2023年四川省内江市第一中学中考数学二模试题

这是一份2023年四川省内江市第一中学中考数学二模试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5的绝对值等于（ ）
A．﹣5B．C．5D．﹣5或5
2．（3分）截止2023年2月，全国学习强国注册用户总数超过257000000人，数257000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.57×107B．2.57×108C．25.7×107D．0.257×109
3．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2B．a3•a2＝a6C．（x2）3＝x5D．（﹣x3）2＝x6
5．（3分）为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．3、3、3B．6、2、3C．3、3、2D．3、2、3
6．（3分）关于x的一元二次方程（2﹣m）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≥1C．m≥1且m≠2D．m≤3且m≠2
7．（3分）若（x﹣y+1）2+＝0，则化简的结果是（ ）
A．2B．2C．3D．4
8．（3分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝kx+b相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，若＞kx+b，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜1B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜1D．0＜x＜1或x＜﹣2
9．（3分）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t/分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．①③
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（ ）
A．B．8C．6D．
11．（3分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（ ）
A．B．C．D．12
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（ ）
A．（6052，0）B．（6054，2）C．（6058，0）D．（6060，2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在相应答题卡上）
13．（5分）因式分解：x3y﹣16xy＝ ．
14．（5分）在不透明的盒子中装有除颜色以外完全相同的小球，其中红球5个，黄球4个，现再放入若干个红球（除颜色外与盒中其他小球完全相同）并摇匀，使得从盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则放入红球的个数为 个．
15．（5分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；④5a+c＜0，上述结论中正确的是 ．（只填序号）
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（5分）计算：．
18．（9分）如图，△ABC中，点E在边BC上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝20°，求∠FGC的度数．
19．（10分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．
20．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF•BF．
四．填空题（共4小题，每题6分，共24分）
22．（6分）设x1、x2是方程x2﹣x﹣2015＝0的两实数根，则x13+2016x2﹣2015＝ ．
23．（6分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
24．（6分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，•••的顶点B1，B2，B3，•••在x轴上，顶点C1，C2，C3•••在直线y＝kx+b上，若正方形OA1B1C1，B1A2B2C2的对角线OB1＝2，B1B2＝3，则点∁n的纵坐标是 ．
五．解答题（共3小题，每题12分，共36分）
26．（12分）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
27．（12分）已知AD是△ABC的中线，点E是线段AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连结AF．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：△AEC≌△FBE．（不需证明）
【探究应用】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
【拓展延伸】如图③，记AB与EF的交点为G，CE的延长线与AB的交点为N，且N为AB的中点．
（1）＝ ；
（2）若CA⊥AB，BC＝5时，则BF的长为 ．
28．（12分）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣5的绝对值等于（ ）
A．﹣5B．C．5D．﹣5或5
【解答】解：﹣5的绝对值等于5，
即|﹣5|＝5．
故选：C．
2．（3分）截止2023年2月，全国学习强国注册用户总数超过257000000人，数257000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.57×107B．2.57×108C．25.7×107D．0.257×109
【解答】解：257000000＝2.57×108．
故选：B．
3．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2B．a3•a2＝a6C．（x2）3＝x5D．（﹣x3）2＝x6
【解答】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故C不符合题意；
D、（﹣x3）2＝x6，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．3、3、3B．6、2、3C．3、3、2D．3、2、3
【解答】解：∵共10人，
∴中位数为第5和第6人的平均数，
∴中位数＝（3+3）÷2＝3；
平均数＝（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10＝3；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3；
故选：A．
6．（3分）关于x的一元二次方程（2﹣m）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≥1C．m≥1且m≠2D．m≤3且m≠2
【解答】解：关于x的一元二次方程（2﹣m）x2+2x﹣1＝0有实数根，且a＝2﹣m，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝22+4（2﹣m）≥0，解不等式得，m≤3，
∵方程（2﹣m）x2+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴2﹣m≠0，即m≠2，
∴m≤3且m≠2．
故选：D．
