2022-2023学年湖北省荆州市荆州区七年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省荆州市荆州区七年级（下）期末数学试卷 （含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在实数、、1、中，无理数是（ ）
A．B．C．1D．
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得a2＞b2
C．由a＞b，得|a|＞|b|D．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．﹣32＝9
4．要了解全区中学生课外作业负担情况，以下抽样方式中比较合理的是（ ）
A．调查全区中学女生作业情况
B．调查全区七年级学生作业情况
C．调查全区九年级学生作业情况
D．调查各中学七、八、九年级各100名学生作业情况
5．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
6．点P（m+3，m+1）在y轴上，则P点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0）
7．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．20°D．10°
8．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．3B．4C．6D．1
9．实数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图，则|c|+|a﹣b|+|b+c|﹣|2b|化简的结果是（ ）
A．b+2aB．a﹣2cC．﹣cD．3b﹣a
10．如图，已知坐标A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1）、A6（2，2）…，则A2024的坐标是（ ）
A．（505，﹣505）B．（﹣505，505）
C．（506，﹣506）D．（﹣506，506）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．的平方根为 ．
12．如图，将一个宽度相等的纸条沿AB折叠一下，如果∠1＝130°，那么∠2＝ ．
13．一个正数a的两个不相等的平方根是2b﹣1和b+4，则a﹣b＝ ．
14．点（2x+3，4﹣3x）在第四象限，则的取值范围是 ．
15．已知关于x、y的方程组的解互为相反数，则k＝ ．
16．如图，将一副三角板重叠放置，其中30°和45°的两个角的顶点重合在一起．若将三角板AOB绕点O旋转，在旋转过程中，当AB∥OC时，∠BOC＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（1）解方程组：；
（2）计算：．
18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19．“校园诗词大赛”结束后，老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如下：
（1）本次比赛的选手共 人，扇形统计图中“69.5﹣79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ．
（2）将频数分布直方图补充完整．
（3）规定：成绩由高到低前60%的选手可获奖，小明比赛成绩为78分，判断他能否获奖，并说明理由．
20．已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们的顶点在平面直角坐标系中，坐标如下表所示：
（1）观察表中对应点坐标的变化，并填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）在平面直角坐标系中描出点B、点C，连接O、B、C，并将△OBC向上平移1个单位，再向左平移3个单位，得△O1B1C1，画出平移后的△O1B1C1．
（3）＝ ．
21．如图，点D、F在线段BC上，点E在线段AB上，点G在线段AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝60°，且∠H﹣∠4＝4°，求∠H的度数．
22．阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程2x﹣5＝1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）
①2x﹣2＞3x；
②3（x﹣1）≤6；
③；
（2）若是方程组与不等式x+y＞1的“理想解”，求q的取值范围；
（3）若关于x，y的方程组与不等式2x+y≤a+5的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围．
23．荆州作为荆楚文化根脉所在，是楚文化发祥地．首届楚文化节于2023年3月至4月在荆州举办．为更好展现荆州，荆州市特推出A、B两种不同明信片套盒和单张明信片．已知一种A套盒和一种B套盒总价13元，2种A套盒和3种B套盒总价31元；单张明信片1元/张．
（1）请求出A、B两种套盒的单价各是多少元？
（2）某顾客计划用200元购买这三种商品共127件，如果资金刚好全部用完，问有几种购买方案？
24．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）如图（1）当P，Q分别在线段AO、OC上时，连接PB、QB，使S三角形PAB＝4S三角形QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请求出∠OPQ和∠PQB的数量关系．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在实数、、1、中，无理数是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可求解．
解：，、1都是有理数，是无理数，
故选：D．
【点评】本题考查了立方根、无理数的定义，掌握无理数的定义及常见形式是解题的关键．
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得a2＞b2
C．由a＞b，得|a|＞|b|D．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解：A、由a＞b，根据不等式的性质1，两边同时减去2可得a﹣2＞b﹣2，故此变形错误；
B、由a＞b，得a2＞b2，错误，两边所乘的整式不相同，也不相等，故此变形错误；
C、由a＞b，得|a|＞|b|，错误，例如：﹣2＞﹣5，但是|﹣2|＜|﹣5|，故此变形错误；
D、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．﹣32＝9
