2024年陕西省榆林市高考数学四模试卷（文科）(含详细答案解析)

这是一份2024年陕西省榆林市高考数学四模试卷（文科）(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数z满足z⋅(i−1)=2i(其中i为虚数单位)，则z等于( )
A. 1−iB. 1+iC. −1+iD. −1−i
2.已知csθ=−45，θ∈(0,π)，则cs(π2−θ)=( )
A. 35B. 45C. −35D. −34
3.设F1，F2是双曲线C:x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若△PQF2是正三角形，则|PF1|=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
4.设全集为Z，集合A={x|x=2k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+1,k∈Z}，则( )
A. A∩B=⌀B. A∪B=AC. (∁ZA)⊇BD. (∁ZA)∩B≠⌀
5.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明⋅《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365，一年后“进步”的是“退步”的()365≈1481倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)( )
A. 10天B. 11天C. 12天D. 13天
6.直线y=x−1过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.已知a为实数，则“a+1a≥2”是“0A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为( )
A. 18
B. 38
C. 516
D. 332
9.方程lgx−|sin2x|=0在(0,3π)内实数根的个数为( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BC1的中点，则( )
A. EF//BDB. FD1//平面BCE
C. EF⊥BC1D. AF⊥平面BCC1B1
11.如图，△ABC是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将△ABC折叠，形成三棱锥A−BCD.当二面角B−AD−C为直二面角时，三棱锥A−BCD外接球的表面积为( )
A. 5πB. 20πC. 5 5π6D. 20 5π3
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)，g(x)在[0,+∞)上单调递减，则( )
A. f(f(x))是偶函数B. f(g(x))是奇函数
C. f(f(−1))g(f(−2))
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|2a−b|= 13，则cs=______.
14.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为14，乙获胜的概率为34，则乙获得冠军的概率为______.
15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin(B−A)= 34，2b2−2a2=c2，则sinC=______.
16.已知过点(0,a)可作三条直线与曲线f(x)=x33−x2+1相切，则实数a的取值范围为______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且a2a3=a1a8，S7=−49.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{2an(2n+1)}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，PA=AB=2.
(Ⅰ)求证：BD⊥PC；
(Ⅱ)求点E到平面PBD的距离.
19.(本小题12分)
为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导.根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下.
(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？
附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn).其回归直线方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−，线性相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2，参考数据： 10≈3.16.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=(ax2+x+1)e−x，其中a>0.
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)若∀x∈[−1,1]，f(x)≥1，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为 3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设b>1，是否存在x轴上的定点P，使得△PMN的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=4λ1+λy=21+λ(λ为参数，λ≠−1)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为:ρ2=43sin2θ+1.
(Ⅰ)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(Ⅱ)在曲线C1和曲线C2上分别取点P，Q，求|PQ|的最小值.
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x−2|+|2x+4|.
(Ⅰ)解不等式f(x)≤7；
(Ⅱ)若正数a，b，c满足a+b+c=1，证明f(x)≥| a+ b+ 2c|2+|x+2|.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z⋅(i−1)=2i，
∴z(i−1)(−i−1)=2i(−i−1)，
∴2z=−2(−1+i)，
∴z=1−i.
故选：A.
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为csθ=−45，θ∈(0,π)，可得sinθ= 1−cs2θ=35.
故cs(π2−θ)=sinθ=35.
故选：A.
根据同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
本题主要考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：F1，F2是双曲线C:x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，
根据双曲线定义有|QF1|−|QF2|=4，
又|QF1|=|PF1|+|PQ|，|QF2|=|PQ|，故|PF1|=4.
故选：B.
根据双曲线定义有|QF1|−|QF2|=4，由△PQF2是正三角形即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为全集为Z，集合A={x|x=2k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+1,k∈Z}，
由7∈A∩B，可得A选项错误；
由4∈B且4∉A，可得B选项错误；
由7∈B且7∉(∁xA)，可得C选项错误；
由10∈(∁xA)∩B，可得D选项正确．
故选：D.
