海南省儋州市第三中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份海南省儋州市第三中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了展开式中的系数为，若，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数
A． B． C． D．
3．记等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
4．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列，记为该数列的第n项，则（ ）
A．1008 B．2016 C．4032 D．4040
5．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与的面积y之间的函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
6．为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5枚邮票任取3枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则不同的取法种数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．18
7．展开式中的系数为（ ）
A．42 B．48 C．84 D．96
8．已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B．（0，4） C． D．
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）
9．20件产品中有18 件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知等差数列的前n项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递减数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
12．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点（0，b）可以作曲线的2条切线
D．当时，
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．函数，则________．
14．若是R上的偶函数，且在上单调递减，则函数的解析式可以为________．（写出符合条件的一个即可）
15．在2022年北京冬奥会志愿者选拔期间，来自北京某大学的4名男生和2名女生通过了志愿者的选拔．从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作，要求至少有一名女生，则不同的选法共有________种．（请用数字作答）
16．过曲线上一点P作该曲线的切线l，l分别与直线，，y轴相交于点A，B，C．设，的面积分别为，，则________，的取值范围是________．
三、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17．（本题10分）已知等比数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，分别是等差数列的第8项和第20项，试求数列的通项公式及前n项和．
18．（本题12分）班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
（Ⅰ）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（Ⅱ）相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
19．（本题12分）已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前n项和，满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式及前n项和；
（Ⅱ）若________，求数列的前n项和．
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（本题12分）二项式展开式前三项的二项式系数和为22；
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中的常数项．
21．（本题12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m m，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元/m．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下的工程费用为y万元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）当时，需要建多少个桥墩才能使y最小？
22．（本题12分）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，函数有两个不同的零点，，求证：
2023年春季学期高二年级期中考试试卷
参考答案
1．A 因为集合，，所以．
2．C 依题意，故选C．
3．D 因为数列为等差数列，所以，所以，所以．
4．B 依题意，，，，…，于是有，
则当时，，而满足上式，因此，，所以．
5．A 根据题意可得，当（如图1所示），；
当时（如图2所示），
当时（如图3所示），
根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合，
6．B 由题意可知：会徽邮票有2枚，吉祥物邮票有2枚，“志愿者标志”有1枚，
若任取3枚，取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则有：
若会徽邮票有2枚，吉祥物邮票有1枚，共有种；
若会徽邮票有1枚，吉祥物邮票有2枚，共有种；
若会徽邮票有1枚，吉祥物邮票有1枚，“志愿者标志”有1枚，共有种；
故共有种．
7．A ，的第项为，（），
，的系数为42．
8．D 根据题意可知的定义域为，所以，
易得，
由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为，
同理可得，Q点处切线斜率为；
又因为两条切线与直线平行，可得，即
所以，是关于方程的两根，
所以，即，又，
可得；
所以，由可得
即，所以的取值范围是．
9．BCD 直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：
抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法；
故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，A错误，B正确；
间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，C正确；
法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为，
故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，D正确；
10．AD 由题意，所以，所以，故A正确．
令，则，即为，
令，得，故B错误；
对于，令，得，
令，得：，两式相加再除以2可得，故C错误．
对于，
令，得，令，得，故，故D正确，
11．AC 由得：，所以，即；
设等差数列的公差为d，则，解得：，
对于A，因为，所以为递减数列，故A正确；
对于B，，
因为，所以当取时，取得最大值，故B错误；
对于C，由得：，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，所以由得：，
则不等式的解集为{1，2，3，4，5}，为有限集，故D错误，
12．BCD 由题意知，，恒成立，
所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；
设切点为，则，
切线方程为，
代入点（0，b）得，即，解得或，
所以切线方程为或，C正确；
易知，令，则．当时，，，所以点是的对称中心，所以有，即．令，又，
所以，
所以，D正确．
13．-1 解：依题意得．
14．（答案不唯一） 若，则，
故为偶函数，且易知在上单调递减，故在上单调递减，符合条件．
15．16 因为共有2名女生，所以至少有一名女生入选的方法有．
16．2 （0，2） 解：由，得，
设，则，曲线在P处的切线方程为．
分别与与联立，可得，，取，可得，又O（0，0），
的面积；，
点B到直线的距离．的面积．
17．（Ⅰ）设等比数列的公比为q则
解得
所以由等比数列的通项公式可得数列的通项公式为
（Ⅱ）设等差数列的公差为d，依题意可得
，两式相减可得解得，
又，
所以
所以数列的通项公式，
由等差数列的求和公式可得前n项和公式
18．（1）将2个相声节目捆绑在一起，看成1个节目，与其余4个节目一起排，
则共有种不同排法．
（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法．
19．（1）解：设等差数列的公差为，
依题意可得，则解得，，
所以，数列的通项公式为．
综上：，；
（2）解：选①
由（1）可知：
选②
由（1）可知：
选③
由（1）可知：，
则
于是得
两式相减得，
所以．
20．（1）展开式前三项的二项式系数和为22，
，
，
或（舍）
故n的值为6
（2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为，
展开式中二项式系数最大的项为第4项，即
（3）设展开式中常数项为第项，即，
令，则，
，
故展开式中的常数项为第5项，即960
21．（1）设需新建n个桥墩，则，即，
所以
．
（2）由（1），知，
所以．
令，得，所以．
当时，，在区间（0，64）内单调递减；
当时，，在区间（64，640）内单调递增．
所以在处取得最小值，
此时．
故需要建9个桥墩才能使y最小．
22．（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，，于是当时，，函数在（0，-a）上单调递减，
当时，，函数在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在（0，-a）上单调递减，在单调递增．
（2）令，则，
令，求导得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，且．
要证，
只需证明，，
要证，即证，
两边同时平方，只需证明，
因为是函数的一个零点，所以，即，
所以只需证明，即证，①
构造函数，，求导得，
于是所数在（0，1）上单调递增，所以，因此①式成立；
同理可证成立．
要证，又，只需证明，即证，②
构造函数，，求导得，
于是函数在（0，1）上单调递减，所以，因此②式成立．
因此原不等式成立．