2022-2023学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
2．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
5．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为﹣，则输出的y值为（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
7．已知直线y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x的图象如图，则k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k1＞k3＞k2C．k3＞k2＞k1D．k2＞k1＞k3
8．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．8cm
9．一天，张阿姨从家匀速步行去超市买菜，到了超市她花了一段时间购买好了所需菜品，在支付钱的时候接到朋友来家拜访她的电话，且朋友正在家门口等张阿姨，于是她用快于来时的速度匀速回到了家．则张阿姨离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的关系大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠COE为（ ）度．
A．40B．45C．50D．55
11．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3
12．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，平移后的直线经过点（m，4），则m的值为 ．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是 ．
15．若直线y＝ax+4与两坐标轴所围成的三角形面积是8，则a＝ ．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
17．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
18．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是 ．
三、解答题。（共5个大题，共42分）
19．（1）；
（2）（2x﹣3y）2﹣（x+2y）（2y﹣x）﹣3x2．
20．化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤2中选一个你喜欢的整数x代入求值．
21．已知直线l1：y1＝x+m与直线l2：y2＝nx+3相交于C（1，2）．
（1）求出m、n的值，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出直线l1和直线l2的图象；
（2）设直线l1、l2分别交y轴于点A、点B，求△ABC的面积；
（3）当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围．
22．2022年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯．区政府为了解9月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲社区10人的积分：47，56，68，71，83.83，85，90，91，94
乙社区10人的积分在C组中的分数为：81，83，84，84
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）；
（3）若9月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？
23．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE⊥BC交BC于点E，交BD于点G．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作AD的垂线，交AD于点F，交BD于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：BG＝DH．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠ADB＝ ①
∵CF⊥AD
∴∠AFC＝90°
∵AE⊥BC
∴∠AEC＝90°
∵ ②
∴∠GAD＝∠AEC＝90°，∠HCB＝∠AFC＝90°．
即 ③
∴△BCH≌△DAG（ASA）
∴ ④
∴BH﹣GH＝DG﹣GH
∴BG＝DH
四、填空题。（共4个小题，每小题3分，共12分）
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于F，则EG的长度的取值范围是 ．
25．如图，直线l1：与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．△EFG的面积是 ．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，EF⊥AC交AC于点G，若AE＝4，，则A到BC的距离为 ．
27．已知代数式，，，下列结论中，正确的是 ．
①若x：y：z＝1：2：3，则A：B：C＝2：5：10；
②若A＝B＝C＝a（a≠0），则一次函数y＝ax﹣1的图象必定经过第一、三、四象限；
③若x，y，z为正整数，且x＜y＜z，则A＜B＜C；
④若y＝1，z＝﹣2，且x为方程的一个实根，则与的值相等；
⑤若，，则A（A﹣B）+B（B﹣C）+c（C﹣A）的值为28．
五、解答题。（共3个大题，每个大题10分，共30分）
