浙江省浙江山海共富联盟2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题(含答案)

这是一份浙江省浙江山海共富联盟2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了 考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1. 本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4. 考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.
1. 已知向量，点，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则（ ）
A. B. C. D. 4
3. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
7. 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. z在复平面内对应的点位于第四象限B.
C. （是z的共轭复数）D. 若，则的最小值为
10. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的平均数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
11. 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点P，使平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D. 若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝______.
13. 若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则______.
14. 我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题13分）已知向量，满足，，，，的夹角为.
（1）；
（2）若，求实数；
（3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
16.（本题15分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线MN与平面所成角的正弦值.
17.（本题15分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
18.（本题17分）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
19.（本题17分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
（1）证明：平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积.
2023学年第二学期浙江山海共富联盟调研考
高一年级数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
14.【解答】：正八边形内角和为，
则，取AC中点M，则，
，
，
所以.
四、解答题
15. 解：（1）∵，
∴，
∴……3分
（2）∵,
∴
，得……8分
（3）有题可得，
可得，
且即，
所以且……13分
16.【解答】解：（Ⅰ）证明：取BC中点K，连接NK，，
∵M为的中点. ∴，且，
∵N为AC的中点. ∴，且，
∴四边形是平行四边形，故，……4分
平面；平面，
∴平面.……7分
（Ⅱ）过点M作，连接NQ，
∵是三棱柱，且平面ABC，
∴平面ABC，∴平面，平面，
∴，，
∴平面……9分
∴直线MN与平面所成角为；……11分
∵，，
∴，∴，
过M作，
∴，
∴，∴，
∴……15分
17.【详解】（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类家，生鲜类家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.……2分
（2）（i）根据题意可得，解得，……4分
设75百分位数为x，因为，
所以，解得，……8分
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.……12分
（ii），……15分
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
18.【解答】：由，
由正弦定理得，
即，所以，得.……7分
（2）法一：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以……17分
法二：由，则，
由余弦定理可得，
可得，
又因为，
所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以……17分
19.【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以，
因为，
所以平面PCD，
因为平面PCD，
所以，
因为，点E是PC的中点，
所以，
因为，
所以平面PBC，……5分
由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，……6分
其四个面的直角分别是，，，；……7分
（2）找DC中点F，连接EF，过F做，连接EG；
因为E，F是PC，DC中点，所以平面ABCD，面ABCD，所以，
又因为，，所以平面EFH，所以就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角；……9分
设，
又因为，
所以，所以，
所以，所以，……12分
因为，，所以，，；
所以，；
所以，，……14分
所以，，
所以，
设球心为，设，
，
，
四棱锥的外接球的半径为，
……17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
C
D
A
C
题号
9
10
11
答案
ACD
AC
ABC
题号
12
13
14
答案
8