【分析】分别根据平方根、算术平方根和乘方进行化简计算即可．
解：A． ，原选项错误，不符合题意；
B． ，原选项正确，符合题意；
C． ，原选项错误，不符合题意；
D．﹣32＝﹣9，原选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了求平方根、算术平方根和乘方运算，熟练掌握知识点并注意符号是解题的关键．
4．要了解全区中学生课外作业负担情况，以下抽样方式中比较合理的是（ ）
A．调查全区中学女生作业情况
B．调查全区七年级学生作业情况
C．调查全区九年级学生作业情况
D．调查各中学七、八、九年级各100名学生作业情况
【分析】因为要了解全区学生的情况，所以应在每个学校每个年级抽样调查比较合理，据此作答即可．
解：要了解全区中学生课外作业负担情况，比较合理的是调查各中学七、八、九年级各100名学生作业情况，
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查，掌握抽样调查的方法是解题的关键．
5．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
【分析】方程组两方程相加求出所求即可．
解：，
①+②得：5a+5b＝10，
则a+b＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的整体思想．
6．点P（m+3，m+1）在y轴上，则P点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0）
【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得m+3＝0，然后进行计算即可解答．
解：∵点P（m+3，m+1）在y轴上，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3，
当m＝﹣3时，m+1＝﹣2，
∴P点坐标为（0，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
7．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．20°D．10°
【分析】过点C作CD∥m，进而可得CD∥m∥n，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，进而根据角的和差求解即可．
解：过点C作CD∥m，
∵m∥n，
∴CD∥m∥n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠2＝∠ACB﹣∠1＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，能够作出适当的辅助线是解题的关键．
8．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．3B．4C．6D．1
【分析】求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数．
解：解不等式组得：＜x＜2，
由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，
满足条件的整数a的值为0、1、2、3，
整数a的值之和是0+1+2+3＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．实数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图，则|c|+|a﹣b|+|b+c|﹣|2b|化简的结果是（ ）
A．b+2aB．a﹣2cC．﹣cD．3b﹣a
【分析】先根据数轴得出c＜b＜0＜a，进而判断出c＜0，a﹣b＞0，b+c＜0，2b＜0，再化简绝对值即可．
解：由数轴得c＜b＜0＜a，
∴c＜0，a﹣b＞0，b+c＜0，2b＜0，
∴|c|+|a﹣b|+|b+c|﹣|2b|＝﹣c+a﹣b﹣b﹣c+2b＝a﹣2c，
故选：B．
【点评】本题考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，熟练掌握正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数是解题的关键．
10．如图，已知坐标A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1）、A6（2，2）…，则A2024的坐标是（ ）
A．（505，﹣505）B．（﹣505，505）
C．（506，﹣506）D．（﹣506，506）
【分析】根据所给点的坐标，发现坐标变化的规律即可解决问题．
解：由题知，
点A4的坐标为（﹣1，﹣1），
点A8的坐标为（﹣2，﹣2），
点A12的坐标为（﹣3，﹣3），
…，
所以点A4n的坐标可表示为（﹣n，﹣n）（n为正整数），
因为2024÷4＝506，
所以点A2024的坐标为（﹣506，﹣506）．
故选：D．
【点评】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标发现点A4n的坐标可表示为（﹣n，﹣n）（n为正整数）是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．的平方根为 ±3 ．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
【点评】此题考查了平方根，算术平方根等知识，属于基础题，掌握定义是关键．
12．如图，将一个宽度相等的纸条沿AB折叠一下，如果∠1＝130°，那么∠2＝ 115° ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据翻折的性质和平角的定义求出∠4，然后利用两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解：∵纸条对边平行，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣130°＝50°，
由折叠的性质得，∠4＝（180°﹣∠3）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵纸条对边平行，
∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
13．一个正数a的两个不相等的平方根是2b﹣1和b+4，则a﹣b＝ 9 ．
【分析】根据平方根，实数的运算，负整数指数幂的定义即可求解．
解：由题意得：2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1，b+4＝3，
∴a＝32＝9，