7．（3分）若（x﹣y+1）2+＝0，则化简的结果是（ ）
A．2B．2C．3D．4
【解答】解：∵（x﹣y+1）2+＝0，
∴，
①×2+②，可得3x+12＝0，
解得x＝﹣4，
把x＝﹣4代入①，可得：﹣4﹣y+1＝0，
解得y＝﹣3，
∴原方程组的解是，
∴＝＝4．
故选：D．
8．（3分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝kx+b相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，若＞kx+b，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜1B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜1D．0＜x＜1或x＜﹣2
【解答】解：把A（1，2）代入y＝得，
，
解得m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，﹣1）代入得，
解得n＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
当＞kx+b时，正比例函数图象在反比例图象下方，
∴x＜﹣2或0＜x＜1．
故选：D．
9．（3分）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t/分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．①③
【解答】解：由题意可得：甲步行的速度为＝40（米/分）；故①结论正确；
由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故②结论错误；
由函数图象可得：当y＝90时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米，故③结论正确；
设乙的速度为x米/分，
由题意可得：9×40＝（9﹣3）x，
解得x＝60，
∴乙的速度为60米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝20（分），
乙到达终点时，甲离终点距离是：1200﹣（3+20）×40＝280（米），
故④结论正确；
故正确的结论有：①③④．
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（ ）
A．B．8C．6D．
【解答】解：如图，作MN⊥BC于点N，
由折叠可得：△ABE≌△AFE．
∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM，
又MN⊥BC，
∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，
在△AFM和△MNE中，
，
∴△AFM≌△MNE（AAS）．
∴AM＝ME，
设MF＝x，则AM＝ME＝x+2，
在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，
即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．
故MF＝8．
故选：B．
11．（3分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（ ）
A．B．C．D．12
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴＝k，∴E（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9，
∴k＝，
故选：C．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（ ）
A．（6052，0）B．（6054，2）C．（6058，0）D．（6060，2）
【解答】解：∵AO＝，BO＝2，
∴AB＝＝＝，
∴OA+AB1+B1C2＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054．
∴点B2018的纵坐标为：2．
∴点B2018的坐标为：（6054，2），
∴B2019的横坐标为6054++＝6058，
∴点B2019的坐标为（6058，0），
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在相应答题卡上）
13．（5分）因式分解：x3y﹣16xy＝ xy（x﹣4）（x+4） ．
【解答】解：x3y﹣16xy
＝xy（x2﹣16）
＝xy（x﹣4）（x+4）．
故答案为：xy（x﹣4）（x+4）．
14．（5分）在不透明的盒子中装有除颜色以外完全相同的小球，其中红球5个，黄球4个，现再放入若干个红球（除颜色外与盒中其他小球完全相同）并摇匀，使得从盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则放入红球的个数为 3 个．
【解答】解：设放入红球的个数为x个，
＝，
解得：x＝3．
故答案为：3．
15．（5分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
16．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；④5a+c＜0，上述结论中正确的是 ③④ ．（只填序号）
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，对称轴为直线x＝1，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②由于图象过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
∴图象也过点（3，0），
∴x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，故②错误，不符合题意；
③由于图象过点（﹣3，n），
由对称性可知：图象也过（5，n），
令y＝n，
∴ax2+bx+c＝n有两个解，分别是﹣3，5，
故③正确，符合题意；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴5a+c＝5a﹣3a＝2a＜0，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：③④．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝3﹣3+3×+1
＝3﹣3++1
＝4﹣2．
18．（9分）如图，△ABC中，点E在边BC上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝20°，求∠FGC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝20°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+20°＝70°．
19．（10分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是 90° ；
（2）补全条形统计图；
（3）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．
【解答】（1）本次调查的学生总人数为：24÷40%＝60（名），
则扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，
故答案为：60，90°；
（2）D类型人数为60×5%＝3（名），
则B类型人数为60﹣（24+15+3）＝18（名），
