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江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期第二次阶段测试数学试题
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这是一份江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期第二次阶段测试数学试题，共9页。试卷主要包含了06等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 2020.06
一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．在空间直角坐标系中，点，1，关于平面对称点的坐标是
A．，1，B．，，C．，，D．，1，
2．圆的点到直线距离的最小值是
A．B．2C．D．
3．已知三棱柱的体积为120，点，分别在侧棱，上，且，则三棱锥的体积为
A．20B．30C．40D．60
4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得数据如表：
根据上表可得回归方程，则实数的值为
A．34B．35C．36D．37
5．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为
A．B．C．D．
6．在四面体中，，分别为棱，的中点,，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
7．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件的所有直线斜率之和为
A． B． C． D．
9．在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是
A．B．C．D．
10．如图所示，三棱锥中，与都是边长为1的正三角形，，若，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为
A．B．C．D．
二．多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分，选对得5分，漏选得3分，选错得0分）
11．如图，正方体棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论正确的是
A．平面
B．，始终在同一个平面内
C．平面
D．三棱锥的体积为定值
12．在三角形中，下列命题正确的有
A．若，，，则三角形有两解
B．若，则一定是钝角三角形
C．若，则一定是等边三角形
D．若，则的形状是等腰或直角三角形
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若一组数据3，，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是 ．
14．过点作圆的切线，切点为，则 ．
15．在四面体中，、分别是、的中点，
若记，则 ．
16．从正方体上截下一个角，得三棱锥．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面的面积是 ．
四．解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
锐角中，角，，所对的边分别为，，，若且2csB(acsC+ccsA)=b．
（1）求的外接圆直径；
（2）求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．
(1)求圆O的方程．
(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？
参考数据：，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点．
（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；
（2）已知平面平面，求证：．
21．（本小题满分12分）
为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，第六组，，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为、．求事件的概率．
22．（本小题满分12分）
平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．
（1）当为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？
（2）当时，求的大小．
江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试
高一数学参考答案
1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．． 8．．
9．． 10．． 11．． 12．．
13．2． 14．． 15． 16．．
17．解：（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，所以，
因，故且，故， ……3分
由正弦定理，即外接圆直径1， ……5分
（2）由正弦定理可得，，
， 7分
由题意可得，，解可得，所以，
，． ……10分
18．（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r==2.
所以圆O的方程为 x2+y2=4. ……5分
（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,
所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,
经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2. ……12分
19．解：（1）由折线图可知统计数据共有6组，
即，，，，，．
计算可得，，
， ……2分
． ……4分
月度利润与月份代码之间的线性回归方程为， ……5分
当时，．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； ……6分
（2）由频率估计概率，型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
型新材料对应产品的使用寿命的平均数为；……9分
型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为．
，应该采购新型材料． ……12分
20．（1）解：在线段上存在点，当时，平面．
证明如下：连接，交于点，连接，则点是的中点，
又当，即点是的中点，由中位线定理得，
平面，平面，
平面． ……6分
（2）证明：过作并交于点，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，又平面，．
在直三棱柱中，平面，平面，
，又平面，平面，，
平面．
又平面，． ……12分
21．解：（1）由频率分布直方图可知，
解得． ……2分
这800名学生数学成绩的平均数为：
．
……5分
（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为，，则，，
第五组抽取3名学生，其成绩记为，，，则，，，
第六组抽取1名学生，其成绩记为，则，
现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：
，，，，，，，，
，，，，，，共15个．
其中事件包含的基本事件为：
，，，，，，共7个，
记“这2名学生的竞赛成绩分别为、，其中”为事件，
则事件的概率为．……12分22．(1) 当时，三棱锥的体积最大，最大值为;(2).
