2024年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）（含详细答案解析）

这是一份2024年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若向量a=(x,4)与向量b=(1,x)是共线向量，则实数x等于( )
A. 2B. −2C. ±2D. 0
2.复数3+i1−i的共轭复数是( )
A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i
3.已知全集U={x|0≤x≤2π}，集合A={x|sinx≥ 32}，B={x|sinx≥csx}，则A∩B等于( )
A. [π4,3π4]B. [π3,2π3]C. [π4,π3]D. [π4,2π3]
4.已知函数f(x)=2x,(x≥0)f(x+1),(xc>bB. b>c>aC. c>b>aD. a>b>c
10.已知函数f(x)=x−csx，若f(x1)+f(x2)=π，则f(x1+x2)=( )
A. π−1B. π+1C. πD. 0
11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为y=± 33x
B. 双曲线C的离心率为 2
C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为a2
D. 以F1为圆心， 3a为半径的圆与渐近线相切
12.设a>b>0，若a2+λb2≤a3+b3a−b，则实数λ的最大值为( )
A. 2+2 2B. 4C. 2+ 2D. 2 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某班男女生的比例为3：2，全班的平均身高为168cm，若女生的平均身高为159cm，则男生的平均身高为______cm.
14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点(A在第一象限)，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，若|CD|=|AF|−|BF|，则直线l的倾斜角等于______.
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA+ 3acsC=0，则sin2A+sin2B+sinAsinB=______.
16.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，BA=BC=BB1=1，P是矩形BCC1B1内一动点，满足PA2+PC2=2，则三棱锥P−ABC外接球体积为______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某保险公司为了给年龄在20∼70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.(保费：元)据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
(Ⅰ)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x至少为多少元？(精确到整数)
(Ⅱ)经调查，年龄在[30,50)之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[30,40)和[40,50)的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率.
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，3Sn=4an−2.
(Ⅰ)证明：数列{an}是等比数列，并求出通项公式；
(Ⅱ)数列{bn}满足bn=lg2an，求数列{1bn⋅bn+1}的前n项和Tn.
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，BA= 2，AA1=2，D是棱AC的中点，E在棱BB1上，且AE⊥A1C.
(Ⅰ)证明：BD//平面AEC1；
(Ⅱ)若四棱锥C1−AEB1A1的体积等于1，判断平面AEC1与平面ACC1A1是否垂直，并说明理由.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−axsinx−bx+c的图像与x轴相切于原点.
(Ⅰ)求实数b，c的值；
(Ⅱ)若a=12，证明：当x∈(0,π)时，f(x)>0.
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，直线l与椭圆相交于不同于A点的P，Q两点，N为线段PQ的中点，当直线ON斜率为−14时，直线l的倾斜角等于π4.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线AP，AQ分别与直线x=3相交于E，F两点.线段E，F的中点为M，若M的纵坐标为定值12，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程x=10+t,y=10−t(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=csθ，且直线l与曲线C相交于M，N两点.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点P(x0,y0)是直线l上一点，满足PM+2PN=0，求点P的直角坐标.
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x−1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥3−2|x|的解集；
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+|x−5|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m.求证：a2b+b2a≥4.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：向量a=(x,4)与向量b=(1,x)是共线向量，
则x2=1×4，解得x=±2.
故选：C.
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：复数3+i1−i=(3+i)(1+i)1−i2=3+i+3i+i22=2+4i2=1+2i，
∴它的共轭复数是1−2i；
故选：B.
利用复数的基本运算法则以及复数的共轭复数知识，先化简，再写出共轭复数即可．
本题考查了复数的基本运算以及复数的共轭复数问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为全集U={x|0≤x≤2π}，集合A={x|sinx≥ 32}={x|π3≤x≤2π3}，B={x|sinx≥csx}={x|π4≤x≤5π4}，
则A∩B={x|π3≤x≤2π3}.
故选：B.
结合三角函数性质求A，b，然后结合集合交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=2x,(x≥0)f(x+1),(x5.024，
所以按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”，故D正确．
故选：D.
根据题意求出成绩优秀的学生人数和成绩非优秀的学生人数，补全2×2列联表，即可判断ABC，计算χ2的值，与临界值比较可判断D.