28．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．
29．对于一个各个数位均不为零的四位数M，若M的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M是“整除数”．
例如：M：9176：∵91÷（7+6）＝91÷13＝7，∴9176是“整除数”．
又如：M：6726：∵67÷（2+6）＝67÷8＝8…3，∴6726不是“整除数”
（1）判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；
（2）四位数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a，b，c，d≤9，a≥b，且a，b，c，d均为整数）是“整除数”，且，记，当F（M）为整数时，求出所有满足条件的M．
30．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAC＝45°，AE⊥BC于E，CG⊥AB于G，交AE于F．
（1）如图1，若，，求AD的长；
（2）如图2，平行四边形ABCD外部有一点H，连接AH、EH，满足EH∥AB，∠H＝∠ACE，求证：；
（3）如图3，在BC上有一点M，连接FM，将△FEM绕着点M顺时针旋转90°得△F'E'M，连接CF'、DF'，点P为DF'的中点，连接AP．在（1）的条件下，当CF'最小时，请直接写出△APF'的周长．
参考答案
一、选择题。（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项正确；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据二次根式的意义，被开方数x﹣2≥0，解得x≥2；
根据分式有意义的条件，x﹣2≠0，解得x≠2．
所以，x＞2．故选：D．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据菱形的性质、平行四边形、正方形、矩形的判定定理判断即可．
解：A、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题，不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
C、有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
5．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过一、二、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数的图象在一、二、三象限．
6．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为﹣，则输出的y值为（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】根据x的值选择相应的函数关系式，计算即可得解．
解：x＝﹣时，y＝x+2＝﹣+2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了函数值，理解图表信息准确选择相应的函数关系式是解题的关键．
7．已知直线y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x的图象如图，则k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k1＞k3＞k2C．k3＞k2＞k1D．k2＞k1＞k3
【分析】k值代表直线的倾斜度，倾斜度越大则|k|值越大，但是注意本题中的k1为正数．
解：由题意得：k1为正数，
k2＞k3，
∴k1，k2，k3的大小关系是k1＞k2＞k3．
故选：A．
【点评】本题考查正比例函数的性质，注意掌握k的大小表示倾斜度的大小，由此可比较k的大小．
8．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．8cm
【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD＝13cm，AD﹣AB＝3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
解：∵▱ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD＝13cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3cm，
∴AB＝5cm，AD＝8cm．
∴BC＝AD＝8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE＝BC＝4cm；
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．
9．一天，张阿姨从家匀速步行去超市买菜，到了超市她花了一段时间购买好了所需菜品，在支付钱的时候接到朋友来家拜访她的电话，且朋友正在家门口等张阿姨，于是她用快于来时的速度匀速回到了家．则张阿姨离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的关系大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】观察图象，根据张阿姨用快于来时的速度匀速回到了家，明确张阿姨去超市和回家的时间，即可作出判断．
解：由题意知：张阿姨从家匀速步行去超市买菜，张阿姨离家的距离y随时间x的增大而增大；到了超市她花了一段时间购买好了所需菜品，张阿姨离家的距离y不变；她用快于来时的速度匀速回到了家，张阿姨离家的距离y随时间x的增大而减小，并且回家用的时间小于去超市用的时间，
