2024年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）（含详细答案解析）

这是一份2024年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−19≤0}，B={x|1 x≥1}，则A∩B( )
A. [0,13]B. (0,13]C. (0,1]D. [0,1]
2.已知复数z=2+i，则i2025z−=( )
A. 15−2i5B. −15−2i5C. 15+2i5D. −15+2i5
3.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是( )
A. y=tanxB. y=|tanx|C. y=sin|x|D. y=cs(x2+π6)
4.设双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为x±2y=0，则实数a的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 6
5.某公司研发新产品投入x(单位：百万)与该产品的收益y(单位：百万)的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额x与收益y满足经验回归方程y =b x+2.6，则下列结论不正确的是( )
A. x与y有正相关关系B. 回归直线经过点(8,25)
C. b =2.4D. x=9时，残差为0.2
6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，m//n，n⊥β，则α⊥β
B. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β
C. 若m，n是两条不同的异面直线，m//α，n//β，m⊂α，n⊂β，则α//β
D. 若m⊥n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角互余
7.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f(2−x)=f(x).当x∈[1,2]时，f(x)=1−lg2x.则f(19)的值为( )
A. 0B. 1C. 1−lg221D. −1
8.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，把f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)是偶函数
B. g(x)的图象关于直线x=−π4对称
C. g(x)在[0,π2]上单调递增
D. 不等式g(x)≤0的解集为[kπ+π2,kπ+π],k∈Z
9.若f(x)=−13x3+12x2+2x+1是区间(m−1,m+5)上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. m≤−6或m≥3B. m≥3
C. m≤−6D. −6≤m≤3
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2=2026c2，则2tanAtanBtanC(tanA+tanB)的值为( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
11.已知正四面体ABCD的棱长为4，动点P满足AP⋅CD=0，且PB⋅PC=0，则点P的轨迹长为( )
A. π2B. πC. 2πD. 2 3π
12.过抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，与C1交于A，B两点(点A在x轴上方)，与y轴正半轴交于点D，A为DF中点，且|BD|=6，又点C(1,0)，曲线C2上任意一点P满足|PC|=1，过定点C的直线m与抛物线C1和曲线C2的四个交点从上到下依次为G，M，N，H，则|GN|+4|HM|的最小值为( )
A. 8B. 12C. 13D. 14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量a=(2,x−1),b=(3,2−x)，若向量a与b共线，则x=______.
14.已知实数x，y满足约束条件x−y≤1x≥2yx+y≤1，则z=3x+2y的最大值为______.
15.已知圆x2+y2=4上一点A(65,85)，现将点A绕圆心顺时针旋转π6到点B，则点B的横坐标为______.
16.已知函数f(x)=a2x−a(x2+1),x≤aexa−x,x>a，若f(x)的最大值为−34，则实数a的取值构成的集合为______.
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某工厂为了检查一条流水线产品的某项指标值K，随机抽取流水线上的20件产品作为样本测出该项指标值K，指标值K的分组区间为(45,55],(55,65],…(85,95].由此得到样本的频率分布直方图(如图).
(1)估计该产品指标值K的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)在上述抽取的20件产品中任取2件，设X为指标值超过65的产品数量，求X的分布列与数学期望.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，AB=PA=2，BC=CD=1，AD= 2,PB=2 2，M为PC的中点.
(1)求证：BD⊥PD；
(2)求二面角M−AD−B的余弦值.
19.(本小题12分)
已知点集L={(x,y)|y=m⋅n}，其中m=(2x−1,1),n=(1,2)，点Pn(an,bn)∈L，P1为L与y轴的公共点，等差数列{an}的公差为1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令数列dn=bn2an+1，记数列{dn}的前n项和为Cn，是否存在整数k，使Cn12.
(1)当a=1时，求函数f(x)在点x=1处的切线方程；
(2)若方程f(x)=g(x)在x∈[12,+∞)上有两个不等实数根，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1发出的光线，经过两次反射之后回到点F1，光线经过的路程为8，且椭圆上的点到焦点的最远距离是2+ 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线m交椭圆C于G，H两点，若GH中点坐标为(−1,12)，求直线m的方程；
(3)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，直线l与C交于A，B两点，点M(x0,y0)(x0,y0≠0)为弦AB的中点.过点M作直线l的垂线交椭圆C于D，E两点，N为弦DE的中点.直线l与直线ON交于T，若ON=λNT(λ>0)，求λ的最大值.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=1+3csαy=3sinα(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2ρcs(θ−π4)=2.
(1)求曲线C的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程；
(2)直线l与曲线C交于M，N两点，且A(2,0)，求1|AM|+1|AN|的值.
23.(本小题5分)
已知关于x的不等式|x+2|−|2x−2|≥m有解.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若a、b、c均为正数，n为m的最大值，且a+3b+4c=n.求证：a2+2ab+5b2+c2≥12.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−19≤0}={x|−13≤x≤13}，
B={x|1 x≥1}={x|00)的渐近线方程为x±2y=0，
则a=6.
故选：D.
根据已知条件，结合渐近线方程的公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故A正确；
对于B，x−=5+6+8+9+125=8，y−=16+20+25+28+365=25，
则样本点中心为(8,25)，所以经验回归直线经过点(8,25)，故B正确；
对于C，将样本点中心代入直线方程，得25=8b +2.6，所以b =2.8，故C错误；
对于D，y =2.8x+2.6，当x=9时，y =2.8×9+2.6=27.8，
则残差为y−y =28−27.8=0.2，故D正确．
故选：C.