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：a=1e=lnee，b=ln22=ln44,c=ln33，
设f(x)=lnxx，f′(x)=1−lnxx2，则x≥e时，f′(x)≤0，
∴f(x)在[e,+∞)上单调递减，
∴f(e)>f(3)>f(4)，即lnee>ln33>ln44，
∴a>c>b.
故选：A.
根据条件可得出a=lnee,b=ln44,c=ln33，然后设f(x)=lnxx，根据导数符号即可判断f(x)在[e,+∞)上单调递减，这样即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查的对数的定义，对数的运算性质，构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，考查了计算能力，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：因为f′(x)=1+sinx≥0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，
又f(π−x)+f(x)=π−x−cs(π−x)+x−csx=π，
所以f(x)的图象关于(π2,π2)对称，
若f(x1)+f(x2)=π，则x1+x2=π，
所以f(x1+x2)=f(π)=π+1.
故选：B.
先结合导数分析函数的单调性，然后结合对称性及单调性即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系及函数的对称性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：设P(x,y)，则y2=b2(x2a2−1)，
∵A1(−a,0)，A2(a,0)，直线PA1与PA2的斜率之积等于3，
∴kPA1⋅kPA2=yx+a⋅yx−a=3，得y2x2−a2=b2a2=3，
∴双曲线C的渐近线方程为y=± 3x，故A错误；
由b2a2=3，可得e=ca= c2a2= 1+b2a2= 1+3=2，故B错误；
若PF1⊥PF2，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，
又|PF1|−|PF2|=±2a，
∴4a2=(|PF1|−|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|
则2|PF1||PF2|=4c2−4a2，即|PF1||PF2|=2(c2−a2)=2b2，
∴则△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=b2，故C错误；
∵F1(−c,0)，F1到一条渐近线bx−ay=0的距离d=|−bc| a2+b2=b= 3a，
∴以F1为圆心， 3a为半径的圆与渐近线相切，故D正确．
故选：D.
设P(x,y)，由直线PA1与PA2的斜率之积等于3列式可得b2a2=3，则双曲线渐近线方程可求，从而判断A；进一步求出双曲线的离心率判断B；由双曲线的定义结合三角形面积公式判断C；由点到直线的距离公式判断D.
本题考查双曲线的几何性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】A
【解析】解：因为a>b>0，若a2+λb2≤a3+b3a−b，可得λ≤a3+b3a−b−a2b2=b2+a2ab−b2=1+(ab)2ab−1，
设t=ab>1，只需要λ小于等于右边的最小值，
则1+(ab)2ab−1=1+t2t−1，
令s=t−1>0，可得t=s+1，
所以1+(s+1)2s=s+1s+2≥2 s⋅1s+2=2 2+2，当且仅当s=1s，即s=1时取等号，
所以λ≤2+2 2，
即λ的最大值为2+2 2.
故选：A.
由不等式可得λ≤a3+b3a−b−a2b2=b2+a2ab−b2=1+(ab)2ab−1，求出右边的最小值，进而可得λ的最大值．
本题考查换元法及基本不等式的应用，属于基础题．
13.【答案】174
【解析】解：设男生的平均身高为xcm，
则35x+25×159=168，
解得x=174.
故答案为：174.
根据分层随机抽样的均值公式求解．
本题主要考查了分层随机抽样的均值公式，属于基础题．
14.【答案】π4
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则|CD|=y1−y2，||AF|−|BF|=x1+p2−x2−p2=x1−x2，
因为|CD|=|AF|−|BF|，
所以y1−y2=x1−x2，
故直线AB的斜率k=y1−y2x1−x2=1，
所以直线l的倾斜角为π4.
故答案为：π4.
由已知结合抛物线的定义分别表示|CD|，|AF|，|BF|，结合已知即可求解．
本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题．
15.【答案】34
【解析】解：因为csinA+ 3acsC=0，
由正弦定理可得：sinCsinA+ 3sinAcsC=0，sinA>0，
可得tanC=− 3，C∈(0,π)，
所以C=2π3，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2+ab，
在三角形中sinA>0，sinB>0，
由正弦定理可得：sin2A+sin2B+sinAsinB=14R2(a2+b2+ab)=c24R2=sin2C=( 32)2=34.