补全条形图如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果为2种，
∴甲和乙两名学生同时被选中的概率为＝．
20．（10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
设AD＝x km，则AC＝x km，
∴BD＝AB﹣AD＝（2﹣x）km，
∵∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，
∴＝，
解得x＝3﹣．
经检验，x＝3﹣是原方程的根．
∴AC＝x＝（3﹣）＝（3﹣）km．
答：船C离观测站A的距离为（3﹣）km．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF•BF．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．
∴GH＝＝＝．
（3）证明：由（1）知EF是⊙O的切线，
∴∠DAF＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△DAF∽△FDB，
∴，即DF2＝AF•BF．
四．填空题（共4小题，每题6分，共24分）
22．（6分）设x1、x2是方程x2﹣x﹣2015＝0的两实数根，则x13+2016x2﹣2015＝ 2016 ．
【解答】解：∵x1是方程x2﹣x﹣2015＝0的实数根，
∴x12﹣x1﹣2015＝0，
∴x12＝x1+2015，
x13＝x12+2015x1＝x1+2015+2015x1＝2016x1+2015，
∴x13+2016x2﹣2015＝2016x1+2015+2016x2﹣2015＝2016（x1+x2），
∵x1、x2是方程x2﹣x﹣2015＝0的两实数根，
∴x1+x2＝1，
∴x13+2016x2﹣2015＝2016×1＝2016．
故答案为2016．
23．（6分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 8 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴＜6，
∴a＜7，
分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣1≠0，
∴≠1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7且a≠﹣3，
∴能是正整数的a是：﹣1，1，3，5，
∴所有满足条件的整数a的值和为8，
故答案为：8．
24．（6分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
故答案为：25．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，•••的顶点B1，B2，B3，•••在x轴上，顶点C1，C2，C3•••在直线y＝kx+b上，若正方形OA1B1C1，B1A2B2C2的对角线OB1＝2，B1B2＝3，则点∁n的纵坐标是 ．
【解答】解：分别过点C1，C2作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
∵四边形OA1B1C1和四边形B1A2B2C2是正方形，且OB1＝2，B1B2＝3，
∴点C1的坐标为（1，1），点C2的坐标为（），
将C1和C2的坐标代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为y＝．
过点C3作x轴的垂线，垂足为P，
设B2P＝PC3＝t，
∴点C3坐标可表示为（5+t，t），
将点C3坐标代入直线函数解析式得，
，
解得t＝，
∴点C3的纵坐标为．
同理可得，
点C4的纵坐标为，
…，
∴点∁n的纵坐标为．
故答案为：．
五．解答题（共3小题，每题12分，共36分）
26．（12分）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45﹣m）根．
依题意得：，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
27．（12分）已知AD是△ABC的中线，点E是线段AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连结AF．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：△AEC≌△FBE．（不需证明）
【探究应用】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
【拓展延伸】如图③，记AB与EF的交点为G，CE的延长线与AB的交点为N，且N为AB的中点．
（1）＝ ；
（2）若CA⊥AB，BC＝5时，则BF的长为 ．
【解答】方法感知，证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BF∥DA，
∴∠FBD＝∠ADC，
同理∠FDB＝∠C，
在△AEC与△FBE中，
，
∴△AEC≌△FBE（ASA）．
探究应用，证明：如图②，延长CE交BF于点M．
∵D是BC的中点，AD∥BF，
∴，∠AEC＝∠FME，
∴CE＝EM，
∵AC∥EF，
∴∠ACE＝∠FEM，
在△AEC和△FME中，
，
∴△AEC≌△FME（ASA），
∴AC＝EF，
∵AC∥EF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
拓展延伸，解：（1）如图③中，连接DN．
∵BD＝DC，BN＝AN，
∴DN∥AC，，
∴NE：EC＝DN：AC＝1：2，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF＝EC，
∴，
故答案为：；
（2）如图③﹣1中，连接DN，延长CE交BF于点M．
在Rt△ABC中，BC＝5，AD是△ABC的中线
∴，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF∥CM，
∵BF∥AD，
∴四边形AFME是平行四边形，
∴FM＝AE，
∵DN∥AC，，
∴△DEN∽△AEC，
∴，
∴，，
∵D是BC的中点，AD∥BF，
∴△CDE∽△CBM，
∴，
∴BM＝2DE，
∴．
故答案为：．
28．（12分）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3），
∴代入得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设M（m，0），则E（m，﹣m2﹣2m+3），
设直线BC解析式为y＝kx+b1，
∵直线BC经过点B，C，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∴F（m，m+3），
，
∵，
∴当时，即当时，；
（3）存在以点C，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
设M（n，0），则E（n，﹣n2﹣2n+3），F（n，n+3）．
∴EF＝﹣n2﹣3n，
如图，过点F作FG⊥y轴于点G，则FG＝﹣n，
由（1）可得：OB＝OC＝3，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠BCO＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴CF＝﹣n．
当以点C，E，F为顶点的三角形与△ABC相似时，B与F为对应顶点，
①当△ABC∽△CFE时，，即＝，
解得：或n＝0（舍去），
∴；
②当△ABC∽△EFC时，，即＝，
解得：或n＝0（舍去），
∴．
综上所述，或．户外活动的时间（小时）
1
2
3
6
学生人数（人）
2
2
4
2
户外活动的时间（小时）
1
2
3
6
学生人数（人）
2
2
4
2