四川省宜宾市2024届中考数学试卷(含答案)

这是一份四川省宜宾市2024届中考数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．2的绝对值是( )
A.B.C.D.2
2．下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
3．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80.对这组数据判断正确的是( )
A.方差为0B.众数为75C.中位数为77.5D.平均数为75
4．如图，是的直径，若，则的度数等于( )
A.B.C.D.
5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是( )
A.5天B.10天C.15天D.20天
6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数.例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数.下列数中为完美数的是( )
A.8B.18C.28D.32
7．如图是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是( )
A.B点B.C点C.D点D.E点
8．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( )
A.8箱B.9箱C.10箱D.11箱
9．如图，内接于，为的直径，平分交于D.则的值为( )
A.B.C.D.
10．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N.则的值为( )
A.B.C.D.
11．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为( )
A.B.C.5D.8
12．如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C.以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为.其中正确结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
13．分解因式：__________.
14．分式方程的解为__________.
15．如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是__________.
16．如图，在平行四边形中，，，E、F分别是边、上的动点，且.当的值最小时，则__________.
17．如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作.再重复以上操作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是__________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）.
18．如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点.若，则的最小值为__________.
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）计算：.
20．某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养.在课外活动中开设了四个兴趣小组：A.插花组：B.跳绳组；C.话剧组；D.书法组.为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图.
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成.从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率.
21．如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F.求证：.
22．宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）.某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）.如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米.求长江口的宽度的值（结果精确到1米）.（参考数据：，，，，，）
图1图2
23．如图，一次函数.的图象与反比例函数的图象交于点、.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上.若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标.
24．如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长.
25．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D.
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接.求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：2的绝对值是2，
故选：D.
2．答案：C
解析：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C.
3．答案：B
解析：这组数据的平均数为：，故选项D错误，不符合题意；
方差为
，故选项A错误，不符合题意；
这组数据中，75出现次数最多，共出现3次，故众数是75，故选项B正确，符合题意；
这组数据按大小顺序排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88.
最中间的两个数是75，75，
故中位数为，故项C错误，不符合题意，
故选：B.
4．答案：A
解析：是的直径，
，
，
，
，
故选：A.
5．答案：D
解析：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：，
解得：.
答：快马20天可以追上慢马.
故选：D.
6．答案：C
解析：，，
8不是完美数，故选项A不符合题意；
，，
18不是完美数，故选项B不符合题意；
，，
28是完美数，故选项C符合题意；
，，
32不是完美数，故选项D不符合题意；
故选：C.
7．答案：B
解析：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B.
8．答案：C
解析：设用x个大箱，y个小箱，
，
，
方程的正整数解为：
或，
所装的箱数最多为箱；
故选C.
9．答案：A
解析：如图，连接、，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
在四边形中，，
，
绕D点逆时针旋转，如图所示，
，
由旋转可知，，
，
在等腰直角三角形中，，
.
故选：A.
10．答案：B
解析：作过A作的垂线垂足为D，与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，，D是中点，
设，，
由中点为D，，故等腰三角形中，
，
，
AC的中点为M，
，即，
由M在反比例函数上得，
，
解得：，
由题可知，，
.
故选：B.
11．答案：D
解析：如图，把绕B顺时针旋转得到，
，，，
，
，（A，H，D三点共线时取等号），
的最大值为，
故选D.
12．答案：C
解析：抛物线的图象经过点，
当时，，故①正确；
抛物线的图象交x轴于点、，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，即，
，
，
，故②正确；
对称轴为直线，
；
、，
，，
；
在中，当时，，
，
，
当时，则由勾股定理得，
，
或（舍去）；
同理当时，可得；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，
如图所示，取点，连接，则，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，故④正确，
正确的有3个，
故选：C.
13．答案：
解析：.
故答案为.
14．答案：
解析：，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
方程的根为，
故答案为：.
15．答案：/
解析：如图，连接交于点F，
五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得或（舍去），
，
故答案为：.
16．答案：
解析：延长，截取，连接，，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，，
，
，，
，
，
，
当最小时，最小，
两点之间线段最短，
当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
，
，
，即，
解得.
故答案为：.
17．答案：乙槽
解析：设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽.
故答案为：乙槽.
18．答案：/
解析：正方形的边长为1，
，，
将顺时针旋转得到，则，
，，，，
点P、B、M、C共线，
，
，
，，，
，
，
，
设，，则，，
，
∵，
，即，
整理得：，
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：.
19．答案：（1）
（2）1
解析：（1）
；
（2）
.
20．答案：（1）40；图见解析
（2）72
（3）
解析：（1）本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
（2），
故答案为：72；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
刚好抽到1名男生与1名女生的概率为.
21．答案：见解析
解析：证明∶是等边三角形，
，，，
又，
，，
，.
22．答案：长江口的宽度为米.
解析：如图，过C作于H，过A作于G，过B作于K，而，
四边形，都是矩形，
，，，，
由题意可得：，，
，，
，
，
，
设，，
，即，
，即，
，
，
，
，
；
长江口的宽度为米.
23．答案：（1），
（2）或
（3）或或
解析：（1）经过，
，解得，
，
把代入，得，
解得，
，
把，代入，
得，
解得，
；
（2）察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
不等式的解集为或；
（3）设点C的坐标为，，
①以、为对角线，
则，
解得，
，
；
②以、为对角线，
则，
解得，
，
；
③以、为对角线
则，
解得，
，
；
综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.
24．答案：（1）见解析
（2），
解析：（1）证明：延长交于点F，连接，
，
，，，
，
，
，即，
，即是的角平分线，
，
，且平分线段，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
由（1）得，，
设，
，
，
解得，即，
，
，
，
设，则，
是的切线，
，，
，
，
，
，，
，即，
解得，
.
25．答案：（1）抛物线的表达式为，顶点D的坐标为
（2）点M的坐标为
（3）的取值范围为
解析：（1）由于抛物线经过点和点，
，
，
抛物线的表达式为，
顶点D的坐标为；
（2）点，对称轴为直线，
点，
，，
长为定值，
作点B关于原点的对称点，则，连接交y轴于点M，
则，
，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为，
令，则，
点M的坐标为；
（3）以为边在的下方作等边三角形，作轴于点H，连接，，
等边三角形，
，，，
，
，，，
，
，
点F在以为圆心，1为半径的上，
，
当点F在线段上时，有最小值为；
当点F在射线上时，有最大值为；
的取值范围为.