∴张阿姨离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的关系大致图象是C．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，明确题意，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
10．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠COE为（ ）度．
A．40B．45C．50D．55
【分析】由已知，可得∠BAO＝60°，△AOB是等边三角形，AC＝2AB，AO＝AB，根据勾股定理AE2＝2AB2，AE2＝OA•AC，能证出△AOE∽△AEC，可得∠AOE＝∠AEC，可求∠COE的度数．
解：矩形ABCD的对角线相交于O，
∴AC＝2AO，OA＝OB＝OC＝OD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴AE2＝AB2+BE2＝2AB2．
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形．
∴AB＝AO，AC＝2AB，
∴AE2＝2AB2＝AO•AC，
∴，
∵∠EAC＝∠EAC，
∴△AEO∽△ACE，
∴∠AOE＝∠AEC，
∴∠COE＝∠AEB＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是证明△AEO∽△ACE．
11．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3
【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．
解：根据题意得，
解得﹣＜m≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
12．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a≤3，再解分式方程+＝2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2且a≠2，进而得到满足条件的整数a的值之和．
解：解不等式组，可得，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤﹣＜0，
∴﹣4＜a≤3，
解分式方程+＝2，可得y＝（a+2），
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，且y≠2，
即（a+2）≥0，（a+2）≠2，
解得a≥﹣2且a≠2，
∴﹣2≤a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，平移后的直线经过点（m，4），则m的值为 ﹣1 ．
【分析】先根据平移规律求出直线y＝﹣2x向上平移2个单位的直线解析式，再把点（m，4）代入，即可求出m的值．
解：将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，得到直线y＝﹣2x+2，
把点（m，4）代入，得4＝﹣2m+2，
解得，m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是 16 ．
【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC＝MA，因此△CDM的周长＝AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵OM⊥AC，
∴AM＝MC．
∴△CDM的周长＝AD+CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长是2×8＝16．
故答案为：16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM＝MC是解题的关键．
15．若直线y＝ax+4与两坐标轴所围成的三角形面积是8，则a＝ 1或﹣1 ．
【分析】利用坐标上点的坐标特征表示出直线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式得到×4×|﹣|＝8，作关于关于a的方程即可．
解：当x＝0时，y＝ax+4＝4，则直线与y轴的交点坐标为（0，4）；
当y＝0时，ax+4＝0，解得x＝﹣，则直线与x轴的交点坐标为（﹣，0）；
∵直线y＝ax+4与两坐标轴所围成的三角形面积是8，
∴×4×|﹣|＝8，解得a＝1或a＝﹣1．
故答案为1或﹣1
【点评】一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
17．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 44 cm2．
【分析】作出辅助线EF，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
解：如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF＝S△DEF，
即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝17cm2，
同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2．
故答案为：44．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
18．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是 ．
