2023-2024学年福建省莆田二十五中九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田二十五中九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣3的倒数为（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
4．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）＝6B．x（5﹣x）＝6
C．x（10﹣x）＝6D．x（10﹣2x）＝6
5．不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2B．﹣2＜x＜3C．﹣2≤x＜3D．x＞3
6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A．①②B．只有①C．③④D．①④
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点（ ）
A．（2018，0）B．（2017，0）C．（2018，1）D．（2017，﹣2）
二、填空题（本题共6小题，共24分）
11．的算术平方根是 ．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
14．在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝ ．
16．如图，已知点 A1，A2，A3，A4，A5，…在x轴正半轴上，分别以 OA1，A1A2，A2A3，A3A4，…为边在第一象限作等边ΔOA1B1，等边△A1A2B2，等边△A2A3B3，…，且点 B1，B2，B3，B4，…在反比例函数上，且 OB1＝2，则点 A2023的坐标为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：（1+）÷，其中m＝4．
19．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
21．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
22．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
23．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润＝销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
24．【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，共40分）
1．﹣3的倒数为（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
2．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＜2且a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
4．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）＝6B．x（5﹣x）＝6
C．x（10﹣x）＝6D．x（10﹣2x）＝6
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：（5﹣x）米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．
解：一边长为x米，则另外一边长为：（5﹣x）米，
由题意得：x（5﹣x）＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
5．不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2B．﹣2＜x＜3C．﹣2≤x＜3D．x＞3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式x﹣2＞1，得：x＞3，
解不等式﹣2x≤4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为x＞3．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先画出树状图，从而可得从中随机同时摸出两枚棋子的所有等可能的结果，再求出摸出的两枚棋子颜色相同的结果，然后利用概率公式求解即可得．
解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从中随机同时摸出两枚棋子的所有等可能的结果共有6种，其中，摸出的两枚棋子颜色相同的结果有2种，
则摸出的两枚棋子颜色相同的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
7．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A．①②B．只有①C．③④D．①④
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，②错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③错误；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
10．如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点（ ）
A．（2018，0）B．（2017，0）C．（2018，1）D．（2017，﹣2）
【分析】分析点P的运动规律即可．
解：点P的运动规律是每运动四次向右平移四个单位．
∵2018＝504×4+2
∴动点P第2018次运动时向右504×4+2＝2018个单位
∴点P此时坐标为（2017，0）
故选：B．
【点评】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．
二、填空题（本题共6小题，共24分）
11．的算术平方根是 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
解：∵＝3，
∴的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞﹣2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
解：根据题意得：x+2＞0，
解得x＞﹣2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴﹣1＜x＜3
故填：﹣1＜x＜3
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
14．在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 1 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称，掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝ 3 ．
【分析】由直角三角形的性质得出AB＝10，由三角形中位线定理得出AC＝2DE，由勾股定理求出AC＝6，则可求出答案．
解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴E是BC的中点，AB＝2CD＝10，
∴AC＝2DE，
∵BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
∴DE＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
16．如图，已知点 A1，A2，A3，A4，A5，…在x轴正半轴上，分别以 OA1，A1A2，A2A3，A3A4，…为边在第一象限作等边ΔOA1B1，等边△A1A2B2，等边△A2A3B3，…，且点 B1，B2，B3，B4，…在反比例函数上，且 OB1＝2，则点 A2023的坐标为 （2，0） ．
【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出A2、A3、A4的坐标，得出规律，进而求出点A2023的坐标．
解：如图，作B2C⊥x轴于点C，设A1C＝a，则B2C＝a，
OC＝OA1+A1C＝2+a，B2（2+a，a）．
∵点B2在反比例函数上，
∴（2+a）•a＝，
解得a＝﹣1，或a＝﹣﹣1（舍去），
∴OA2＝OA1+2A1C＝2+2﹣2＝2，
∴点A2的坐标为（2，0）；
作B3D⊥x轴于点D，设A2D＝b，则B3D＝b，
OD＝OA2+A2D＝2+b，B3（2+b，b）．
∵点B3在反比例函数上，
∴（2+b）•b＝，
解得b＝﹣，或b＝﹣﹣（舍去），
∴OA3＝OA2+2A2D＝2+2﹣2＝2，
∴点A3的坐标为（2，0）；
同理可得点A4的坐标为（2，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点An的坐标为（2，0），
∴点A2023的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出A2、A3、A4的坐标进而得出点An的规律是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．计算：．
【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
解：
＝
＝9÷9+（﹣3）
＝1+（﹣3）
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，注意按照先计算乘方，再计算乘除法是关键．
18．先化简，再求值：（1+）÷，其中m＝4．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝，
当m＝4时，原式＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【分析】（1）由折叠性质可知∠AEF＝∠CEF，由AD∥BC可得∠AFE＝∠CEF，所以∠AEF＝∠AFE，由等角对等边即可得证；
（2）由折叠性质并结合（1）中结论可设CE＝AE＝AF＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2＝AE2建立方程，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，则FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝3．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．
【点评】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y＝，可求出k的值；
（2）求出x＝8时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
解：（1）∵A（2，m），
∴OB＝2，AB＝m，
∴S△AOB＝•OB•AB＝×2×m＝5，
∴m＝5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y＝，得k＝10；
（2）∵当x＝8时，y＝，
又∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．
21．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 69 分，众数是 69 分，平均数是 70 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【分析】（1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
解：（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，
所以这组数据的中位数是69（分），众数是69（分），平均数是＝70（分）；
故答案为：69，69，70；
（2）＝82（分），
答：小涵的总评成绩为82分；
（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
22．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）证明△ABC≌△AED（SAS），即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润＝销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“总利润＝单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
解：（1）S＝y（x﹣40）＝（x﹣40）（﹣10x+1200）＝﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S＝﹣10x2+1600x﹣48000＝﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
24．【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 AE＝AD ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
【分析】【简单应用】证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
【拓展延伸】（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【解答】【简单应用】解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
【拓展延伸】解：（1）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cs（180°﹣α）＝m•cs（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cs（180°﹣α）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解
（2）用解直角三角形的方法即可求解；
（3）当A、C、H共线时，AC+BC最小，进而求解．
解：（1）将点O的坐标代入抛物线表达式得：0＝a（0﹣3）2+4，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4，
则点B（3，4），
由抛物线的对称性知，点A（6，0）；
（2）过点P作PH⊥OB于点H，
在Rt△OBD中，由点B的坐标得，OB＝5，
则tan∠OBD＝＝tanα，则sinα＝，
设PH＝3x，则BH＝4x，PB＝5x，
∵∠BOP＝45°，则PH＝OH＝3x，
则OB＝5＝BH+OH＝3x+4x，则x＝，
则PD＝BD﹣BP＝4﹣5x＝，
即点P的坐标为：（3，）；
（3）由（2）知，sin∠OBD＝sinα＝，
如图2，过点C作CN⊥OB于点N，
则CN＝BCsinα＝BC，
则AC+BC＝AC+CN，
即当A、C、N共线时，AC+BC最小，
则3BC+5AC＝5（AC+BC）最小，
∵S△OAB＝OA•BD＝OB×AN，
即6×4＝5×AN，
解得：AN＝，
故3BC+5AC最小值＝5（AC+BC）＝5AN＝24．
【点评】本题考查二次函数综合运用，涉及到解直角三角形，二次函数图象和性质，解一元二次方程，属于中考压轴题，其中（3），运用属于胡不归问题，综合性强，难度适中．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
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