由已知结合元素与集合的关系及集合的基本运算，基本包含关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了元素与集合，集合与集合关系的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设经过n天后，“进步“的是“退步”的100倍，
根据题意知，100×(1−20%)n=(1+20%)n，即(1.20.8)n=100，
两边取对数，得，即n(lg3−lg2)=2，
解得n=2lg3−lg2≈20.477−0.301≈11.36，
即要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过12天．
故选：C.
设经过n天后，“进步“的是“退步”的100倍，根据题意列方程，求解即可．
本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线中的弦长问题，属于中档题．
根据已知条件，结合抛物线的性质，可求得p=2，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解．
【解答】
解：由题知，抛物线的焦点F坐标为(p2,0)，
∵直线y=x−1过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，
∴0=p2−1，解得p=2，
∴抛物线方程为y2=4x，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线与抛物线方程y2=4xy=x−1，
化简整理可得，x2−6x+1=0，
∴x1+x2=6，
∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
故选D.
7.【答案】B
【解析】解：取a=2时a+1a=52≥2成立，故充分性不成立；
当0所以“a+1a≥2”是“0故选：B.
a=2时得出a+1a≥2成立，即充分性不成立；0本题考查了充分条件和必要条件的定义，基本不等式的应用，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设小正方形边长为1，可得黑色平行四边形底为 2，高为 22，
黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2 2，即大正方形边长为2 2，
所以种子落入黑色平行四边形区域的概率为 2× 22(2 2)2=18.
故选：A.
设小正方形边长为1，求出大正方形的边长，以及黑色平行四边形的底和高，再结合几何概型的概率公式求解．
本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：因为lgx−|sin2x|=0，
所以lgx=|sin2x|，
将问题转化y=lgx和y=|sin2x|的图象在(0,3π)内的交点个数，
因为x∈(0,3π)，
所以2x∈(0,6π)，
作出y=lgx和y=|sin2x|的图象，如图所示：
因为lg10=1，|sin(2×10)|=|sin(20)|<1，
由此可得两函数共有11个交点，
所以方程lgx−|sin2x|=0在(0,3π)内共有11个解．
故选：A.
将问题转化y=lgx和y=|sin2x|的图象在(0,3π)内的交点个数，作出两函数的图象，结合图象即可得答案．
本题考查了三角函数、对数函数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：由图可知EF与BD互为异面直线不可能平行，选项A错误．
设BB1与CC1的中点分别为G，H，则BC//GH，
BE//GD1，又BE∩BC=B，故平面BCE//平面GHD1
又FD1⊂平面GHD1，故FD1//平面BCE，选项B正确．
在△EBC1中，BE≠EC1，BF=FC，故EF与BC1不可能垂直，
C选项错误．
易知AB⊥平面BCC1B1，又AB∩AF=A，故D选项错误．
故选：B.
根据线线的位置关系可判断A，C项，根据面面平行的判定定理可判断B项，根据线面垂直的定义可判断D项．
本题考查线面的位置关系，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：如图所示，
折叠前，由于△ABC为等边三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，
折叠后，则有AD⊥CD，AD⊥BD，∵BD∩CD=D，∴AD⊥平面BCD，
∵二面角B−AD−C为直二面角，AD⊥BD，AD⊥CD，
则二面角B−AD−C的平面角为∠BDC=90∘，且BD=CD=12×4=2,AD=ABsin60∘=2 3，
Rt△BCD的外接圆直径为BC= BD2+CD2=2 2，
所以三棱锥A−BCD的外接球半径为R= (AD2)2+(BC2)2= 5，
因此三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4πR2=20π.
故选：B.