【分析】连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G，则MD+ME＝BM+ME＝BE，在Rt△CEG中，求出CG＝1，EG＝，在Rt△BEG中，求出BE＝2，则可求MD+ME的最小值．
解：连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G，
∵菱形ABCD，
∴B与D关于AC对称，
∴BM＝DM，
∴MD+ME＝BM+ME＝BE，
∵BC＝4，点E是CD的中点，
∴CE＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ECG＝60°，
在Rt△CEG中，CE＝2，∠ECG＝60°，
∴CG＝1，EG＝，
在Rt△BEG中，BG＝5，EG＝，
∴BE＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，灵活运用菱形的对称性，将所求MD+ME的最小值转化为求ME的长是解题的关键．
三、解答题。（共5个大题，共42分）
19．（1）；
（2）（2x﹣3y）2﹣（x+2y）（2y﹣x）﹣3x2．
【分析】（1）先算乘方，再化简二次根式算乘法，最后加减；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式，再合并同类项．
解：（1）
＝3﹣2+2+2+6×
＝3﹣2+2+2+2
＝5﹣2+4；
（2）（2x﹣3y）2﹣（x+2y）（2y﹣x）﹣3x2
＝4x2﹣12xy+9y2+（x+2y）（x﹣2y）﹣3x2
＝4x2﹣12xy+9y2+x2﹣4y2﹣3x2
＝2x2﹣12xy+5y2．
【点评】本题考查了二次根式、整式的混合运算，掌握二次根式、整式的运算法则，乘法公式等知识点是解决本题的关键．
20．化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤2中选一个你喜欢的整数x代入求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，选出合适的x的值代入进行计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝，
由于当x＝﹣1，x＝0或x＝1时，分式的分母为0，
故取x的值时，不可取x＝﹣1，x＝0或x＝1，当x＝2时，原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
21．已知直线l1：y1＝x+m与直线l2：y2＝nx+3相交于C（1，2）．
（1）求出m、n的值，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出直线l1和直线l2的图象；
（2）设直线l1、l2分别交y轴于点A、点B，求△ABC的面积；
（3）当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把C（1，2）代入y1＝x+m得m＝1；把C（1，2）代入y2＝nx+3得n＝﹣1；再画出图象即可；
（2）求出A坐标为（0，1），B坐标为（0，3），可得AB＝2，故△ABC的面积为×2×1＝1；
（3）由函数图象可得，当y1≥y2时，x≥1．
解：（1）把C（1，2）代入y1＝x+m得：2＝1+m，
∴m＝1；y1＝x+1；
把C（1，2）代入y2＝nx+3得：2＝n+3，
∴n＝﹣1；y2＝﹣x+3；
y1＝x+1图象过（﹣1，0），（1，2），y2＝﹣x+3图象过（3，0），（1，2），画出图象如下：
（2）直线y1＝x+1与y轴交点A坐标为（0，1），直线y2＝﹣x+3与y轴交点B坐标为（0，3），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴△ABC的面积为×2×1＝1；
（3）由函数图象可知，当y1≥y2时，x≥1．
【点评】本题考查两条直线相交或平行，解题的关键是求出函数解析式，画出函数图象．
22．2022年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯．区政府为了解9月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲社区10人的积分：47，56，68，71，83.83，85，90，91，94
乙社区10人的积分在C组中的分数为：81，83，84，84
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 83.5 ，b＝ 83 ，m＝ 30 ；
（2）根据以上数据，你认为 乙 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）；
（3）若9月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？
【分析】（1）根据中位数和众数的意义求解；
（2）根据中位数进行比较；
（3）理由样本的百分比估计总体的百分比．
解：（1）乙社区A组有1人，B组有2人，C组有4人，D组有3人，
所以a＝83.5，b＝83，m＝×100＝30，
故答案为：83.5，83，30；
（2）乙社区表现好些，
理由：乙社区的中位数比甲社区的中位数大些；
（3）0.3×620+0.4×480＝378（人），
答：该月甲、乙两个社区积分在C组的大约一共有378人．
【点评】本题考查了统计的应用，掌握统计的有关概念是解题的关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE⊥BC交BC于点E，交BD于点G．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作AD的垂线，交AD于点F，交BD于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：BG＝DH．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠ADB＝ ∠CBD ① （两直线平行，内错角相等）
