福建省厦门双十中学2024届高三下学期高考热身考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A. B.
C. D. 或
3. 设l，m，n是不同的直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 52B. 54C. 56D. 58
6. 已知，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
7. 已知为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A. B.
C. 事件与是互斥事件D. 事件与相互独立
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 若方程在上有且只有5个根，则
11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A. C的离心率为3B. 当时，
C. D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.
13. 已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
14. 在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 正方体的棱长为2，分别是的中点.
（1）求证：面；
（2）求点到平面的距离.
16. 已知函数．
（1）当时，求函数单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
17. 某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，.
（1）估计优果的个数；
（2）为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.
（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.
附：若，则；，.
18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线的方程.
（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19. 对于，，不是10整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
（1）若为等比数列，求；
（2）求在，，，…，中，3级十全十美数个数.