河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．复数z满足，则z的虚部为
A．B．C．2D．
2．已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是
A．3.5B．4C．4.5D．5
3．已知向量，，若与垂直，则实数
A．1B．C．D．
4．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是
A．B．事件A与事件相互独立
C．与和为D．事件A与事件B互斥
5．已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是
A．B．C．D．
6．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
7．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
8．下列结论正确的个数为
①在中，若，则；
②在锐角中，不等式恒成立；
③在中，若，，则为等腰直角三角形；
④在中，若，，面积，则外接圆半径为.
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．已知是虚数单位，若，则
A．复数的虚部为；
B．复数对应的点在第二象限；
C．；
D．复数是关于的方程的一个根.
10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是
A．图中
B．估计样本数据的第60百分位数约为85
C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5
D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人
11．已知，则
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知向量，的夹角为，，，则 .
14．某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如下表（每名同学只参加一个兴趣小组）：
学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些学生中抽取30人，若围棋组被抽出10人，则的值为 .
15.在中，且，则边上的高等于 .
16.如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知复数，其中是正实数，是虚数单位
（1）如果为纯虚数，求实数的值；
（2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值.
18．某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．
19．已知两个不共线的向量的夹角为，且.
（1）若与垂直，求；
（2）若与平行，求实数x的值并指出此时与同向还是反向.
20．试分别解答下列两个小题：
（1）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件 “方程有且仅有一个实根”，求．
（2）甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求．
21．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.
问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 .
（1）求角C；
（2）若点D满足，且，求的面积的最大值.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．

（1）求证：平面；
（2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
河南省信阳高级中学北湖校区
2023-2024学年高一下期06月测试（A）
数学答案
绘画组
围棋组
篮球组
高一
50
40
高二
30
40
20
高三
20
10
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
D
B
C
A
D
ABD
BCD
ABC
AB
13．2
14．
15．
16．12
17．(1)；(2)
【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解；
（2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），
所以.
（2）因为，所以，
则，
因为是关于的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，
故，则，
所以.
18．(1)72.5；(2)20人；(3)
【分析】（1）由频率分布直方图数据求解；
（2）由频率分布直方图数据求解；
（3）由总样本的均值与方差的公式计算求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图，设分数中位数为，则有，解得，
所以分数的中位数为72.5；
（2）由频率分布直方图知，分数在的频率为，
在样本中分数在的人数为（人），
在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为20人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
19．（1）；（2）见解析
【分析】（1）由题意知，计算化简即可得出答案。
（2）由题意知存在使得，再根据向量不共线，计算出为负值，即可说明之。
【详解】（1）因为与垂直，所以，即，得.又，所以，所以.
（2）因为与平行，所以存在使得，又与不共线，所以解得因为，所以与反向.
【点睛】本题考查向量垂直、向量平行的判定，属于基础题。
20．(1)；(2)
【分析】（1）用古典概型的概率公式分别算出和，进而可得结果；
（2）分别计算出只有甲、乙、丙正确解决这个问题的概率，从而可得.
【详解】（1）设样本空间为，则，样本点的个数为36个，
，
为满足，必须：当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
中样本点的个数为17个， ，
，
为满足，必须：当时，；当时，，
中样本点的个数为2个，
（2）∵这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，
∴仅甲同学单独解决了这个问题的概率为：
仅乙同学单独解决了这个问题的概率为：
仅丙同学单独解决了这个问题的概率为：
21．(1)条件选择见解析，；(2)
【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C；
（2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值.
【详解】（1）若选①：由正弦定理得，
在中，，所以，
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
若选②：由正弦定理得，
在中，，
所以
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
（2）方法一：由，可得，
两边平方可得，
即，
所以，当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
方法二：由角C余弦定理可得③，
由结合余弦定理可得
，整理得④，
由③可得，当且仅当时取“＝”，
所以，所以即.
22．(1)证明见解析；(2)；(3)存在，
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，
所以，
因为，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中点，的中点，连接，
则且，，
故，
因为面面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；
（3）当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.

【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.