四川省广安友实学校2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份四川省广安友实学校2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．由1，2，3，4这4个数组成无重复数字的四位数且为偶数，共有多少种排法（ ）
A．12 B．24 C．48 D．256
2．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极值点
C．在处的切线的斜率大于0 D．的单减区间为
3．己知随机变量，且，则（ ）
A． B．12 C． D．24
4．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（ ）
A．75万元 B．85万元 C．99万元 D．105万元
5．展开式中，项的系数为（ ）
A． B．70 C．90 D．110
6．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．42种 D．60种
7．设函数的定义域为R，是其导函数，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知二项式的展开式中，的系数为28，下列说法正确的有（ ）
A． B．的系数为70
C．展开式中没有常数项 D．展开式中二项式系数最大的项为第4项
10．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为，第2，3台次品率为，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第i台车床加工”（），则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若成立，则可取的值有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．随机变量X服从正态分布，若，则__________．
13．泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为__________．
14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．
四、解答题
15．已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）讨论的单调性．
16．某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元
（1）求X的分布列与数学期望：
（2）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
17．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计如下：
（1）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明（当时，变量x，y有较强的线性相关关系）；
（2）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
本题相关数据：．
18．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
19．已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数a的取值范围．
2023-2024学年度下期高2022级第三次月考数学
参考答案
1．A【详解】因为四位数为偶数，则个位数字为偶数，共有种可能，剩余的三个数进行全排列，共有种可能；所以共有种排法．故选：A．
2．D【详解】因，当时，时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减．
对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误；
对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误：
对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误；
对于D，由上分析知，的单减区间为，故D正确．故选：D．
3．A【详解】由，根据数学期望的性质，可得：，
因为随机变量，根据二项分布的性质公式，可得：，
可得方程：，解得：，则，故选：A．
4．B【详解】由题意得，样本中心为．回归直线过样本中心，，解得，∴回归直线方程为．当时，，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．
5．D【详解】展开式的通项公式为展开式中，项的系数为，故选D．
6．B【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能，若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能，故共有种可能．
7．B【详解】构造函数，则，故在上单调递增，，可化为，故原不等式的解集为，故选：B．
8．A【详解】令，则．当时，f单调递减，当时，单调递增，则，故．
令，则．当时，单调递减，
则，即．故．
9．BC【详解】因为展开式通项公式为：（），
由，得到，由题知，得到，故，
选项A，因为，所以选项A错误；
选项B，由，得到，所以的系数为，所以选项B正确；
选项C，由，得到，所以不存在常数项，所以选项C正确；
选项D，因为，所以由二项式系数性质知，二项式系数最大的项为第5项，所以选项D错误．
10．ABC【详解】解：根据题意，故C正确；
，则，故A正确；
，故B正确；，故D错误．故选：ABC．
11．ACD【详解】设，则，
令，所以，
又在增函数，且，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增．
所以，即的最小值为．故选ACD．
12．0.1/【详解】解：因为随机变量X服从正态分布且，
所以；
13．【详解】依题意，，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，则，
于是，
所以次品率小于的概率约为．
l4．2【详解】因为，所以，
则在点处的切线方程为：，即；
在点处的切线方程为：，即，
由己知，则，解得，
又，所以，所以，
15．（1） （2）答案见解析
【详解】（1）当时，则，
当时恒成立，所以在上单调递增，
又，所以在上的值域为．
（2）函数的定义域为，
又，
当，即时恒成立，所以在上单调递减；
当，即时，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上可得：当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增．
16．（1）分布列见解析， （2）159人，28万元
【详解】（1）依题意可得X的可能取值为3，4，5，6，
则，
的分布列为：
．
（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为（人），则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）．
17．（1）可以 （2），预计收入为19.4亿元；
【详解】（1）解：由表中数据可得，，
，，，
，
变量x、y有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）解：由（1）知，所以，
故y关于x的回归方程为，
将代入回归方程可得，，
故预测投入10（亿元）时产品的收益为19.4（亿元）．
18．（1）样本空间见解析， （2）以数学期望为依据选择方案一更恰当
【详解】（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：，
所以该考试得分的概率；
（2）设方案一、二的得分分别为X，Y，
则X可取2，3，Y可取0，4，6，
①
∴X的分布列为：
则
②
∴Y的分布列为：
则，
，
∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．
【点睛】方法点晴：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
19．（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）当时，，求导，求出函数的最小值，进而即可证明；
（2）若函数在上存在极值，则在上存在零点．
法一：通过讨论a的范围，对函数的零点分析求解即可；
法二：令，方程在上有实根，即函数与函数在上有交点，讨论在上的交点情况即可求解．
【详解】（1）证明：当时，，
当时，，且，
所以当时，，且时，，
函数在上单调递增，，
所以，对．
（2）（2）解：法一：若函数在存在极值，
则在上存在零点．
①当时，为上的增函数，
，
则存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以，为函数的极小值点；
②当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，在无极值；
③当时，在上恒成立，
函数在上单调递减，在上无极值．
综上知，使在上存在极值的a的取值范围是．
法二：若函数在上存在极值，
则在上存在零点，
令，则，
令，
方程在上有实根，
即函数与函数在上有交点．
由，得，
显然，在上单调递减，
则，
所以，当时，与有交点，a的取值范围是．
即当时，存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以，为函数的极小值点．
综上知，函数在上存在极值，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：本题考查函数在给定区间上存在极值，求参数问题，可将问题转化为导函数在给定区间上存在零点问题，通常可用讨论参数研究导函数的单调性通过零点存在性定理判断，或者是分离参数，转化为求函数的值域问题来解决．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
投入x（亿元）
2
3
4
5
6
产品收益y（亿元）
3
7
9
10
11
X
3
4
5
6
P
X
2
3
P
X
0
4
6
P