阜阳市第三中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份阜阳市第三中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．的展开式中的常数项为( )
A.14B.12C.7D.
3．下表为2019年~2024年第一季度中国GDP同比增速(单位:%)(同比增速为与上年同期对比的增速),
则同比增速中的6个数据的60%分位数为( )
C.5.3
4．已知实数a,b满足,则下列数中不可能是的值的是( )
A.B.C.2D.3
5．已知随机变量,,则将m个人分到3个不同的地方,每个人必去一个地方,每个地方至少去1人的分配方案共有( )
A.150B.200C.260D.300
6．已知椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点的连线与的一-条渐近线平行,设C的离心率为e,则( )
A.B.C.D.
7．两个排球队举行排球比赛,比赛结束后举办方为排球队员送上了甲,乙两个品牌的瓶装水,其中甲品牌的20瓶,乙品牌的12瓶,参与比赛的12名队员,每人随机取1瓶瓶装水,用X表示12名队员取到的甲品牌水的瓶数,则当最大时,( )
A.7B.8C.49D.64
8．在中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,则的面积,
其中,称该公式为海伦公式,该公式可推广到平面四边形:若四边形ABCD内接于圆E,且四边长分别为a,b,c,d,则四边形ABCD的面积,其中,若面积为的四边形ABCD内接于圆E,,,点C,D在x轴上方,且,,则圆E的标准方程为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,则( )
A.
B.
C.复数z在复平面内对应的点在直线上
D.若复数满足,则的最大值为
10．已知函数,则( )
A.是偶函数
B.的图象关于直线对称
C.的最小值为
D.的图象可由函数的图象经过适当的平移得到
11．如图,在棱长为4的正方体中,,过,D,E的平面截正方体所得的截面为,则( )
A.的面积为
B.点B到平面a的距离为
C.在棱上存在一点P,使得平面
D.在棱上存在点Q,使得平面
三、填空题
12．已知向量,满足,,,则______.
13．在中,D是边BC上一点,且,,,,将沿AD折起,使点B到达点,且,若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为______.
14．已知函数满足对任意实数,,都有,是的零点,0不是的零点,则______.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若,判断的单调性;
（2）若f在上没有极值点,求a的取值范围.
16．已知抛物线的焦点为F,P是C上一点,线段PF的中点为.
（1）求C的方程;
（2）若,O为原点,点M,N在C上,且直线OM,ON的斜率之积为2024,求证:直线MN过定点.
17．调研数据显示,有超过七成的消费者对新能源汽车较为看好,目前中国消费者对新能源汽车的系别选择以国产车为主.已知2024年第一季度,在某地上牌照的新能源汽车中,国产车占比70%,上牌照的国产新能源汽车中,甲品牌与乙品牌的占比分别为40%,20%.
（1）从该地上牌照的新能源汽车中,随机抽取2辆,求抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率;
（2）已知该地上牌照的新能源车中,外国产新能源汽车中价位不超过30万元的占比为20%,在国产新能源汽车中,甲品牌,乙品牌与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为40%,30%,50%,从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,若该车价位不超过30万元,求该车是甲品牌车的概率.
18．如图,在三棱锥中,,,,D为BC的中点.
（1）求证:;
（2）在棱PA上是否存在点M(不含端点),使得二面角的余弦值为?若存在,求出线段AM的长度;若不存在,说明理由.
19．把正整数1,2,3,...,n按任意顺序排成一行,得到数列,称数列为1,2,3,...,n的生成数列.
（1）若是1,2,3,...,8的生成数列,记,数列所有项的和为S,求S所有可能取值的和;
（2）若是1,2,3,...,10的生成数列,记,若数列中的最小项为T.
①证明:;
②求T的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,故A错误;因为,故B错误;因为,故D错误,
因为,所以,故C正确.故选C.
2．答案：A
解析：的展开式中的通项,
令,得,所以的展开式中的常数项为.故选A.
3．答案：C
解析：将6个数据从小到大排列为,9,4,5,4,6,5,3,6,3,18,7,
又.故这组数据的60%分位数为第4个数,为5.3.故选C.
4．答案：B
解析：因为.所以,,.
当时,,,
当时,.
故的取值范围为,只有不在此范围内.故选B.
5．答案：A
解析：由,得,即,
故分配方案共有种.故选A.
6．答案：B
解析：设,则,C的右焦点为,的上焦点为,
直线的斜率为,因为直线与的一条渐近线平行,
所以,即,即,
所以,整理得,解得,
因为,所以,因为,所以.故选B.
7．答案：D
解析：由题意得,
,
,所以时,
当时,所以时,最大,.故选D.
8．答案：D
解析：由题意得,设,则,
则四边形ABCD的面积,所以.
