八年级下册数学 专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理(原卷版+解析版)-教习网|<title>
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    八年级下册数学 专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理(原卷版+解析版)

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    这是一份八年级下册数学 专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理(原卷版+解析版),文件包含专题03梯子模型对角互补模型和梯形中位线定理原卷版docx、专题03梯子模型对角互补模型和梯形中位线定理解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。

    模型一: 如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动,LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接 OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。

    即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值
    模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动时,点 B随之在 ON上运动,且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变,AB的中点为P,连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值

    四边形中对角互补模型
    对角互补模型:即四边形或多边形构成的几何图形中,相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线,从而证明两个三角形全等或者相似.
    模型一:含90°的全等型
    1.如图1,已知∠AOB=∠DCE=90º,OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论:
    ①CD=CE,②OD+OE=OC,③S=S+S=OC.
    2.如图2,已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,∠AOB=∠DCE=90º,OC平分∠AOB.
    则可得到如下几个结论:①CD=CE,②OE-OD=OC,③S-S=OC.
    图1 图2 图3
    模型二、:含60°与120°的全等型
    如图3,已知∠AOB=2∠DCE=120º,OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论:
    ①CD=CE,②OD+OE=OC,③S+S=OC.
    梯形中位线定理
    (1)定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
    (2)性质定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
    【类型1:梯子模型】
    【典例1】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=4,点A在y轴上,点C在x轴上,则点A在移动过程中,BO的最大值是 .
    【变式1-1】如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=8,BC=3,运动过程中,点D到点O的最大距离为 .
    【变式1-2】如图,AD∥BC,AD=2,BC=3,△ABC的面积是4,那△ACD的面积是 .
    【变式1-3】如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=6,BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是 .
    【类型2:四边形中对角互补模型】
    【典例6】四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°,则我们称该四边形为“对角互补四边形”.
    (1)四边形ABCD为对角互补四边形,且∠B:∠C:∠D=2:3:4,则∠A的度数为 ;
    (2)如图1,四边形ABCD为对角互补四边形,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD.
    求证:AC平分∠BCD.
    小云同学是这么做的:延长CD至M,使得DM=BC,连AM,可证明△ABC≌△ADM,得到△ACM是等腰直角三角形,由此证明出AC平分∠BCD,还可以知道CB、CD、CA三者关系为: ;
    (3)如图2,四边形ABCD为对角互补四边形,且满足∠BAD=60°,AB=AD,试证明:
    ①AC平分∠BCD;
    ②CA=CB+CD;
    如图3,四边形ABCD为对角互补四边形,且满足∠ABC=60°,AD=CD,则BA、BC、BD三者关系为: .
    、【变式2-1】四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°,则我们称该四边形为“对角互补四边形”.
    (1)如图1,四边形ABCD为对角互补四边形,且满足∠BAD=90°,AB=AD,求∠ACB的度数.小云同学是这么做的:延长CB至M,使得BM=CD,连AM,可证明△CAD≌△MAB,通过判断△MAC的形状,可以得出结论.
    ①在图1中按要求完成作图;
    ②△MAC的形状为 ;
    ③∠ACB= ;
    (2)如图2,四边形ABCD为对角互补四边形,且满足∠BAD=60°,AB=AD,试证明:CA=CB+CD;
    (3)如图3,等腰△ABD、等腰△CDE的顶角分别为∠BAD、∠C,点B在线段CE上,且∠BAD与∠C互补.请你判断∠DAE与∠DBC的数量关系并证明.
    【变式2-2】已知:在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,DB平分∠ADC.
    (1)求证:AB=BC;
    (2)如图2,若∠ADB=60°,试判断△ABC的形状,并说明理由;
    (3)如图3,在(2)得条件下,在AB上取一点E,BC上取一点F,连接CE、AF交于点M,连接EF,若∠CMF=60°,AD=EF=7,CD=8(CF>BF),求AE的长.
    【变式2-3】(1)探究:如图1,在△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在边BC上.
    ①求∠DCE的度数;
    ②直接写出线段CD,CE,AC之间的数量关系;
    (2)应用:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P是四边形ABCD内一点,且∠APC=120°,求证:PA+PC+PD≥BD;
    (3)拓展;如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣4,0),点B是y轴上一个动点,以AB为边在AB的下方作等边△ABC,求OC的最小值.
    【类型3:梯形中位线定理】
    【典例3】如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD.
    (1)若AD=BC,且AC⊥BD,AC=6,求梯形ABCD的面积;
    (2)若CD=3,M、N分别是对角线AC、BD的中点,联结MN,MN=2,求AB的长.