∵CF⊥AD
∴∠AFC＝90°
∵AE⊥BC
∴∠AEC＝90°
∵ AD∥ ② BC
∴∠GAD＝∠AEC＝90°，∠HCB＝∠AFC＝90°．
即 ∠GAD＝ ③ ∠HCB
∴△BCH≌△DAG（ASA）
∴ BH ④ DG
∴BH﹣GH＝DG﹣GH
∴BG＝DH
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，则根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，接着利用垂直的定义和平行线的性质得到∠GAD＝∠CBH，则可判断△BCH≌△DAG，所以BH＝DG，从而得到BG＝DH．
【解答】（1）解：如图，CF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠AEC＝90°，∠HCB＝∠AFC＝90°．
即∠GAD＝∠HCB，
∴△BCH≌△DAG（ASA）
∴BH＝DG，
∴BH﹣GH＝DG﹣GH
∴BG＝DH．
故答案为：∠CBD，（两直线平行，内错角相等），AD∥BC，∠GAD＝∠HCB，BH＝DG．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．
四、填空题。（共4个小题，每小题3分，共12分）
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于F，则EG的长度的取值范围是 1＜EG＜9 ．
【分析】根据三角形中位线定理和三角形的三边关系即可得到结论．
解：取AC的中点M，连接GM、EM，
∵G是AD的中点，E是BC 的中点，
∴GM是△ADC的中位线，EM是△ABC的中位线，
∴GM＝DC＝4，EM＝＝5，
∴EG的长度的取值范围是1＜EG＜9，
故答案为：1＜EG＜9．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
25．如图，直线l1：与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．△EFG的面积是 ．
【分析】由直线l1：求得A、B、E的坐标，由OC＝2OB得到C（6，0），然后根据待定系数法即可求得CD的解析式，根据平移的规律得到直线直线l3的解析式，由直线l3解析式求得G的坐标，联立l3与l2的解析式得到方程组，解方程组求出交点F的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：∵直线l1：经过点E（m，4），
∴4＝+3，解得m＝2，
∴E（2，4），
∵直线l1与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∵OC＝2OB，
∴OC＝6，
∴C（6，0），
把C（6，0），E（2，4）代入直线l2：y＝kx+b得，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6；
将直线l1向下平移7个单位得到直线l3：y＝x﹣4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴G（0，﹣4），
由，解得，
∴F的坐标为（，﹣），
∴S△EFG＝S△DFG﹣S△DEG＝﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积．都是基础知识，需牢固掌握．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，EF⊥AC交AC于点G，若AE＝4，，则A到BC的距离为 ．
【分析】过点F作FH⊥AE于点H，过点A作AM⊥BC于点M，证明AM＝AG，证明△AFH是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出EF的长，根据S△AEF＝EF•AG＝AE•FH，求出AG即可解决问题．
解：如图，过点F作FH⊥AE于点H，过点A作AM⊥BC于点M，
∵将△ABE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠BEA＝∠FEA，
又∵EF⊥AC，
∴AM＝AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，
∵AC＝BC，
∴设∠B＝∠CAB＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，
∵EF⊥AC，
∴∠CGE＝90°，
∴∠BEF＝∠EGC+∠ACB＝90°+180°﹣2α＝270°﹣2α，
由翻折可知：AF＝AB＝3，∠AEF＝∠AEB＝∠BEF＝135°﹣α，
∴∠EAF＝∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣α﹣（135°﹣α）＝45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴AH2+FH2＝AF2，
∴2AH2＝（3）2，
∴AH＝3，
∴FH＝AH＝3，
∵AE＝4，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，
∴EF＝＝＝，
∴S△AEF＝EF•AG＝AE•FH，
∴AG＝4×3，
∴AG＝．
∴AM＝．
即A到BC的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△AFH是等腰直角三角形．
27．已知代数式，，，下列结论中，正确的是 ①③ ．
①若x：y：z＝1：2：3，则A：B：C＝2：5：10；
②若A＝B＝C＝a（a≠0），则一次函数y＝ax﹣1的图象必定经过第一、三、四象限；
③若x，y，z为正整数，且x＜y＜z，则A＜B＜C；