先证明AD⊥平面BCD，利用二面角的定义得知∠BDC=90∘，利用勾股定理可得出△BCD的外接圆直径为BC，设R为三棱锥A−BCD的外接球的半径，得R= (AD2)2+(BC2)2，再利用球体表面积公式可得出答案．
本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查二面角的定义，同时也考查直线与平面垂直的判定定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由f(f(−x))=f(−f(x))=−f(f(x))，得f(f(x))是奇函数，
由f(g(−x))=f(g(x))，得f(g(x))为偶函数，故A，B选项均错误．
由题易知函数f(x)在R上单调递减，函数g(x)在(−∞,0)上单调递增，
由−1>−2，得f(−1)f(f(−2))，即C选项错误．
由0=f(0)g(f(−2))，即D选项正确．
故选：D.
由已知结合函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断及应用，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】解：由|a|=2，|b|=1，
可得|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2
= 4×4−4×2×1×cs+1= 13，
解得cs=12.
故答案为：12.
由平面向量的模长公式，结合数量积运算即可求得．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
14.【答案】2732
【解析】解：若两局决出冠军，则乙获得冠军的概率为：
p1=34×34=916；
若三局决出冠军，则乙获得冠军的概率为：
p2=14×34×34+34×14×34=932.
故所求概率为916+932=2732.
故答案为：2732.
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 32
【解析】解：三角形中，由余弦定理可得：b2+c2−a2=2bccsA，a2+c2−b2=2accsB，
两式相减可得：2b2−2a2=2bccsA−2accsB=c2，
即2bcsA−2acsB=c，
由正弦定理可得：2sinBcsA−2sinAcsB=2sin(B−A)=sinC，
又因为sin(B−A)= 34.
可得sinC= 32.
故答案为： 32.
在三角形中由余弦定理可得：b2+c2−a2=2bccsA，a2+c2−b2=2accsB，由题意作差可得即2bcsA−2acsB=c，再由正弦定理可得2sin(B−A)=sinC，再由题意可得sinC的值．
本题考查余弦定理的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
16.【答案】(1,43)
【解析】解：f′(x)=x2−2x，设点(x1,f(x1))为曲线y=f(x)的切点，
则切线方程为y−f(x1)=(x12−2x1)(x−x1)，即y=(x12−2x1)x−23x13+x12+1，
又点(0,a)在该切线上，
则a=−23x13+x12+1.
令g(x)=−23x3+x2+1，则g′(x)=−2x2+2x=2x(1−x)，
∴当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当00，g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
又g(0)=1，g(1)=43，
∴当1即当1即过点(0,a)可作三条直线与曲线f(x)=x33−x2+1相切．
故答案为：(1,43).
对函数f(x)求导，设出切点，表示出切线方程，根据题意可得a=−23x13+x12+1有三个不同的根，令g(x)=−23x3+x2+1，利用导数研究函数g(x)的性质即可得出答案．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a2a3=a1a8，S7=−49，
可得(a1+d)(a1+2d)=a1(a1+7d)，7a1+21d=−49，
即为d=2a1，a1+3d=−7，
解得a1=−1，d=−2，
则an=−1−2(n−1)=1−2n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an=1−2n，
2an(2n+1)=−2(2n−1)(2n+1)=−(12n−1−12n+1)，
则Tn=−(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=−(1−12n+1)=−2n2n+1.
【解析】(Ⅰ)由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
(Ⅱ)由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式、数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又PA∩AC=A，且PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，
∴BD⊥PC.
(Ⅱ)∵E为线段AB的中点，
∴若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为d2，
由题易知PB=PD=BD= 22+22=2 2，
∴S△PBD=12×2 2×2 2× 32=2 3，
∵VP−AED=VA−PED，
即13×(12×2×2)×2=13×2 3×d，
解得d=2 33，
∴点E到平面PBD的距离为d2= 33.
