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甘肃省武威第十八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
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这是一份甘肃省武威第十八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：
总分：120分；考试时间：120分钟；
一、单选题（每题5分，共40分）
1．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
4．已知空间三点，则的长和的大小分别是（ ）
A．6， B．， C．6， D．，
5．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某长方体石膏的底面周长为8分米，高是长的两倍（底面矩形的长大于宽），则该长方体石膏体积的最大值为（ ）
A．16立方分米
B．18立方分米
C．立方分米
D．立方分米
7．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分，其中全选对得满分，少选得2分，选错不得分）
9．已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．在处取得极小值
B．在处取得极大值
C．在区间上单调递减
D．的单调递增区间是
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知空间中三点，则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的一个单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知空间三点，，，则
． .
14．已知函数，则 ． ．
15．若，则 ．
16．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 ．
四、解答题（每题10分，共40分）
17．已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
(1)求实数、的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
18．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值.
19．如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
20．如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，．
(1)证明：；
(2)求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值．
武威十八中2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试答案
一、单选题（每题5分，共40分）
BCBDA CBA
多选题（每题5分，共20分，其中全选对得满分，少选得2分，选错不得分）
9.BD 10.BD 11.ACD 12.BC
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16．
四、解答题（每题10分，共40分）
17．
【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，，
因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，
则，解得.
（2）解：由（1）可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
18．
【详解】（1）由可得.
所以在点处切线的斜率为，
因为在点处切线方程为，
所以切线的斜率为，且，
所以，即，解得，
所以．
（2）由（1）知，
则.
令得或，
所以当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增.
所以在处，取得极大值，在处取得极小值.
又因为， ，
所以在上的最大值为，最小值为．
19．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，则，
且，∴且，
则四边形为平行四边形，．
又平面平面，
平面．
（2）解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，则
即令，则，得到平面的一个法向量．
又，，
点到平面的距离．
20．
【详解】（1）证明：∵平面ABC，
∴，
又，，
∴平面ABD，
∴．
（2）如图，
以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，
依题意，可得，．
设为平面BCD的一个法向量，
则，
不妨令，可得．
设为平面DCM的一个法向量，
则，
不妨令，可得，
所以．
所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为．
减
极小值
增
命题人：
总分：120分；考试时间：120分钟；
一、单选题（每题5分，共40分）
1．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
4．已知空间三点，则的长和的大小分别是（ ）
A．6， B．， C．6， D．，
5．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某长方体石膏的底面周长为8分米，高是长的两倍（底面矩形的长大于宽），则该长方体石膏体积的最大值为（ ）
A．16立方分米
B．18立方分米
C．立方分米
D．立方分米
7．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分，其中全选对得满分，少选得2分，选错不得分）
9．已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．在处取得极小值
B．在处取得极大值
C．在区间上单调递减
D．的单调递增区间是
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知空间中三点，则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的一个单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知空间三点，，，则
． .
14．已知函数，则 ． ．
15．若，则 ．
16．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 ．
四、解答题（每题10分，共40分）
17．已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
(1)求实数、的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
18．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值.
19．如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
20．如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，．
(1)证明：；
(2)求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值．
武威十八中2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试答案
一、单选题（每题5分，共40分）
BCBDA CBA
多选题（每题5分，共20分，其中全选对得满分，少选得2分，选错不得分）
9.BD 10.BD 11.ACD 12.BC
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16．
四、解答题（每题10分，共40分）
17．
【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，，
因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，
则，解得.
（2）解：由（1）可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
18．
【详解】（1）由可得.
所以在点处切线的斜率为，
因为在点处切线方程为，
所以切线的斜率为，且，
所以，即，解得，
所以．
（2）由（1）知，
则.
令得或，
所以当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增.
所以在处，取得极大值，在处取得极小值.
又因为， ，
所以在上的最大值为，最小值为．
19．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，则，
且，∴且，
则四边形为平行四边形，．
又平面平面，
平面．
（2）解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，则
即令，则，得到平面的一个法向量．
又，，
点到平面的距离．
20．
【详解】（1）证明：∵平面ABC，
∴，
又，，
∴平面ABD，
∴．
（2）如图，
以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，
依题意，可得，．
设为平面BCD的一个法向量，
则，
不妨令，可得．
设为平面DCM的一个法向量，
则，
不妨令，可得，
所以．
所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为．
减
极小值
增
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