【解析】（1）由题意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）由AD⊥BO，即可得出．
解：（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，则OC=CDsinα，OD=CDcsα．
∴ -------3分
==，
当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，
∴当α=45°时，三棱锥O﹣ACD的体积最大，最大值为． --------6分
（2）
连接OB，，
又因为BD⊥OD
零件数（个
2
3
4
5
加工时间（分钟）
30
40
50
使用寿命
材料类型
1个月
2个月
3个月
4个月
总计
20
35
35
10
100
10
30
40
20
100
考试时间：120分钟 2020.06
一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．在空间直角坐标系中，点，1，关于平面对称点的坐标是
A．，1，B．，，C．，，D．，1，
2．圆的点到直线距离的最小值是
A．B．2C．D．
3．已知三棱柱的体积为120，点，分别在侧棱，上，且，则三棱锥的体积为
A．20B．30C．40D．60
4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得数据如表：
根据上表可得回归方程，则实数的值为
A．34B．35C．36D．37
5．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为
A．B．C．D．
6．在四面体中，，分别为棱，的中点,，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
7．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件的所有直线斜率之和为
A． B． C． D．
9．在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是
A．B．C．D．
10．如图所示，三棱锥中，与都是边长为1的正三角形，，若，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为
A．B．C．D．
二．多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分，选对得5分，漏选得3分，选错得0分）
11．如图，正方体棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论正确的是
A．平面
B．，始终在同一个平面内
C．平面
D．三棱锥的体积为定值
12．在三角形中，下列命题正确的有
A．若，，，则三角形有两解
B．若，则一定是钝角三角形
C．若，则一定是等边三角形
D．若，则的形状是等腰或直角三角形
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若一组数据3，，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是 ．
14．过点作圆的切线，切点为，则 ．
15．在四面体中，、分别是、的中点，
若记，则 ．
16．从正方体上截下一个角，得三棱锥．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面的面积是 ．
四．解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
锐角中，角，，所对的边分别为，，，若且2csB(acsC+ccsA)=b．
（1）求的外接圆直径；
（2）求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．
(1)求圆O的方程．
(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？
参考数据：，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点．
（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；
（2）已知平面平面，求证：．
21．（本小题满分12分）
为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，第六组，，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为、．求事件的概率．
22．（本小题满分12分）
平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．
（1）当为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？
（2）当时，求的大小．
江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试
高一数学参考答案
1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．． 8．．
9．． 10．． 11．． 12．．
13．2． 14．． 15． 16．．
17．解：（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，所以，
因，故且，故， ……3分
由正弦定理，即外接圆直径1， ……5分
（2）由正弦定理可得，，
， 7分
由题意可得，，解可得，所以，
，． ……10分
18．（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r==2.
所以圆O的方程为 x2+y2=4. ……5分
（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,
所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,
经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2. ……12分
19．解：（1）由折线图可知统计数据共有6组，
即，，，，，．
计算可得，，
， ……2分
． ……4分
月度利润与月份代码之间的线性回归方程为， ……5分
当时，．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； ……6分
（2）由频率估计概率，型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
型新材料对应产品的使用寿命的平均数为；……9分
型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为．
，应该采购新型材料． ……12分
20．（1）解：在线段上存在点，当时，平面．
证明如下：连接，交于点，连接，则点是的中点，
又当，即点是的中点，由中位线定理得，
平面，平面，
平面． ……6分
（2）证明：过作并交于点，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，又平面，．
在直三棱柱中，平面，平面，
，又平面，平面，，
平面．
又平面，． ……12分
21．解：（1）由频率分布直方图可知，
解得． ……2分
这800名学生数学成绩的平均数为：
．
……5分
（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为，，则，，
第五组抽取3名学生，其成绩记为，，，则，，，
第六组抽取1名学生，其成绩记为，则，
现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：
，，，，，，，，
，，，，，，共15个．
其中事件包含的基本事件为：
，，，，，，共7个，
记“这2名学生的竞赛成绩分别为、，其中”为事件，
则事件的概率为．……12分22．(1) 当时，三棱锥的体积最大，最大值为;(2).
【解析】（1）由题意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）由AD⊥BO，即可得出．
解：（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，则OC=CDsinα，OD=CDcsα．
∴ -------3分
==，
当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，
∴当α=45°时，三棱锥O﹣ACD的体积最大，最大值为． --------6分
（2）
连接OB，，
又因为BD⊥OD
零件数（个
2
3
4
5
加工时间（分钟）
30
40
50
使用寿命
材料类型
1个月
2个月
3个月
4个月
总计
20
35
35
10
100
10
30
40
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100
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