重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

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（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，，若是的真子集，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合是集合的真子集，求得实数的取值范围.
【详解】由于，，且是的真子集，所以.
故选A.
【点睛】本小题主要考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.
2. 已知不等式的解集是，则实数a等于（ ）
A. B. C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次不等式解集可得，即可求实数a.
【详解】由题设，有，可得.
故选：A.
3. 把函数的图象向左平移个单位就得到了一个奇函数的图象,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角恒等变换得到，求出平移后的函数解析式，利用奇函数性质列出方程，求出，确定的最小值.
【详解】利用三角恒等变换得到，
将函数的图象向左平移个单位得到的函数为
∵将函数的图象向左平移个单位得到了一个奇函数的图象
∴，即
∵
∴当时，取得最小值为
故选：C
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，，，
所以，
故选：C．
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2或6
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案.
【详解】因为，所以，解得，
又，所以.
故选:A.
6. 函数的零点个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】令，得出，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，数形结合可得出结果.
【详解】令，得出，
则函数的零点个数为直线与函数的图象的交点个数，
在同一直角坐标系作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，函数与函数的图象有且只有一个交点.
因此，函数的零点个数为.
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7. 已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件①可知函数在上单调递减，再根据偶函数性质即可得出函数的单调性，结合条件②并对进行分类讨论即可解出不等式.
【详解】由对任意的，且，都有成立可得，
函数在上单调递减，
又是定义在上的偶函数，根据偶函数性质可知，
在上单调递增，且；
由不等式可知，
当时，，根据在上单调递减可得；
当时，，根据在上单调递增可得；
综上可知，不等式解集为.
故选：A
8. 已知函数，，，下列四个结论：
①
②
③
④直线是图象的一条对称轴
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件知关于轴对称，关于中心对称，可得求、，写出解析式并判断各项的正误即可.
【详解】由题设，知：关于轴对称，关于中心对称，
∴，，即，，
∴，又，即，
当时，有，此时，则，
∴，而，故不是图象的一条对称轴.
故选：B.
点睛】结论点睛：
（1）有关于中心对称.
（2）有关于轴对称.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 若a、b、，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，
【详解】对于A，，则，故A正确，
对于B，若，则，故B错误，
对于C，若，则，故C错误，
对于D，由，，故，故D正确，
故选：AD
10. 集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的定义逐一判断即可.
【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，
选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，
选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，
选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.
故选：AC.
11. 已知函数的图象关于直线对称，且对，有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最大值为
C.
D. 为偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据关于直线对称得到关于直线对称，即，结合，推导出，A正确；B选项，由得到B错误；C选项，由函数周期求出，先计算出，再结合求出答案；D选项，由A选项可推出函数为偶函数.
【详解】A选项，函数的图象关于直线对称，
故关于直线对称，故，即，
又，所以，则，
两式相减得，，即，故A正确；
B选项，时，，
故，
故的最大值不是，故B错误；
C选项，由A选项可知，，
又，故，
因为时，，所以，
故，故C正确；
D选项，由A选项可知，， 则，
又的定义域为，即为偶函数，故D正确..
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如果函数图象如图所示，那么此函数的减区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象可得出函数的单调减区间.
【详解】解：由函数的图象得此函数的减区间为：，
故答案为：.
13. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（7，5），OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，则点Q的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出的表达式，设出点Q的坐标，根据OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，结合两角和的正弦、余弦公式可以求出点Q的坐标.
【详解】，其中，
设点Q的坐标为，，由意可知：
，
，
故点Q的坐标为.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了数学运算能力.
14. 若正数，满足，，则=________
【答案】
【解析】
【分析】对两式取对数，根据变化后两式的共同特点构造新函数，再利用函数的单调性和对数的运算法则进行求解.
【详解】因为，
所以，
即 ①
因为，
所以，
则，
即 ②
观察①②两式，构造函数，
因为在上单调递增，
所以 ③
由①、③，得：，
即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数．
【答案】（1）答案见解析
（2），有1个实数根
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，分和两种情况，利用导数考察单调性即可；
（2）分类讨论的范围，根据函数单调性求得的解析式，构造函数，分段考察函数零点的个数即可求解.
【小问1详解】
若，则．
当时，，
则，
所以当时，，单调递减，
当和时，，单调递增．
当时，，
则，
所以在上单调递减．
综上，在和上单调递减，
在和上单调递增．
【小问2详解】
由得，
若，则当时，
．
若，则当时，
，
，
所以在上单调递增，
所以当时，．
若，则当时，
，
，
当时，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，在上单调递增，
所以．
综上，．
令函数，，
则方程的实根个数就是函数的零点个数，
当时，单调递增，
又，，所以在上有1个零点．
当时，没有零点．
当时，，
，
在上单调递增，
又，
所以在上没有零点．
当时，，
，在上单调递增，
又，所以在上没有零点．
综上，方程只有1个实数根．
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
16. 已知实数，满足.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
由得，
当且仅当时等号成立，
所以；
【小问2详解】
由已知，则，
则
，
当且仅当，即一个为，一个为时等号成立.
所以的最小值.
17. 医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少．
（1）求k的值；
（2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1）
（3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，）
【答案】（1）；
（2）；
（3）可以.
【解析】
【分析】（1）把，代入计算即得.
（2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得.
（3）求出A药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A药的含量随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得.
【小问1详解】
依题意，，解得，所以k的值为.
【小问2详解】
血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为．
由，得，两边取对数得：，
解得，
所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持.
【小问3详解】
设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即，
记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，
则
，
由，得，即，两边取对数得：
，解得，又，
所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持．
18. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；
（2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
解得：，
所以，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意可得，
因为，所以，
所以.
又因为对任意的，都有成立，
所以，
，
因为，所以，
设，可设，
则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，
所以，所以，解得，所以
当时，在上单调递减，
所以，所以，解得，故；
当时，，
故，解得，所以，
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，若总有成立，故.
19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以．
【小问2详解】
对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
【小问3详解】
对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.