黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．函数的导数是( )
A.B.C.D.
2．如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
3．若函数的单调递减区间为,则( )
A.-27B.-16C.16D.27
4．已知是递增数列，则的通项公式可能为( )
A.B.C.D.
5．已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( )
A.B.C.eD.
6．已知双曲线，，是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是( )
A.B.C.7D.8
7．已知，若恰好有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．当时，恒成立，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知等差数列的前n项和是，且，，则( )
A.B.C.D.的最小值为
10．已知函数定义域是，其导函数是，且满足，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有( )
A.B.函数有两个零点
C.D.
三、填空题
12．已知函数,则____________．
13．已知，是椭圆左、右焦点，直线与椭圆相交于A，B两点，，的平分线交l于点N，且，则椭圆E的离心率为______.
14．若数列满足：，，则定义数列为函数的“切线——零点数列”．已知，数列为函数的“切线——零底数列”，，若数列满足，则数列的前n项和___________．
四、解答题
15．已知各项均为正数的等比数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.
16．已知.
（1）若，求曲线在点处的切线方程.
（2）若，求函数的单调区间.
（3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l与C交于P，Q两点，，，设直线AP，BP，BQ的斜率分别为，，．证明：为定值．
18．设函数．
（1）若在处取得极小值，求的单调区间；
（2）若恰有三个零点，求a的取值范围．
19．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为.
①求a的值；
②O是坐标原点，过曲线上一点作PQ垂直x轴于点Q，求的最大值；
（2）当时，是否存在整数m，使得关于x的不等式恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：,所以,
故选：C.
2．答案：A
解析：函数的单调性自左至右依次为：增→减→增→减，因此对应的的函数值的正负应满足：正→负→正→负，故选A.
3．答案：A
解析：由题意,且的解集为,故,
解得,,故.
故选：A.
4．答案：C
解析：对于A，，，A不合题意；
对于B，，则，，
即，B不合题意；
对于C，，当n增大时，减小，则增大，
符合题意，C正确；
对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误，
故选：C
5．答案：A
解析：由题意得在上恒成立,
,故,
即,
令,,
则在上恒成立,
故在上单调递减,
故,
故,故a的最小值为.
故选：A.
6．答案：A
解析：
由题设知，，，，圆E的半径
由点P为双曲线C右支上的动点知
，
.
故选：A
7．答案：B
解析：由，得，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
直线是过定点，斜率为的直线系，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数的图象最多有两个公共点，不符合题意，
则，即，设直线与函数的图象相切的切点为，
由，求导得，因此，解得，，
显然直线AP与函数的图象有两个公共点，直线AP的斜率，
当直线过点时，该直线与函数的图象有3个公共点，
直线AB的斜率，
由图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，
于是，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
8．答案：D
解析：由题意，当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：D.
9．答案：BD
解析：由，，所以，即，
所以当，时，；当，时，；
所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对.
故选：BD
10．答案：AC
解析：设，可得，单调递增，又因为
，，，且，，得，，整理得，AC正确；
故选：AC
11．答案：ACD
解析：由题设，在上有两个变号零点，
令，则，
若，则，即递增，此时不可能存在两个零点；
所以，则时，递增；时，递减；
故，而，
要存在零点，则，可得，则，
此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在，各有一个零点，满足题设，A正确；
由上，不妨设，
在，，上，递减；在上，递增，且，
所以x趋向于时趋于0，，，
故上无零点，上不一定存在零点，B错误；
由对数均值不等式，证明如下：
令，要证，即证，
若，则，故y在上递减，
所以，即，故得证；
令要证，即证，
若，则，故y在上递增，
所以，即，故得证；
综上，，
故，C正确；
，，即恒成立，，
又因为C选项，
所以，故，D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为,所以,
则,解得：,
所以,则.
故答案为：.
13．答案：或
解析：
连接、，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，
所以，
根据角平分线定理得：，
所以，又
，，又，
又在中，由余弦定理得：
，所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：，则，
依题意可知，
所以，
故，即，
且，所以，（常数），
故是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以．
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为是正数等比数列，且，
所以，
即
分解得，
又因为，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以，
所以
.
16．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1），，
，
，
又，所以切点坐标为.
所求切线方程为，
即.
（2），
由，得或.
①当时，由，得；
由，得或，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
②当时，由，得；
由，得或.
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（3）依题意，不等式恒成立，
等价于在上恒成立，
可得在上恒成立，
设，
则.
令，得，（舍），
当时，；
当时，，
当x变化时，，变化情况如下表：
当时，取得最大值，
，.
a的取值范围是.
17．答案：（1）；
（2）-1
解析：（1）因为，
所以曲线C为以，为焦点的椭圆，
其中，，故，
所以椭圆方程：．
（2）易知直线PQ的斜率不为零，
设直线PQ的方程为，，，
由，得，
则，
则，，，，
所以
，
，
所以为定值．
18．答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）a的取值范围是
解析：（1），
令，得或，
①当，即时，
令，得；令，得或，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增，
所以在处取得极小值，此时符合题意；
②当，即时，，
所以在区间R上单调递增，所以在处不取极值，此时不符合题意；
③当，即时，
令，得；令，得或，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增，
所以在处取得极大值，此时不符合题意．
综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为和．
（2）因为，
所以是一个零点．
因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2的实数根，
即方程有两个不为2的实数根．
令，所以，
令，得；令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，的值域为；
当时，的值域为．
所以且，所以且，
所以a的取值范围是．
19．答案：（1）①；②；
（2）存在，且m的最小值为1.
解析：（1）①，
.
由于曲线在点处的切线方程为，
所以，解得；
②由①可知，，
，，其中，所以，，
对任意的，，
则，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，所以，；
（2）当时，，其中，则.
令，其中，则.
所以，函数在上单调递减.
因为，，所以，存在时，使得.
当时，，即，此时函数单调递增；
当时，，即，此时函数单调递减.
所以，，
构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
且不等式对任意的恒成立，则，
而，所以整数m的最小值为1.
x
1
+
0
-
单调递增
单调递减