∴a﹣b＝91＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平方根，实数的运算，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
14．点（2x+3，4﹣3x）在第四象限，则的取值范围是 ．
【分析】根据象限的符号特征（﹣，+），建立不等式组求解计算即可．
解：因为点（2x+3，4﹣3x）在第四象限，
所以，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了象限的符号特征（﹣，+），建立不等式组求解是解题的关键．
15．已知关于x、y的方程组的解互为相反数，则k＝ 1 ．
【分析】由①﹣②，可得出x+y＝k﹣1，结合x+y＝0，可求出k的值．
解：，
①﹣②得：x+y＝k﹣1，
又∵x+y＝0，
∴k﹣1＝0，
解得：k＝1，
∴k的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
16．如图，将一副三角板重叠放置，其中30°和45°的两个角的顶点重合在一起．若将三角板AOB绕点O旋转，在旋转过程中，当AB∥OC时，∠BOC＝ 45°或135° ．
【分析】根据题意画出图形，由平行线的性质可得出答案．
解：如图1，当△AOB绕点O顺时针旋转90°时，AB∥OC，此时∠BOC＝∠ABO＝45°．
如图2，当△AOB绕点O逆时针旋转90°时，AB∥OC，
此时∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝90°+45°＝135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（1）解方程组：；
（2）计算：．
【分析】根据加减消元法可得x的值，将x的值代入①式中可得y的值，进而可求得方程组的解；先求平方根与立方根的值，并以及化简绝对值，再进行加减运算即可．
解：（1），
由①+②得y＝1，
把y＝1代入①得2x+1＝7，
解得：x＝3，
∴方程组的解为；
（2）原式＝．
【点评】本题考查用加减消元法或代入消元法求方程组的值，以及平方根，立方根的运算，和化简绝对值，能够熟练掌握加减消元法解二元一次方程是解决本题的关键．
18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别解两个不等式，再将不等式的解集表示在数轴上，即可求解．
解：1由①得x≥0，
由②得x＜﹣2，
在数轴上表示为：
∴此不等式组无解．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题的关键．
19．“校园诗词大赛”结束后，老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如下：
（1）本次比赛的选手共 50 人，扇形统计图中“69.5﹣79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 30% ．
（2）将频数分布直方图补充完整．
（3）规定：成绩由高到低前60%的选手可获奖，小明比赛成绩为78分，判断他能否获奖，并说明理由．
【分析】（1）用“59.5﹣69.5”这一组人数除以其所占百分比即可得出总人数；先求出扇形统计图中“79.5﹣89.5”这一组人数，再除以总人数即可得出其所占百分比；
（2）先求出条形统计图中“84.5﹣89.5”这一组人数和条形统计图中“69.5﹣74.5”这一组人数，再补充频数分布直方图即可；
（3）求出“79.5～99.5”共30人，占总数60%，7不在前60%，即可判断．
解：（1）本次比赛的选手共（2+3）÷10%＝50人，
扇形统计图中“79.5﹣89.5”这一组人数50×36%＝18人，
扇形统计图中“69.5﹣79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为（50﹣2﹣3﹣18﹣8﹣4）÷50＝30%，
故答案为：50，30%；
（2）条形统计图中“84.5﹣89.5”这一组人数为18﹣10＝8人，
条形统计图中“69.5﹣74.5”这一组人数为50﹣2﹣3﹣8﹣18﹣8﹣4＝7人，
补充频数分布直方图，如图所示：
（3）不能获奖，理由如下：
∵“79.5～99.5”共30人，占总数60%，
78＜79.5，前60%才可获奖，
∴他不能获奖．
【点评】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图相关知识，涉及样本估计总体，画频数分布直方图，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们的顶点在平面直角坐标系中，坐标如下表所示：
（1）观察表中对应点坐标的变化，并填空：a＝ ﹣2 ，b＝ 6 ，c＝ 8 ．
（2）在平面直角坐标系中描出点B、点C，连接O、B、C，并将△OBC向上平移1个单位，再向左平移3个单位，得△O1B1C1，画出平移后的△O1B1C1．
（3）＝ ．
【分析】（1）观察表中各对应点坐标的变化，△A′B′C′是由△ABC经过向上平移3个单位，向右平移6个单位得到的，进而可填空；
（2）连接O、B、C，并将△OBC向上平移1个单位，再向左平移3个单位，得△O1B1C1；
（3）根据割补法即可求出△O1B1C1的面积．
解：（1）观察表中点A和点A′坐标的变化，点B和点B′坐标的变化可知：
△A′B′C′是由△ABC经过向上平移3个单位，向右平移6个单位得到的，
∴a＝﹣2，b＝6，c＝8；
故答案为：﹣2，6，8；
（2）作图如下：
（3）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质及利用分割的思想求面积．
21．如图，点D、F在线段BC上，点E在线段AB上，点G在线段AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝60°，且∠H﹣∠4＝4°，求∠H的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠B，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AB∥GD，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠2＝∠BAD，结合∠2+∠3＝180°，可得出∠BAD+∠3＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”，即可证出EH∥AD；
（2）由AB∥GD，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出∠DGC＝∠BAC，结合∠DGC＝60°，可得出∠BAC＝60°，由EH∥AD，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出∠2＝∠H，结合∠2＝∠BAD，可得出∠H＝∠BAD，由∠DGC＝60°，可得出∠H+∠4＝60°，再结合∠H﹣∠4＝4°，即可求出∠H的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵AB∥GD，
