四川省成都市第七中学2023-2024学高一下学期6月月考数学试题(含答案)

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学高一下学期6月月考数学试题(含答案)，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值是（ ）
A．B．C．D．
2．数据的方差，则下列数字特征一定为0的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．极差
3．的虚部是（ ）
A．1B．C．iD．
4．已知三点共线，则的值为（ ）
A．B．5C．D．3
5．如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．已知中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四棱锥的底面为矩形，且平面，若，则下列结论错误的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为B．平面平面
C．D．二面角的余弦值为
8．崇丽阁之名取自晋代左思《蜀都赋》中的名句“既丽且崇，实号成都”．如图，在测量府河西岸的崇丽阁高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．米B．米C．米D．米
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是关于的方程的两个根，其中，则（ ）
A．B．C．D．
10．某大学组织一次体育考试，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A．B．考生成绩的众数为75
C．考生成绩的第70百分位数为76D．估计这500名考生成绩的平均分为70.8
11．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，．若，则下列结论正确的是（ ）
A．点到平面的距离是2B．直线与直线的夹角为
C．四面体的体积为D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则______．
13．某小学运动会上，跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：
则跳绳个数的中位数是______．
14．在三棱柱中，，若，则二面角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
记的内角的对边分别为，已知．
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值．
16．（15分）
如图，在四边形中，，且，若为线段上的两个动点，且．
（1）当为的中点时，求的长度；
（2）求的最小值．
17．（15分）
用分层随机抽样从某校高一年级800名学生的化学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数；
（2）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．
18．（17分）
如图，四边形为梯形，．等腰直角三角形中，为腰的中点，平面平面．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求与平面所成角的正切值．
19．（17分）
在四面体中，，记四面体的内切球半径为．分别过点向其对面作垂线，垂足分别为．
（1）是否存在四个面都是直角三角形的四面体？（不用说明理由）
（2）若垂足恰为正三角形的中心，证明：；
（3）已知，证明：．
成都七中高一下学期6月考试数学试题参考解答
1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A 9．AD 10．BC 11．BCD
12．4 13．165 14．
8．解析：
在中，，由正弦定理，得，计算得米．在中，米，故选A．
11．解析：
在平面内过作与平行且相等的线段，连接，
在平面内过作与平行且相等的线段，连接，
补成一个正三棱柱是边长为2的正三角形，
A：到平面的距离为点到的距离，故A错误；
B：因为，直线与直线的夹角即直线与直线的夹角，又是正方形，所以夹角为，故B正确；
C：，故C正确；
D：取中点，连接，易证平面，所以直线与平面所成角为．计算得，故，故D正确．
故答案选BCD
14．解析：
连接交于点，连接交于点，连接．
平面，又平面，
平面平面．
∵平面平面，∴过点作有平面；此时．
过点作，连接，则即为二面角的平面角，
不妨设，经计算可得：．
过点分别作．
∵是中点，且为中点，，
．
15．解：（1）由，和余弦定理得，
即，所以．所以是直角三角形．
（2）由（1）知是直角三角形，且，可得．
所以周长为，
所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．
16．解：（1）由得，
因为，所以．
又，
所以
（2）设．
则．．
所以
．
当时，取到最小值，且为．
17．解：（1）成绩不低于80分的频率为，
所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：．
所以估计高一年级男生中成绩优秀人数为96人．
（2）设男生成绩样本平均数为，方差为，
女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为．
．
．
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．
18．解：（1）因为，
所以，于是，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以．
异面直线与所成角的大小为．
（2）等腰直角三角形中，，所以．
由（1）知，又平面，
所以平面．
（3）取的中点为，连接．则．
因为为腰的中点，，所以平面，从而，
又，所以平面．于是平面平面．
过点作于点．所以平面．
设与平面所成角为，又，
所以．
所以直线与平面所成角的正切值为．
19．解：（1）存在．
（2），
．
，
，
所以，
解得．
（3），
，
所以，
即．
注意到．
所以．
于是，所以．
选手
选手1
选手2
选手3
选手4
选手5
选手6
选手7
选手8
个数
141
171
160
147
145
171
170
172