④若y＝1，z＝﹣2，且x为方程的一个实根，则与的值相等；
⑤若，，则A（A﹣B）+B（B﹣C）+c（C﹣A）的值为28．
【分析】依据题意，根据每一个条件，逐个进行分析，进而可以判断得解．
解：①若x：y：z＝1：2：3，
∴可设x＝k，y＝2k，z＝3k．
∴A＝＝＝，B＝＝＝，C＝＝＝1．
∴A：B：C＝：：1＝2：5：10，故①正确．
②∵A＝B＝C＝＝＝．
若x+y+z＝0，即y+z＝﹣x，
则A＝B＝C＝＝﹣1＝a．
若x+y+z≠0，
则A＝B＝C＝＝＝a，
∴a＝﹣1或．
∴当a＝﹣1时，一次函数y＝ax﹣1的图象经过第二、三、四象限；
当a＝时，一次函数y＝ax﹣1的图象经过第一、三、四象限．
∴②错误．
③∵x，y，z为正整数，且x＜y＜z，
∴y+z＞x+z＞x+y，
∴＜＜．
∴A＜B＜C，
故③正确．
④∵m2﹣m＝1的根为x，
∴x2﹣x＝1，
∴x﹣＝．
∵A＝，B＝，y＝1，z＝﹣2，
∴+＝+（x﹣2）2
＝x2﹣4x+4+
＝（x﹣）2﹣4x+6
＝2023﹣4x+6＝2029﹣4x，
∵C＝，y＝1，z＝﹣2，
∴+2023＝8×+2023＝2019﹣4x，
∵2029﹣4x≠2019﹣4x，
∴+≠+2023，故④错误；
⑤∵A＝，B＝，C＝，
∴A﹣B＝﹣＝＝+，
B﹣C＝﹣＝＝﹣，
∴A﹣C＝2，
∴A（A﹣B）+B（B﹣C）+C（C﹣A）
＝A（+）+B（﹣）﹣2C
＝（A﹣C）+（A﹣B）+（B﹣C）
＝×2+（+）+（﹣）
＝14++5+7﹣＝26，故⑤错误．
综上，正确的有：①③．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解、分式的混合运算、一次函数图象的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用相关知识是关键．
五、解答题。（共3个大题，每个大题10分，共30分）
28．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．
【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；
（2）根据5月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额＝4月的总销售额（1+a%），用换元法解方程可得结论．
解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）由题意得：4500×7+2500（1+a%）×5（1﹣a%）＝（4500×7+2500×5）（1+a%），
设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+m）（1﹣m）＝（9×7+25）（1+m），
375m2﹣30m＝0，
m（25m﹣2）＝0，
解得：m1＝0（舍），m2＝，
∴a＝8．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，确定对应的等量关系．
29．对于一个各个数位均不为零的四位数M，若M的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M是“整除数”．
例如：M：9176：∵91÷（7+6）＝91÷13＝7，∴9176是“整除数”．
又如：M：6726：∵67÷（2+6）＝67÷8＝8…3，∴6726不是“整除数”
（1）判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；
（2）四位数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a，b，c，d≤9，a≥b，且a，b，c，d均为整数）是“整除数”，且，记，当F（M）为整数时，求出所有满足条件的M．
【分析】（1）根据“整除数”得定义进行计算并判断即可；
（2）根据题意可得是11的倍数，再分别讨论是11的1倍、2倍、3倍、4倍及5倍，根据条件进行求解即可．
解：（1）7923不是“整除数”，8457是“整除数”，理由：
∵79÷（2+3）＝79÷5＝15…4，
∴7923不是“整除数”；
∵84÷（5+7）＝84÷12＝7，
∴8457是“整除数”；
（2）∵四位数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a，b，c，d≤9，a≥b，且a，b，c，d均为整数）是“整除数”，且，
∴10a+b＝8（c+d），
∵，
∴F（M）＝＝＝，
∵F（M）为整数，
∴是11的倍数，
当7d﹣2c﹣5＝0时，7d＝2c+5，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝8，d＝3，
∴10a+b＝8x（8+3）＝88，
∴a＝8，b＝8，
∴M＝8883；
当7d﹣2c﹣5＝11时，7d＝16+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝6，d＝4，
∴10a+b＝8×（6+4）＝80，
∵1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴假设不成立；
当7d﹣2c﹣5＝22时，7d＝27+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝4，d＝5，
∴10a+b＝8x（4+5）＝72，
∵1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴a＝7，b＝2，
∴M＝7245；
当7d﹣2c﹣5＝33时，Td＝38+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝2，d＝6或c＝9，d＝8，
∴10a+b＝8×（2+6）＝64或10a+b＝8×（9+8）＝136，
