广东省深圳市光明区光明中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份广东省深圳市光明区光明中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了本卷命题范围，设复数，则等内容，欢迎下载使用。

数 学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：必修第二册第六、七、八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，且，则实数m的值为（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
2．若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（ ）
A．平行B．平行或异面C．异面或相交D．平行或异面或相交
6．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则C的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
7．已知三棱锥中，PA⊥平面ABC，，，，M是BC上一点，则PM的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设复数，则（ ）
A．z的实部为B．C．z的虚部为D．
10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点O为的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则________．
13．在中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则________．
14．如图所示，三棱锥中，平面平面ABC，，，，，则三棱锥外接球的体积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若，，求的面积．
16．（15分）
已知平面向量与满足，向量是与向量同向的单位向量，向量在向量上的投影向量为．
（1）若与垂直，求的大小；
（2）若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值．
17．（15分）
如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求直线PB与平面PAD所成的角．
18．（17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
（3）若，，，求∠MPN的余弦值．
19．（17分）
已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值的大小．
深圳市光明区光明中学2023~2024学年
高一第二学期期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 因为向量，所以，解得．
2．D 因为，所以，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．
3．B 设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个面积为4的正方形，所以，所以．
4．C 由余弦定理及，得，整理得，即为直角三角形，．
5．D
6．C 由正弦定理及．得，所以
，
得，因为，，
所以，，所以，因为，所以，为直角三角形．
7．B 如图，连接AM，则由题意PA⊥平面ABC，可得PA⊥AM，所以，
要求PM的最小值只需求出AM的最小值即可．
在中，当AM⊥BC时，AM有最小值，此时，
所以PM的最小值为．
8．D 由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可，又，即BC⊥CD，则，
①当点E在边BC上运动时，设，则，
所以；
②当点E在边CD上运动时，设，则，
所以．
综上，的取值范围为．
9．AB 因为，所以z的实部为，虚部为．
10．AB 当，平行且与，都垂直时，成立，但不一定成立，故A错误；
由得或π，此时，故B错误；
对两边平方得，
即，故，即，故C正确；
因为，所以且，
因为，，均为非零的平面向量，所以，故D正确．
11．ACD 由余弦定理知，又，所以，A正确；
因为点O为的外接圆圆心，所以，，
所以，B错误；
，C正确；
因为，
则，
又，即①，
同理，
即，所以②，联立①②，解得，，，D正确．
12．1 由余弦定理，得．
13．1 因为，且P为BE上任一点，可得，
由P，B，E三点共线，可得．
14． 因为PA⊥PC，AC⊥BC，，，所以，，
取AB的中点为O，连接OC，取AC的中点为E，连接PE，OE，
则，，
又平面平面，所以PE⊥平面ABC；
因为平面ABC，所以PE⊥OE，又，所以，
所以就是外接球的半径，则三棱锥外接球的体积为．
15．（1）证明：因为，由二倍角公式知：
，2分
即，4分
故由正弦定理可得．6分
（2）解：由（1）及得，
，所以，．10分
所以．13分
16．解：（1）设，的夹角为，由题意得，
则．3分
因为与垂直，所以，4分
化简为，6分
即，所以．7分
（2）由题意得，所以，9分
所以，10分
，12分
设向量与的夹角为α，所以．15分
17．（1）证明：取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，所以且，2分
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以，且，
所以且，
所以四边形AMNE为平行四边形，所以，4分
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．6分
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，
平面平面，又ABCD为正方形，所以，平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，10分
PA是PB在平面PAD上的射影，所以∠BPA即为直线PB与平面PAD所成的角，
又，所以为等腰直角三角形，所以，
即直线PB与平面PAD所成的角为45°．15分
18．（1）解：连接MN，则MN平行于AB且MN为中位线，所以，
所以．4分
（2）证明：在中，由余弦定理，得．5分
在中，由余弦定理，得
．9分
（3）解：因为，，，11分
所以，13分
所以．17分
19．（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，，
所以平面．
又平面，所以，3分
因为四边形为菱形，所以．
又，，平面．
所以平面．6分
（2）解：设，作于E，连AE，如图所示
由（1）平面，平面，所以，8分
又，，，平面AEO，所以平面AEO，
又因为平面AEO，所以，
所以为二面角的平面角，10分
又1是菱形，，所以，
所以是等边三角形，则，，12分
在中，，则，，，13分
由平面，平面知，即，15分
所以，所以，
所以二面角的余弦值为．17分