湖南省怀化市洪江实验中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省怀化市洪江实验中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，四象限，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四点中有三点在同一反比例函数的图象上，则不在该图象上的一点为( )
A. B. C. D.
2.如图，∽，若，，，则AB的长是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3.方程的解是( )
A. B.
C. ，D. ，
4.设、是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. 2B. 1C. D.
5.对于反比例函数，下列说法不正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限
B. 当时，y随x的增大而增大
C. 图象经过点
D. 若点，都在图象上，且，则
6.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
7.若，则x的值为( )
A. B. C. D.
8.已知点在双曲线上，则当时，y随x的增大而( )
A. 增大B. 减小C. 先增大再减小D. 先减小再增大
9.若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限是( )
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
10.已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 不确定
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.函数的图象是______，分别位于第______象限．
12.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是______.
13.一元二次方程的二次项系数和常数项的和是______.
14.在中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么的面积与的面积的比是______.
15.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是____________
16.若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.如图，已知∽，，，，
求和的大小；
求DE的长．
四、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题8分
选用适当的方法解下列方程．
；
19.本小题10分
已知直线与双曲线相交于A、B两点，点O是坐标原点．
求A、B两点的坐标．
求的面积．
20.本小题10分
设，，是的两实数根，求下列代数式的值．
；
21.本小题12分
方程；
取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；
取何值时是一元一次方程．
22.本小题12分
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
在问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
23.本小题12分
如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
求证：∽；
若的面积为2，求▱ABCD的面积．
24.本小题8分
如图，在中，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟与相似？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、，
B、；
C、；
D、
点不在该图象上．
故选：
直接根据反比例函数中的特点进行解答即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
直接利用相似三角形的性质，得出 ，进而得出答案．
【解答】
解：因为 ∽，所以 ，即 ，解得
所以AB的长是
3.【答案】D
【解析】解：，
，，
，，
故选：
根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了用合适方法解一元二次方程．
4.【答案】D
【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，
故选：
根据、是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可以求得的值，本题得以解决．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：，它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B.，当时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C.，点在它的图象上，故本选项正确；
D.点、、都在反比例函数的图象上，若或，则；如果则，故本选项错误．
故选：
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知：，且
且
故选：
根据判别式即可求出k的范围．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．
7.【答案】A
【解析】解：，
，
，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
8.【答案】A
【解析】解：点在双曲线上，
，
图象在第二、四象限，
时，y随x的增大而增大，
故选：
根据反比例函数的性质得出函数增减性．
本题考查了反比例函数的性质：
①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
9.【答案】C
【解析】【分析】
先根据一元二次方程无实数根判断出m的取值范围，再判断出的符号进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：一元二次方程无实数根，
，解得，
，
反比例函数的图象所在的象限是第二、四象限．
故选：
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
即：
，
而，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选
根据一次函数的图象得，，再计算根的判别式的值的范围，从而得到方程根的情况．
本题考查了一元二次方程根的判别式及一次函数的图像．熟练掌握根的判别式是解题的关键。
11.【答案】双曲线 一、三
【解析】解：函数的图象是双曲线，分别位于第一、三象限，
故答案为：双曲线，一、三．
根据反比例函数的定义及性质直接写出答案即可．
本题考查了反比例函数的图像，解题的关键是了解反比例函数的性质，难度不大．
12.【答案】12
【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确得出方程的根是解题关键．
首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【解答】
解：
，
解得：不合题意舍去，，
故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，
则其周长为：
故答案为：
13.【答案】1
【解析】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别为3，，
，
故答案为：
根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
根据题意，推出∽，所以，由此即可得解．
【解答】
解：如图，，，
，，
∽，
，
故答案为
15.【答案】
【解析】解：设这个增长率为x，
根据题意可得：，
故答案为：
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设这个增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程．
本题为增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
16.【答案】有两个不相等的实数根
【解析】解：点在第二象限，
，，
，
，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，可得出，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式以及点的坐标，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键．
17.【答案】解：∽，
，
；
∽，
，即，
解得，
【解析】根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；
根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
或，
，
，
，
或，
，
【解析】利用十字相乘法分解因式，得到或，解一元一次方程即可；
提取公因式分解因式，得到或，解一元一次方程即可；
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】解：由，解得或，
，
如图，设与y轴交于点C，

【解析】解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
求得直线与y轴的交点，然后根据即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握交点的求法是解题的关键．
20.【答案】解：，，是的两实数根，
，
；

【解析】根据根与系数的关系找出，
将代数式变形为，再代入数据即可得出结论；
将代数式变形为，再代入数据即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出，是解题的关键．
21.【答案】解：若方程是一元二次方程，则，
显然时
故符合题意．
当时，原方程可化简为，
此时
，
因此，方程的两根为，
当时，解得：，
此时方程为
当时，解得，
此时方程为，
当且时，无实数根．
故当或时，方程为一元一次方程．
【解析】要使关于x的方程是一元二次方程，则且系数不为先确定m的值，然后求出一元二次方程的根．
当二次项系数为0，一次项系数不为零的时候，此方程为一元一次方程．
本题考查了一元一次方程及一元二次方程的定义，当出现字母系数时，要特别注意字母系数的取值．
22.【答案】；
，
解之得：，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
【解析】由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得，利润；
令，求出x的值即可；
本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系．
23.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形
，
∽
解：四边形ABCD是平行四边形
，AB平行且等于CD
∽，∽
，
，，

【解析】要证∽，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用，可得一对内错角相等，则可证．
由于∽，可根据两三角形的相似比，求出的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据∽，求出的面积．由此可求出▱ABCD的面积．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．
24.【答案】解：设在开始运动后第x秒，与相似，
由题意得，，，，
分两种情况考虑：
当，时，∽，
，
即
解得，
当时，与相似，
当，时，∽，
，
即，
解得，
当时，与相似．
综上所述，经过秒或2秒时，与相似．
【解析】设在开始运动后第x秒，与相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑：当，时，∽；当，时，∽，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
本题考查相似三角形的判定．
销售单价元
x
销售量件
______
销售玩具获得利润元
______