故答案为：34.
由题意及正弦定理可得tanC的值，由角C的范围，可得角C的大小，再由余弦定理可得a，b，c的关系，由正弦定理可得sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
16.【答案】 2π3
【解析】解：根据题意可得AC= 2，PA2+PC2=2，
∴PA2+PC2=AC2，
∴P在以AC为直径的球上，又∠ABC=90∘，
∴B也在该球上，
∴三棱锥P−ABC外接球即为以AC为直径的球，
∴该球的半径为AC2= 22，
∴三棱锥P−ABC外接球体积为43πR3=43×π×( 22)3= 2π3.
故答案为： 2π3.
根据题意易得PA2+PC2=AC2，从而可得P在以AC为直径的球上，进而可得三棱锥P−ABC外接球即为以AC为直径的球，再根据球的体积公式，即可求解．
本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)(0.007+0.016+a+0.025+0.02)×10=1，解得a=0.032，
保险公司每年收取的保费为：
10000(0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.2×5x)=10000×3.35x，
所以要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，
解得x≥1003.35≈29.85，即x=30元，
故保费x至少为30元．
(Ⅱ)选取的6人中，有2人来自年龄在[30,40),记这2人分别为a1，a2，
有4人来自年龄在[40,50),记这4人分别为b1，b2，b3，b4，
从这6人中任取2人的所有基本事件有：(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)，(a1,a2)，
(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，共15种，
其中保费超过150元的有(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)共6种，
故被免去保费超过150元的概率为p=615=25.
【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，即可求得a的值，根据中位数左右两侧小矩形面积之和都为0.5，即可求得答案；
(Ⅱ)分别列举6人中任取2人的所有基本事件和保费超过150元的事件，根据概率公式计算即可求得答案．
本题主要考查频率分布直方图，属于中档题．
18.【答案】证明：(Ⅰ)因为3Sn=4an−2，
所以3Sn−1=4an−1−2，(n≥2)，
当n≥2时，两式相减得3an=4an−4an−1，
即an=4an−1，n≥2，
则anan−1=4，
因为3S1=4a1−2，即a1=2，
所以数列{an}是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以an=2⋅4n−1=22n−1.
解：(Ⅱ)∵bn=lg222n−1=2n−1，
1bn⋅bn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1.
【解析】(I)由已知结合数列和与项的递推关系及等比数列的定义可证，然后结合等比数列的通项公式即可求解；
(Ⅱ)先求出bn，然后结合裂项求和即可求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等比数列通项公式的应用，裂项求和的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC，
又∵BC⊥AB，AB∩AA1=A，
∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又∵AE⊥A1C，A1C∩BC=C，
∴AE⊥平面A1BC，∴AE⊥A1B，
由AB= 2，AA1=2，
可得tan∠BA1A⋅tan∠A1AE= 22× 2|BE|=1，
解得BE=1，
得E为棱BB1的中点，
连接A1B交AE于F，连接A1D交AC1于G，连接FG，
在△A1BD中，交A1GGD=A1FFB=2，
∴BD//FG，FG⊂平面AEC1，BD⊄平面AEC1，
∴BD//平面AEC1；
(Ⅱ)设B1C1=x，
四棱锥C1−AEB1A1的体积为13×12(2+1)× 2x=1，
解得x= 2，
∵AB=BC= 2，
∴EA=EC1=EA1=EC，
取AC1的中点O，则EO⊥AC1，EO⊥A1C，且A1C∩AC1=O，
所以EO⊥平面ACC1A1，且EO⊂平面AEC1，
所以平面AEC1⊥平面ACC1A1.
