
点的纵坐标为，代入求得其横坐标，进而求得结果；
根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出和，进而表示出的面积的函数表达式，进一步求得结果．
本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26.【答案】，
解：如图，与交于点，与交于点，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
故答案为：，；
如图，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
≌，
；
如图，，
理由：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
；
如图，连接，
∽，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
，
故答案为：．
先证明≌，得出，，进而证明；
由得出，再由菱形得出，又，可证明≌，即可得出；
由得，又，得∽，即可得出与的关系；
利用相似三角形的性质求出、的长度及，进而得出，再利用勾股定理及等量代换得出，即可求出的值．
本题考查了相似图形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理并会灵活应用是解决问题的关键．类别
劳动时间
销售单价元
销售量件