2023-2024学年湖北省黄石市黄石港区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省黄石市黄石港区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.科学防控知识的图片上有图案和文字说明，图案是轴对称图形的是( )
A. 有症状早就医B. 防控疫情我们在一起
C. 打喷嚏捂口鼻D. 勤洗手勤通风
2.若分式 x2x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. 任意实数B. x>2C. x≠2D. x≠0
3.空气的密度是0.00129克每立方厘米，将0.00129用科学记数法表示应为( )
A. 1.29×10−3B. 1.29×10−5C. 1.29×10−4D. 1.29×10−2
4.下列运算正确的是( )
A. x2+x2=x4B. 3a3⋅2a2=6a6
C. 2x4⋅(−3x4)=6x8D. (−a2)3=−a6
5.在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )
A. AC=A′C′B. BC=B′C′C. ∠B=∠B′D. ∠C=∠C′
6.计算：(ab−ba)÷a−ba=( )
A. a+bbB. a−bbC. a−baD. a+ba
7.下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. a2+4a−12=a(a−4)−12B. a2+4a−12=(a−2)(a+6)
C. (a−2)(a+6)=a2+4a−12D. a2+4a−12=(a+2)2−16
8.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
9.如图，A，B为4×4方格纸中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C(C在格点上)，使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=32S△ABP，其中正确的是( )
A. ①③B. ①②④C. ①②③D. ②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若代数式x+2x−2的值为0，则x=______．
12.一个正多边形的内角和是2160°，则它的外角是______度.
13.已知x2−(n−1)xy+64y2是一个完全平方公式，则n= ______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知∠CBD=12∠ABD，则∠A=______．
15.若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=5x+2无解，则m的值为______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，BC= 3，AD平分∠CAB交BC于D点.E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为______．
三、计算题：共2小题，共16分。
17.(1)计算：(x+3)(x−4)；
(2)分解因式：b−2b2+b3．
18.解方程：
(1)3x−2=2x；
(2)x+1x−1−4x2 −1=1．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点，延长ED至点F，使ED=DF，连结BF．
(1)求证：△BDF≌△CDE．
(2)当AD⊥BC，∠BAC=130°时，求∠DBF的度数．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(m+1−4m−5m−1)÷m2−43m−3，其中m=3．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(2,−1)，B(4,2)，C(1,4)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)直接写出△ABC的面积为______；
(3)请仅用无刻度的直尺画出∠ABC的平分线BD，保留作图痕迹．
22.(本小题10分)
外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包的进价多0.5元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
23.(本小题10分)
在△ABC中，AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，AF和BE相交于D点．
(1)如图1，若∠ADB=110°，求∠ACB的度数；
(2)如图2，连接CD，求证：CD平分∠ACB；
(3)如图3，若2∠BAF+3∠ABE=180°，求证：BE−BF=AB−AE．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A(m,0)、B(0,n)，且|m−n−3|+ 2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
(1)求OA、OB的长；
(2)连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2.【答案】C
解：由题意可得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．
3.【答案】A
解：将0.00129用科学记数法表示应为1.29×10−3．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)所决定．
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，一般形式为a×10−n，n是正整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包括小数点前面的一个零)所决定．
4.【答案】D
解：A、x2+x2=2x2，故本选项运算错误，不符合题意；
B、3a3⋅2a2=6a5，故本选项运算错误，不符合题意；
C、2x4⋅(−3x4)=−6x8，故本选项运算错误，不符合题意；
D、(−a2)3=−a6，运算正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．
解：
A、∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．
6.【答案】A
解：(ab−ba)÷a−ba=a2−b2ab⋅aa−b=a+bb，故选A．
先算括号里式子，再把除法转化为乘法运算，最后进行分式的约分化简．
注意此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简．
7.【答案】B
解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8.【答案】D
解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC=180°−∠DBC−∠C=180°−36°−72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=(180°−36°)÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED−∠A=72°−36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．
9.【答案】C
解：如图所示，
故选：C．
根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】C
解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=12(∠A+∠B)=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和≌△FBP中，
∠APB=∠FPBBP=BP∠ABP=∠FBP，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
∵△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，PA=PF，
又∵∠PAH=∠BAP，
∴∠PAH=∠BFP
在△APH和△FPD中，
∠APH=∠FPD=90°PA=PF∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FB=FD+BD=AH+BD.故③正确．
连接HD，ED．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD//EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+(S△AEP+S△EPH)+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确．
故选C．
根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11.【答案】−2
解：根据题意，得
x+2=0，
解得，x=−2；
故答案是：−2．
分式的值为0，分子为0，分母不为0．
本题考查了分式的值为0的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
12.【答案】1807
解：设这个多边形的边数为n，
则(n−2)⋅180°=2160°，
解得：n=14，
则该正多边形的每个外角为360°÷14=180°7，
故答案为：1807．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式求得n的值，然后根据多边形的外角及正多边形的性质列式计算即可．