∴∠DGC＝∠BAC，
∵∠DGC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝60°，
∵∠H﹣∠4＝4°，
∴∠H＝×（60°+4°）＝32°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出∠BAD+∠3＝180°；（2）根据各角之间的关系，找出∠H+∠4＝60°．
22．阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程2x﹣5＝1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” ②③ （直接填写序号）
①2x﹣2＞3x；
②3（x﹣1）≤6；
③；
（2）若是方程组与不等式x+y＞1的“理想解”，求q的取值范围；
（3）若关于x，y的方程组与不等式2x+y≤a+5的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围．
【分析】（1）利用“理想解”的规定解答即可；
（2）利用二元一次方程组的解的意义和“理想解”的规定列出关于q的不等式解答即可；
（3）利用二元一次方程组的解的意义，不等式的解集和“理想解”的规定列出不等式组，解不等式组解答即可得出结论．
解：（1）方程2x﹣5＝1的解为：x＝3．
不等式2x﹣2＞3x的解集为：x＜﹣2，
∵x＝3不满足不等式2x﹣2＞3x，
∴方程2x﹣5＝1的解不是此方程与不等式①的“理想解”；
∵不等式3（x﹣1）≤6的解集为：x≤3，
∴x＝3满足不等式3（x﹣1）≤6，
∴方程2x﹣5＝1的解是此方程与不等式②的“理想解”；
∵不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
∴x＝3满足不等式组，
∴方程2x﹣5＝1的解是此方程与不等式组③的“理想解”．
故答案为：②③；
（2）由方程组得：
3x+3y＝6+3q，
∴x+y＝2+q．
∵是方程组的解，
∴m+n＝2+q．
∵若是方程组与不等式x+y＞1的“理想解”，
∴2+q＞1，
∴q＞﹣1．
（3）关于x，y的方程组的解为：，
∵关于x，y的方程组与不等式2x+y≤a+5的“理想解”均为正数，
∴，
∴1＜a≤．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
23．荆州作为荆楚文化根脉所在，是楚文化发祥地．首届楚文化节于2023年3月至4月在荆州举办．为更好展现荆州，荆州市特推出A、B两种不同明信片套盒和单张明信片．已知一种A套盒和一种B套盒总价13元，2种A套盒和3种B套盒总价31元；单张明信片1元/张．
（1）请求出A、B两种套盒的单价各是多少元？
（2）某顾客计划用200元购买这三种商品共127件，如果资金刚好全部用完，问有几种购买方案？
【分析】（1）设A套盒单价为x元，B套盒单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购A套盒a件，B套盒b件，则单张明信片（127﹣a﹣b）件，则8a+5b+（127﹣a﹣b）＝200，可得，再根据a、b为正整数，即可作答．
解：（1）设A套盒单价为x元，B套盒单价为y元，
则，
解得，
∴A套盒单价为8元，B套盒单价为5元；
（2）设购A套盒a件，B套盒b件，则单张明信片（127﹣a﹣b）件，
则8a+5b+（127﹣a﹣b）＝200，
∴，
∵a、b为正整数，
∴或，
∴共两种方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组以及二元一次方程，是解答本题的关键．
24．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）点A的坐标是 （﹣8，0） ，点B的坐标是 （﹣4，﹣4） ，点C的坐标是 （0，﹣4） ；
（2）如图（1）当P，Q分别在线段AO、OC上时，连接PB、QB，使S三角形PAB＝4S三角形QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请求出∠OPQ和∠PQB的数量关系．
【分析】（1）利用非负数的性质求解a，c，从而可得答案；
（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，，，利用S△APB＝4S△BCQ，再建立方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图所示，②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO如图所示，再利用平行线的性质可得结论．
解：（1）∵，
∴a+8＝0，c+4＝0，
解得：a＝﹣8，c＝﹣4，
∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
故答案为：（﹣8，0），（﹣4，﹣4），（0，﹣4）；
（2）过B点作BE⊥AO于E，如图1，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，
则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，
∴，，
∵S△APB＝4S△BCQ，
∴4t＝4（8﹣2t），解得，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．理由如下：
∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴BC∥AO，
①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO，如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，即∠BQP+∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
【点评】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，坐标与图形面积，平行线的性质，平行公理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
△ABC
A（a，1）
B（3，3）
C（2，﹣1）
△A′B′C′
A′（4，4）
B′（9，b）
C′（c，2）
△ABC
A（a，1）
B（3，3）
C（2，﹣1）
△A′B′C′
A′（4，4）
B′（9，b）
C′（c，2）