遵义市第四中学2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份遵义市第四中学2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．已知命题，，则为( )
A.，B.，
C.，D.，
3．已知直线与函数的图象在处的切线没有交点，则( )
A.6B.7C.8D.12
4．已知抛物线的准线平分圆，则( )
A.2B.4C.6D.8
5．已知向量，，当取得最大值时( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线的距离为( )
A.1B.C.2D.
7．数列满足，对任意正整数p，q都有，则( )
A.4B.C.6D.
8．近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁.某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍.假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要）( )
A.8年B.10年C.12年D.20年
二、多项选择题
9．已知函数，则下列结论中正确的是( )
A.函数有且仅有一个零点B.函数是奇函数
C.在上单调递减D.函数的最小值为
10．已知正实数a，b满足，则( )
A.B.C.D.
11．将边长为4的正方形沿对角线折起，使点D不在平面内，则下列命题是真命题的是( )
A.不论二面角为何值，总有
B.当二面角为时，
C.当二面角为时，是等边三角形
D.不论二面角为何值，四面体外接球的体积为
三、填空题
12．已知复数，，则的最小值为__________.
13．某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为__________.
四、双空题
14．第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Kch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Kch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线.若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为__________，n级角雪花曲线的内角和为__________.
五、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，，求b的取值范围.
16．如图，在三棱台中，，，，，，垂足为O，连接BO.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间直接定为优秀，评分在区间，，，分别对应为良好、合格、不合格.然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评.在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立.
（1）估计该企业初评成绩的中位数；（结果精确到0.1）
（2）在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率.
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于M，N两点，四边形为矩形，且面积为12.
（1）求四边形的外接圆方程；
（2）设A，B为C的左、右顶点，直线l过点与C交于P，Q两点（异于A，B），直线与交于点R，证明：点R在定直线上.
19．已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若对于正实数，，满足.
（i）证明：；
（ii）证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：由，得，即，
，所以.
故选：D
2．答案：D
解析：由命题，可知，
为，，故D正确；ABC错误；
故选：D
3．答案：C
解析：，，
，
所以函数的图象在处的切线方程为：
，则，
因为直线与直线没有交点，
所以直线与直线平行，
则.
故选：C.
4．答案：B
解析：抛物线的准线方程为，
依题意，直线经过圆的圆心，则，
所以.
故选：B
5．答案：A
解析：，其中，，
故当时，取得最大值，
此时，
故选：A.
6．答案：B
解析：设，，
则，两式相减得，
由条件可知，，，
即，
并且由对称性可知，，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离.
故选：B
7．答案：B
解析：由，得，令，
依题意，对任意正整数p，q都有，令，，
则，，而，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，，
所以.
故选：B
8．答案：C
解析：设经过x个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，
所以，所以，
两边同时取对数可得：，
所以，所以，
而，
所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.
故选：C.
9．答案：CD
解析：函数，
对于A，由，得或，A错误；
对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号，
因此函数的最小值为，D正确.
故选：CD
10．答案：AC
解析：令函数，求导得，函数在上递增，
，即当时，，则当时，，
于是，而函数在上递增，因此，
对于A，，A正确；
对于B，函数在上递减，则，B错误；
对于C，函数在上递减，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：AC
11．答案：ABC
解析：
在正方形中，连接交于点O，则，且，
在四面体中，且，又，平面，
平面，平面，，故A正确；
因为且，所以即为二面角的平面角，
当二面角为时，即，
在中由余弦定理
，故B正确；
当二面角为时，即，
所以，
又，所以是等边三角形，故C正确；
因为，所以四面体外接球球心是O，
所以外接球半径，
四面体的外接球体积，故D错误.
故选：ABC
12．答案：
解析：，
当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
13．答案：
解析：
设上面球心为，的圆心为，三点在底面投影的正三角形的中心为，圆锥的顶点为M，边中点为N，
连接，，由题意可知，，，
由几何关系可得，，三点共线，
由题意可得，
在几何体中，设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理可得，
由可得，所以，
所以半球面上的最高点到平面DEF的距离为，
故答案为：.
14．答案：①.；②.
解析：依题意，n级角雪花曲线的每一条边按生成，得级角雪花曲线的4条边，
因此n级角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列，
则n级角雪花曲线的边数为，
当时，曲线有6个开角，n级角雪花曲线的开角数为，，
由于n级角雪花曲线的每一条边，向外形成一个开角，因此，
当时，n级角雪花曲线的开角数
，满足上式，
所以n级角雪花曲线的开角数；
令n级角雪花曲线的内角和为，显然，
而n级角雪花曲线到级角雪花曲线每增加一个开角，其内角和增加，
于是，当时，n级角雪花曲线的内角和：
，满足上式，
所以n级角雪花曲线的内角和为.
故答案为：；
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中，由及正弦定理，
得，
则，
即，而，于是，
又，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
由为锐角三角形，得，解得，
则，,则，
所以b的取值范围是.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，，所以，
因，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）因为，，，所以，，
同理可得：，所以是等边三角形，
取的中点N，连接，所以，
由（1）知，平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
取的中点M，连接，则，
所以以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，设，所以，，
所以，，，所以，
可得，，.
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）84.7；
（2）分布列见解析，；
（3）
解析：（1）因为，，
所以中位数位于之间，设中位数为x，则，
解得.
（2）依题意可得X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列如下：
所以.
（3）由频率分布直方图可知员工考核是良好的频率为，
合格的频率为，
不合格的频率为，
记事件A为“该员工复评晋级”，事件B为“该员工初评是合格”，
则.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由双曲线的左、右焦点分别为，，
直线与C的左、右两支分别交于M，N两点，且四边形为矩形，
所以，且，
由，解得或，
即，则，又，，
解得，，，
所以双曲线C的方程为，
所以，，，，
所以的中点为，又，
所以矩形的外接圆的方程为.
（2）由（1）知，，
依题意知直线l的斜率不为零，设直线l为，，，
由，得.
当且，
所以，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以，
，
所以，
解得，
故点R在定直线上.
19．答案：（1）单调递增区间，无递减区间；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
解析：（1）由函数，其定义域为，
可得，
因为，所以，所以在单调递增，
所以函数单调递增区间为，无递减区间.
（2）（i）由，，
设，其中，
当时，，，所以恒成立，
所以，可得，同理可得，
又因为，所以，
又由，令，可得，
所以在上单调递增，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又因为，，所以.
（ii）要证，即证，
只需证，即证，
因为，可得，
设，，则在上恒成立，
所以在单调递增，
又因为，所以，所以，
所以，所以，从而，
所以.
X
0
1
2
3
P