本题考查多边形的内角和与外角和及正多边形的性质，结合已知条件求得其边数是解题的关键．
13.【答案】17或−15
解：∵x2−(n−1)xy+64y2是一个完全平方公式，
∴−(n−1)xy=±2×x×8y，
∴n=17或−15．
故答案为：17或−15．
根据完全平方式得出−(n−1)xy=±2×x×8y，再求出n即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式(完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个)是解此题的关键．
14.【答案】36°
解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠CBD=12∠ABD，
∴∠ABC=3∠CBD，
∴∠A=2∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，即2∠DBC+2∠DBC+∠DBC=90°，
解得，∠DBC=18°，
∴∠A=36°．
故答案为：36°．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠DBA，根据直角三角形的两锐角互余列式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】10或−4或3
解：(1)x=−2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(−2+2)−2m=5×(−2−2)，
解得m=10；
(2)x=2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(2+2)+2m=5×(2−2)，
解得m=−4．
(3)方程两边都乘(x+2)(x−2)，
得2(x+2)+mx=5(x−2)，
化简得：(m−3)x=−14．
当m=3时，整式方程无解．
综上所述，当m=10或m=−4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或−4或3．
分式方程无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解．
本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
16.【答案】 32
解：如图，在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知AB= AC2+BC2= 12+( 3)2=2，
∴CH=AC⋅BCAB=1× 32= 32，
在△AEF和△AEF′中，
AF=AF′∠EAF=∠EAF′AE=AE，
∴△AEF≌△AEF′(SAS)，
∴EF=EF′，
∴EF+CE=EF′+EC．
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，
最小值为 32．
故答案为： 32．
利用勾股定理先求出BA，再求到CH，由垂线段最短可得解．
本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短及点到直线距离垂线段最短等，运用轴对称性质解决线段最短问题是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=x2+3x−4x−12
=x2−x−12；
(2)原式=b(b2−2b+1)
=b(b−1)2．
【解析】本题考查了多项式乘多项式及整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
(1)利用多项式乘多项式法则直接求解；
(2)先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
18.【答案】解：(1)3x−2=2x，
去分母得：3x=2x−4，
解得：x=−4，
经检验x=−4是分式方程的解；
(2)x+1x−1−4x2 −1=1，
即x+1x−1−4x−1x+1=1，
去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，故分式方程无解．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
19.【答案】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)；
(2)解：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB，
∵∠BAC=130°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−130°)=25°，
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF=∠C=25°．
【解析】(1)由AD是BC边上的中线，得到BD=CD，于是得到结论；
(2)根据垂直平分线的性质可得AC=AB，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(m+1−4m−5m−1)÷m2−43m−3
=(m+1)(m−1)−(4m−5)m−1÷(m+2)(m−2)3(m−1)
=m2−4m+4m−1⋅3(m−1)(m+2)(m−2)
=(m−2)2m−1⋅3(m−1)(m+2)(m−2)
=3(m−2)m+2
=3m−6m+2，
当m=3时，原式=3×3−63+2=35．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】132
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)由题可得，AB=BC= 22+32= 13，∠ABC=90°，
∴△ABC的面积为12AB×BC=12×( 13)2=132；
故答案为：132；
(3)如图所示，BD即为所求．
(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)依据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得到其面积；
(3)依据等腰直角三角形斜边上的高线即为顶角的平分线，利用格点作出高线即可得到∠ABC的平分线．
本题主要考查了利用轴对称变换作图，解答本题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于y轴对称的点的坐标的特点．
22.【答案】解：(1)设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有(1+50%)x包，
依题意得：7500(1+50%)x−4000x=0.5，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有2000包．
(2)设药店销售该口罩每包的售价是y元，
依题意得：[2000+2000×(1+50%)]y−4000−7500≤3500，
解得：y≤3．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有(1+50%)x包，根据单价=总价÷数量，结合第二批每包的进价比第一批每包的进价多0.5元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据利润=销售收入−进货成本，结合售完这两批口罩的总利润不高于3500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
23.【答案】(1)解：∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAF=12∠BAC，∠ABE=12∠ABC，
∵∠ADB=110°，
∴∠BAF+∠ABE=70°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠ACB=40°；
(2)证明：如图2，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，DM⊥AB于M，

∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，DN⊥AC，DH⊥BC，DM⊥AB，
∴DM=DN，DM=DH，
∴DN=DH，
又∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴CD平分∠ACB；
(3)证明：如图3，延长AB至M，使BM=BF，连接FM，

∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴2∠BAF+2∠ABE+∠C=180°，
∵2∠BAF+3∠ABE=180°，
∴∠C=∠ABE=∠CBE，
∴CE=BE，
∵BM=BF，
∴∠BFM=∠BMF=∠ABE=∠CBE=∠C，
∵∠C=∠BMF，∠CAF=∠BAF，AF=AF，
∴△CAF≌△MAF(AAS)，
∴AC=AM，
∴AE+CE=AB+BM，
∴AE+BE=AB+BF，
∴BE−BF=AB−AE．
【解析】(1)由角平分线的性质可得∠BAF=12∠BAC，∠ABE=12∠ABC，由三角形内角和定理可求解；
(2)由角平分线的性质可证DM=DN，DM=DH，由角平分线的判定可得结论；
(3)延长AB至M，使BM=BF，连接FM，由“AAS”可证△CAF≌△MAF，可得AC=AM，即可得结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，四边形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵|m−n−3|+ 2n−6=0，
∴m−n−3=0，2n−6=0，
解得：n=3，m=6，
∴OA=6，OB=3；
(2)分为两种情况：①当P在线段OA上时，
AP=t，PO=6−t，
∴△BOP的面积S=12×(6−t)×3=9−32t，
∵若△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0