根据x和y的变化规律，即可判断A；计算(x−,y−)，即可判断B；将样本点中心代入回归直线方程，即可求b ，即可判断C；根据回归直线方程计算x=9时的y ，计算y−y ，即可判断D.
本题主要考查线性回归，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，所以α⊥β不正确，故A不正确；
对于B，α//β，m⊂α，m//n，则n//β或n⊂β，故B不正确；
对于C，若m，n是两条不同的异面直线，m//α，n//β，m⊂β，n⊂α，则α//β，故C正确；
对于D，由m⊥n时，m，n与α所成的角没有关系，
α//β时，由面面平行的性质知n与α，β所成的角相等，m与α，β所成的角相等，
因此m与α所成的角和n与β所成的角不一定互余，故D不正确．
故选：C.
利用空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质依次判断即可．
本题考查空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由对任意实数x都有f(2−x)=f(x)，则有f(−x+2)=−f(x)，变形可得f(x+2)=−f(x)，
故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，
f(19)=f(3+16)=f(3)=−f(1)，
当x∈[1,2]时，f(x)=1−lg2x，则f(1)=1−lg21=1，
故f(19)=−f(1)=−1.
故选：D.
根据题意，分析函数的周期，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：对于A选项，g(x)=2sin(2x+2π3+π3)=2sin(2x+π)=−2sin2x，
由于g(x)的定义域为R，且g(−x)=−2sin(−2x)=sin2x=−g(x)，
故g(x)为奇函数，故A错误；
对于B选项，由选项A可知g(x)=−2sin2x，故g(x)的图象的对称轴为2x=π2+kπ,(k∈Z)，即x=π4+kπ2,(k∈Z)，
令k=−1可得x=−π4，即g(x)的图象关于直线x=−π4对称，故B正确；
对于C选项，x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，其中y=−sinz在z∈[0,π]上不单调，
故g(x)=−2sin2x在x∈[0,π2]上不单调，故C错误；
对于D选项，g(x)≤0，则sin2x≥0，则2x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，
故x∈[kπ,kπ+π2],k∈Z，D错误．
故选：B.
对于A选项，由函数的平移变换得到的解析式，可判断出奇偶性；B选项，由A选项求出的解析式求解对称轴可判断；C选项，整体代入法判断函数的单调性；D选项，由g(x)≤0得到sin2x≥0，即可求出不等式的解集．
本题考查的知识点：三角函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意，f′(x)=−x2+x+2=−(x−2)(x+1)，
故f(x)在(−∞,−1)和(2,+∞)上单调递减，在(−1.2)上单调递增，
若函数f(x)=−13x3+12x2+2x+1在区间(m−1,m+5)上单调，则m+5≤−1或m−1≥2或m−1≥−1m+5≤2，
解得m≤−6或m≥3.
故选：A.
先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：因为a2+b2=2026c2，由余弦定理可得：a2+b2=c2+2abcsC，
可得2025c2=2abcsC，
由正弦定理可得2025sin2C=2sinAsinCcsC，
所以2tanAtanBtanC(tanA+tanB)=2sinAsinBcsAcsBsinCcsC⋅(sinAcsA+sinBcsB)=2sinAsinBcsCsinCsin(A+B)=2sinAsinBcsCsin2C=2025sin2Csin2C=2025.
故选：C.
由题意及余弦定理，正弦定理可得2025sin2C=2sinAsinCcsC，由正切的化简可得答案．
本题考查正弦定理，余弦定理及正切化为正余弦的应用，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：如图，分别取BC，CD的中点O，E，连接AE，BE，
由AP⋅CD=0，可知AP⊥CD，
又在正四面体ABCD中，易知CD⊥平面ABE，
∴点P在平面ABE内①，
又PB⋅PC=0，∴PB⊥PC，
∴点P在以BC为直径的球O的球面上②，
综合①②可得点P在球O被平面ABE所截的截面小圆上，
又CE⊥平面ABE，过O作OF//BE，且OF∩BE=F，
∴OF⊥平面ABE，且|OF|=12|CE|=1，又球O半径R=2，
设截面小圆的半径为r，
则r= R2−|OF|2= 4−1= 3，
∴截面小圆的周长为2πr=2 3π，
即点P的轨迹长为2 3π.
故选：D.
作出图形，分别取BC，CD的中点O，E，根据题意可得P在球O被平面ABE所截的截面小圆上，再根据球的几何性质，即可求解．
本题考查动点轨迹问题，球的几何性质，属中档题．
12.【答案】D
【解析】解：抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F为(p2,0)，准线方程为x=−p2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为y=k(x−p2)，k0，f(x)单调递增；
当x∈(a+1,+∞)时，f′(x)12，所以h(12)=(14−a)ln12−18+a=(a−14)ln2−18+a>0，
h′(x)=2(x−a)⋅lnx，
则令h′(x)=2(x−a)⋅lnx=0，得x1=1，x2=a，
①当a>1时，x∈(12,1),h′(x)>0，h(x)单调递增；x∈(1,a)，h′(x)0，h(x)单调递增，
所以y=h(x)在x=1处取到极大值h(1)=−12+2a>0，在x=a处取到极小值h(a)=a2(32−lna)，
要使y=h(x)有2个零点，须h(a)=a2(32−lna)e32，
②当a=1时，x∈[12,+∞),h′(x)≥0,h(x)单调递增，所以h(x)至多一个零点，不合题意，
③当12h(12)，
要使y=h(x)有2个零点，须h(1)=−12+2a