    【变式3-1】在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为,△AOB的面积为S1,△COD的面积为S2,则= .
    【变式3-2】已知梯形的中位线长10cm,它被一条对角线分成两段,这两段的差为4cm,则梯形的两底长分别为 cm, cm.
    17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=12,AB=DC=8.∠B=60°.
    (1)求梯形的中位线长.
    (2)求梯形的面积.
    1.如图,△ABC为等边三角形,以AB为边向△ABC外侧作△ABD,使得∠ADB=120°,再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE,则下列结论:
    ①D、A、E三点共线;②△CDE为等边三角形;③DC平分∠BDA;④DC=DB+DA,其中正确的有( )
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    2.如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=,Q为CD中点,则下列结论:
    ①∠PBC=∠PQD;②BP=PQ;③∠BPC=∠BQC;④正方形ABCD的面积是16;
    其中正确结论的个数是( )
    A.4B.3C.2D.1
    3.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上,当点B在ON上移动时,点A随之移动,AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 .
    4.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=4.如图,将直角顶点B放在原点,点A放在y轴正半轴上,当点B在x轴上向右移动时,点A也随之在y轴上向下移动,当点A到达原点时,点B停止移动,在移动过程中,点C到原点的最大距离为 .
    5.如图,已知点A和点B分别是x轴正半轴,y轴正半轴上动点,且AB=2,以B为直角顶点在第一象限作等腰直角△ABP,则点P到原点的最大距离为 .
    6.如图,Rt△AOB的两直角边OA,OB分别在x轴和y轴上,且点A,B的坐标分别是(3,0)和(0,4),点C是半圆ACB上任意一点,则点O,C的最大距离为 .
    7.在学习三角形中位线定理时,小丽发现作以下辅助线能够证明三角形中位线定理.
    已知:如图1,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE.
    求证:DE∥BC,.
    证明:(小丽的辅助线作法)延长DE到F,使EF=DE,连接DC、AF、FC.…
    (1)请在图1中画出小丽所说的辅助线,并补全三角形中位线定理的证明过程;
    (2)三角形中位线定理应用:如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,则线段AD,EF,BC之间的数量关系是 .
    8.我们规定:一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”.
    (1)在①平行四边形,②菱形,③矩形,④正方形中,一定为“完美”四边形的是 (请填序号);
    (2)在“完美”四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,连接AC
    ①如图1,求证:AC平分∠BCD;
    小明通过观察、实验,提出以下两种想法,证明AC平分∠BCD:
    想法一:通过∠B+∠D=180°,可延长CB到E,使BE=CD,通过证明△AEB≌△ACD,从而可证AC平分∠BCD;
    想法二:通过AB=AD,可将△ACD绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△AEB,可证C,B,E三点在一条直线上,从而可证AC平分∠BCD.
    请你参考上面的想法,帮助小明证明AC平分∠BCD;
    ②如图2,当∠BAD=90°,用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系,并证明.
    9.如图,点P(3m﹣1,﹣2m+4)在第一象限的角平分线OC上,AP⊥BP,点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上.
    (1)求点P的坐标.
    (2)当∠APB绕点P旋转时,
    ①OA+OB的值是否发生变化?若变化,求出其变化范围;若不变,求出这个定值.
    ②请求出OA2+OB2的最小值.
    10.如图,在等边△ABC中,作∠ACD=∠ABD=45°,边CD、BD交于点D,连接AD.
    (1)请直接写出∠CDB的度数;
    (2)求∠ADC的度数;
    (3)用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系,并证明.
    11.基本模型
    在任意四边形中,出现一组对角互补,则为对角互补模型.
    解题思路:
    1.过互补角的顶点作旋转构造全等或相似;
    2过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似.
    问题:
    如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC.
    结论:①AD=CD;②AB+BC=BD;③S四边形ABCD=BD2
    请证明【基本模型】中的结论.
    求证:①AD=CD;②AB+BC=BD;③S四边形ABCD=BD2.
    12.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的两个动点,且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍.连接DE,DF分别与对角线AC交于点M,N.
    (1)若AE=2,CF=3,求EF的长;
    (2)求证;∠EFN+∠EMN=180°;
    (3)若=2,BE=3,求EF的长.
    13.在四边形ABCD中,△EAF的两边AE,AF分别交直线CB,DC于点E,F,已知,且AB=AD,∠B+∠D=180°.
    (1)如图1,当△EAF全部位于四边形ABCD的内部时,试探究EF与BE,DF之间的数量关系.为了引发同学的思考,数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示:证明:如图2,将△ABE绕点A旋转到△ADG处.
    ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∠B=∠ADG,BE=GD,
    ∵∠B+∠ADC=180°,
    ∴∠ADG+∠ADC=180°,
    ∴G,D,F三点共线.

    请你将上述证明过程补充完整,并写出结论;
    (2)如图3,当△EAF旋转到如图所示的位置时,那么(1)中的结论是否成立?若成立,请写出证明过程;如若不成立,请写出正确的结论,并证明.
    14.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.
    (1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 ;
    (2)如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由;
    (3)如图3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求线段AC的长和四边形ABCD的面积.
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