在中,由余弦定理得,
在中,,
又四边形ABCD内接于圆E.所以,
所以,解得,
又,所以,所以圆E是正三角形BAD的外接圆,
其半径,又,,
故等边的外接圆的圆心为,故所求圆的方程为.故选D.
9．答案：BC
解析：因为,所以,故A错误;
,故B正确;
复数z在复平面内对应的点为,,故C正确;
,故D错误.故选BC.
10．答案：ACD
解析：因为,故A正确;
因为,,,,
的图象不关于直线对称,故B错误;
,所以的最小值为,故C正确;
,将的图象向左平移个单位长度可得到的图象,故D正确,故选ACD.
11．答案：ABC
解析：由题意知点E在棱上,且,在棱上取点F,
使得,易证,
故平面截正方体所得的截面为四边形,
易得四边形为平行四边形,且,,,
所以,
所以,
所以四边形的面积,故A正确;
连接BF,BD,三棱锥的体积,
由上面知,设点B到平面的距离为h,
由,得,故B正确;
延长DE交的延长线于点G,易求,在上取点P,使得,
所以,且,所以四边形为平行四边形,
所以,又平面,平面,所以平面,故C正确;
假设存在点Q,使得平面,因为平面,
所以平面平面,又平面平面,
平面平面,易得平面,
又平面,故,与矛盾,
所以在上不存在点Q,使得平面.故D错误.故选ABC.
12．答案：1
解析：两边平方得,所以.
13．答案：
解析：将三棱锥补成一个直三棱柱,
则该棱柱上,下底面的外接圆圆心连线的中点是球心O,
在中,由,,,
所以,又,
所以,所以外接圆的半径,
又,所以球O的半径,
所以球O的表面积.
14．答案：50
解析：由题意得,,
在中,
令,得,令,得,
令,得,令,,
得,,
且,,,
所以.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,,其定义域为,
,
由,得.由,得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为,,
当时,,
若在上没有极值点,则在上单调,
即在上恒成立,或在上恒成立.
若在上恒成立,则,解得,
若在恒成立,则,解得.
综上所述,a的取值范围为.
16．答案：（1）或
（2）见解析
解析：（1）由题意得,设,
因为线段PF的中点为,
所以,,所以,,
代入C的方程得,
解得,或,
所以C的方程为,或.
（2）证明:因为,所以C的方程为,
设,,直线MN的方程为,
与联立,得,
则,,
因为直线OM,ON的斜率之积为2024,
所以,
所以.
直线MN的方程为,故直线MN过定点.
17．答案：（1）0.9216
（2）从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,若该车价位不超过30万元,该车是甲品牌车的概率为.
解析：（1）从该地上牌照的新能源汽车中,随机抽取1辆,
该车是甲品牌车的概率为,
所以随机抽取2辆,抽取的两辆车不全是甲品牌车的概率为.
（2）从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,记该车是国外,甲,乙,其他品牌分别为事件,,,,价位不超过30万元为事件B,
则,,,,
,,,,
所以
,
又,
所以.
所以从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,若该车价位不超过30万元,该车是甲品牌车的概率为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,
所以,所以,
所以,所以AB⊥BC.
又,,所以△PBC为等边三角形,
所以,又,所以,所以AB⊥PB.
又PB,平面PBC,且,
所以AB⊥平面PBC,
因为平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC,
因为,D为BC的中点,所以PD⊥BC,
因为平面PBC,平面平面,
所以PD⊥平面ABC,又平面ABC,所以,
（2）由（1）得,PD⊥平面ABC,,
以D为原点,直线DB为y轴,直线DP为z轴,以过D与AB平行的直线为x
轴建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,
所以,,,
设,
所以.
设平面MBC的一个法向量,则,即,
令,解得,,故,
显然平面ABC的一个法向量,
显然二面角M-BC-A为锐二面角,设为,
所以,
解得或(舍),
所以存在M,使之满足条件,此时.
19．答案：（1）819
（2）见解析
解析：（1）因为是1.2,3,...,8的生成数列,且,
所以的所有项的和为,
,,
所以S所有可能的取值为57,58,59,...,69,故其和为.
（2）①证明:假设,
因为,
所以,
所以,
又,所以,
同理由.
所以,
所以,
又,所以,,与已知矛盾,
所以假设不成立,故.
②由①,
假设,
由,
得,
所以,
又,
所以,,
同理可得,,
记的各项依次为1,6,10,2,7,8,3,9,5,4,
则的各项依次为17,18,19,17,18,20,17,18,满足题意,
所以T的最大值为17.
年份
2019
2020
2021
2022
2023
2024
同比增速
6.3
18.7
4.6
4.5
5.3