∵1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴10a+b最大值为99，
∴a＝6，b＝4，
∴M＝6426；
当7d﹣2c﹣5＝44时，7d＝49+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝7，d＝9，
∴10a+b＝8×（7+9）＝128，
∴1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴10a+b最大值为99，
∴假设不成立；
当7d﹣2c﹣5＝55时，7d＝60+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴7d最大值为63，
∴假设不成立；
综上，M＝7245或M＝6426或M＝8883．
【点评】本题考查了整除的定义及整式的加减，解题的关键是理解“整除数”的定义和运用分类讨论的数学方法．
30．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAC＝45°，AE⊥BC于E，CG⊥AB于G，交AE于F．
（1）如图1，若，，求AD的长；
（2）如图2，平行四边形ABCD外部有一点H，连接AH、EH，满足EH∥AB，∠H＝∠ACE，求证：；
（3）如图3，在BC上有一点M，连接FM，将△FEM绕着点M顺时针旋转90°得△F'E'M，连接CF'、DF'，点P为DF'的中点，连接AP．在（1）的条件下，当CF'最小时，请直接写出△APF'的周长．
【分析】（1）根据“ASA”结合题目中已知条件证明△BAE≌△FCE，然后得出，根据勾股定理算出AE的长，即可得出CE的长，算出BC的长，即可得出AD的长；
（2）过点A作AN⊥CD于点N，交EH于点M，连接CH，交AN于点O，HE交CG于点K，根据“AAS”证明△AEM≌△ECK，推导出HK＝CK，得出∠AHC＝90°，利用等腰直角三角形的性质，推导出结论即可；
（3）连接AF'，过点F'作ZQ⊥CB交BC于点Q，交AD于点Z，设EM＝x，根据已知条件先证明△EFM≌△QMF'，根据全等三角形的性质，结合解析（1）中结论，用x表示出CQ的长度，列出关于CF'的关系式，得出当当点M在点E的右边，且到点E的距离为时CF'最小，根据，结合勾股定理求出AP的长度，进而即可求出△APF'的周长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝45°，
∵AE⊥BC，CG⊥AB，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∠CGB＝90°，
∴∠B+∠BCG＝90°，∠B+∠BAE＝90°，
∴∠BCG＝∠BAE，
∵∠EAC＝90°﹣∠ECA＝45°，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，
∴AE＝CE，
∴△BAE≌△FCE（ASA），
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：过点A作AN⊥CD于点N，交EH于点M，连接CH，交AN于点O，HE交CG于点K，如图2所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∵CG⊥AB，
∴∠AGC＝∠GCN＝90°，
∴∠AGC＝∠GCN＝∠CNA＝90°，
∴四边形AGCN为矩形，
∴CG＝AN，AG＝CN，
∵EH∥AB，
∴AB∥EH∥CD，
∴CG⊥EH，AN⊥EH，
∴∠AME＝∠AMH＝∠CKE＝90°，
∵∠AEM+∠CEK＝90°，∠AEM+∠EAM＝90°，
∴∠CEK＝∠EAM，
∵AE＝CE，
∴△AEM≌△ECK（AAS），
∴EK＝AM，ME＝CK，
∵∠AHM＝∠ACE＝∠DAC＝45°，
∴∠HAM＝90°﹣∠AHM＝45°，
∴∠AHM＝∠HAM，
∴AM＝MH，
∴MH＝EK，
∴MH+MK＝EK+MK，
即HK＝ME，
∴HK＝CK，
∴，
∴∠AHC＝∠AHE+∠KHC＝90°，
∴∠HOA＝90°﹣∠HAO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠NOC＝∠HOA＝45°，
∴∠NCO＝90°﹣∠NOC＝45°，
∴∠NOC＝∠NCO，
∴NO＝NC，
∴NO＝AG，
∵∠HAO＝∠HOA，
∴AH＝HO，
∴，
∴．
（3）解：连接AF'，过点F'作ZQ⊥CB交BC于点Q，交AD于点Z，设EM＝x，
根据旋转可知，∠FMF'＝90°，MF＝MF'，
∵∠FEM＝∠F'OM＝∠FMF'＝90°，
∴∠EMF+∠F'MQ＝90°，∠EMF+∠EFM＝90°，
∴∠EFM＝∠F'MQ，
∴△EFM≌△QMF'（AAS），
∴，QF'＝EM＝x，
根据（1）可知，，，
∴，
∴CF'2＝CQ2+F'Q2＝＝＝，
∴当时，CF'2最小，即CF'最小，
即当点M在点E的右边，且到点E的距离为时CF'最小，
∴，
∵∠AEQ＝∠EQZ＝∠AZQ＝90°，
∴四边形AEQZ为矩形，
∴，ZQ＝AE，
根据解析（1）可知，，，
∴，，，
∴，
∵P点为DF'的中点，
∴，
∵，F'Z⊥AD，
∴F'Z垂直平分AD，
∴AF'＝DF'＝9，
∵，
即AF'2+DF'2＝AD2，
∴△AF'D为直角三角形，
∴∠AF'D＝90°，
∴．
∴，
即△APF'的周长为．
【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定性质、等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定，勾股定理及逆定理的应用，作出正确的辅助线，灵活运用上述知识点是解题的关键．
社区
平均数
中位数
众数
甲
76.8
83
b
乙
76.8
a
84
社区
平均数
中位数
众数
甲
76.8
83
b
乙
76.8
a
84