【解析】(Ⅰ)由线面垂直的判定和性质，推得AE⊥A1B，再由线面平行的判定定理，可得证明：
(Ⅱ)由棱锥的体积公式，求得BC，再由面面垂直的判定定理，可得结论．
本题考查线面平行的判定，以及面面垂直的判定，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=ex−axsinx−bx+c的图像与x轴相切于原点．
f′(x)=ex−a(sinx+xcsx)−b，
∵f′(0)=0，∴b=1，
∴f(0)=0，即c=−1，
∴b=1，c=−1；
证明：(Ⅱ)当a=12时，不等式f(x)>0等价于ex−12xsinx−x−1>0，
f′(x)=ex−12sinx−12xcsx−1，令函数g(x)=f′(x)，
则g′(x)=ex−csx+12xsinx，
∵x∈(0,π)，∴ex−csx>1−csx>0，12xsinx>0，
所以函数g(x)在(0,π)上单调递增，且g(0)=0，
∴g(x)=f′(x)>0在(0,π)上恒成立，
即函数f(x)在(0,π)上单调递增，且f(0)=0，
所以x∈(0,π)时，不等式f(x)>0成立．
【解析】(Ⅰ)根据题意易知，f(0)=0.f′(0)=0，代入求解即可；
(Ⅱ)不等式f(x)≥0等价于ex−12xsinx−x−1≥0，通过求解导函数，得到函数g(x)=f′(x)的单调性，进而求解结论．
本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，属中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆C过点A(2,0)，
所以a=2，
不妨设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ中点为N(x0,y0)，
因为P，Q两点均在椭圆上，
所以x124+y12b2=1x224+y22b2=1，
两式相减得x12−x224+y12−y22b2=0，
整理得y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−b24，
即−b24=−14，
解得b=1，
则椭圆方程为x24+y2=1；
(Ⅱ)不妨设P(2csα,sinα)，Q(2csβ,sinβ)，
此时直线PA的方程为y=sinα2csα−2(x−2)，
即y=1−2tanα2(x−2)，
当x=3时，
解得y=1−2tanα2，
即E(3,1−2tanα2)，
同理得F(3,1−2tanβ2)，
不妨设直线l过点(x0,y0)，
此时α，β是方程sinx−y02csx−x0=k的两根，
即2tanx2−y0−y0tan2x22−2tan2x2−x0−x0tan2x2=k，
整理得(y0−2k−kx0)tan2x2−2tanx2+y0−kx0+2k=0，
所以tanα2+tanβ2=2y0−2k−kx0，tanα2tanβ2=y0+2k−kx0y0−2k−kx0，
则yM=−14tanα2+tanβ2tanα2tanβ2=−14⋅22k−kx0+y0=12，
解得x0=2，y0=−1，
故直线l过点(2,−1).
【解析】(Ⅰ)由题意，可得a=2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ中点为N(x0,y0)，结合所给信息列出等式求出b的值，进而可得椭圆的方程；
(Ⅱ)设P(2csα,sinα)，Q(2csβ,sinβ)，推出直线PA的方程，令x=3得到点E的坐标，同理得点F的坐标，设直线l过点(x0,y0)，此时α，β是方程sinx−y02csx−x0=k的两根，利用韦达定理再求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由x=10+ty=10−t，
消去参数t可得x+y=20，
故直线l的普通方程为x+y−20=0，
ρsin2θ=csθ，
则ρ2sin2θ=ρcsθ，
∵x=ρcsθy=ρsinθ，
∴y2=x，
故曲线C的直角坐标方程为y2=x；
(Ⅱ)设直线l的参数方程为x=x0− 22ty=y0+ 22t，代入y2=x，化简整理可得，t2+(2 2y0+ 2)t+2y02−2x0=0，
设点M，N对应的参数分别为t1，t2，
t1+t2=−2 2y0− 2，t1t2=2y02−2x0，
点P(x0,y0)是直线l上一点，满足PM+2PN=0，
则x0+y0=20，t1+2t2=0，
解得x0=22，y0=−2，或者x0=19，y0=1，
所以求点P的直角坐标为(22,−2)或(19,1).
【解析】(Ⅰ)消去参数t，可得直线l的普通方程，再结合极坐标公式，求出曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)结合参数方程的几何意义，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查参数方程、极坐标方程的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x−1|，∴由f(x)≥3−2|x|，得|x−1|+2|x|≥3.
∵|x−1|+2|x|=3x−1,x>1x+1,0≤x≤1−3x+1,x1或x+1≥30≤x≤1或−3x+1≥3x1或x+1≥30≤x≤1或−3x+1≥3x