【解析】(Ⅰ)由已知先证BD⊥平面PAC，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
(Ⅱ)根据E为线段AB的中点，则点A到平面PBD的距离为点E到平面PBD的距离的两倍，再利用等体积转换法求解即可．
本题考查线线垂直的判定以及等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知表格中的数据可得x−=2+4+5+6+85=5，y−=300+400+400+400+5005=400，
所以i=15(xi−x−)(yi−y−)=600， i=15(xi−x−)2=2 5， i=15(yi−y−)2=100 2，
∴相关系数r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=6002 5×100 2=3 10≈0.95.
∵|r|>0.75，
∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)由(1)可知i=15(xi−x−)(yi−y−)=600，i=15(xi−x−)2=20，
则b=i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=60020=30，a=400−30×5=250，
∴线性回归方程为y=30x+250.
当液体肥料每亩使用量x=15时，y=30×15+250=700.
所以当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克．
【解析】本题考查样本相关系数，用回归直线方程对总体进行估计，回归直线方程，属于中档题．
(1)由已知结合相关系数公式求解r得结论；
(2)由最小二乘法求得b与a的值，可得线性回归方程，取x=15求解y值得结论．
20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(x2+x+1)e−x，则f′(x)=x(1−x)e−x，
令f′(x)=0，解得x=0或x=1.
所以当x<0时f′(x)<0函数f(x)单调递减；
当00，函数f(x)单调递增；
当x>1时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的极小值为f(0)=1，极大值为f(1)=3e.
(Ⅱ)f′(x)=xe−x(−ax+2a−1)，
①若2−1a=0，即a=12时，f′(x)=−12x2e−x≤0，函数f(x)单调递减，
则f(x)min=f(1)=52e<1，不符合题意．
②若2−1a≠0，令函数g(x)=x(−ax+2a−1)，则g(x)的图象开口向下，且与x轴有两个交点，
令g(x)=0，则x1=0，x2=2−1a，
因为f(0)=1，且∀x∈[−1,1]，f(x)≥1，
所以f(0)=1不可能是函数f(x)的极大值．
则2−1a>0，即a>12.
当2−1a≥1，即a≥1时，
若x∈[−1,0),则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
若x∈(0,1],则f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．
所以f(x)=f(0)=1≥1，符合题意．
当0<2−1a<1，即12若x∈[−1,0),则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
若x∈(0,2−1a)，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
若x∈(2−1a,1],则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
又f(0)=1，故只需f(1)=a+2e≥1即可，解得a≥e−2，所以e−2≤a<1，
综上，a的取值范围为[e−2,+∞).
【解析】(Ⅰ)求导数，f′(x)=x(1−x)e−x，根据单调性可得极值．
(Ⅱ)分别讨论2−1a=0和2−1a≠0，根据单调性和∀x∈[−1,1]，f(x)≥1，可得结果．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为 3，
所以4a=812⋅2bc= 3a2=b2+c2，
解得a=2，b= 3或a=2，b=1，
则椭圆C的方程为x24+y23=1或x24+y2=1；
(Ⅱ)因为b>1，
由(Ⅰ)知，F2(1,0)，
设直线MN的方程为x=my+1(m≠0)，P(t,0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+1x24+y23=1，消去x并整理得(4+3m2)y2+6my−9=0，
由韦达定理得y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，
若△PMN的内心在x轴上，
此时∠MPF2=∠NPF2，
可得kPM+kPN=0，
即y1x1−t+y2x2−t=0，
整理得y1(my2+1−t)+y2(my1+1−t)=0，
即2my1y2+(1−t)(y1+y2)=0，
因为y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，
所以2m(−94+3m2)+(1−t)(−6m4+3m2)=0，
解得t=4，
当直线MN垂直于x轴，即m=0时，显然点P(4,0)也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点P(4,0)，使得△PMN的内心在x轴上．
【解析】(Ⅰ)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆C的方程；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中信息，设出直线MN的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和斜率公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C1的参数方程为x=4λ1+λy=21+λ(λ为参数，λ≠−1)，转换为曲线C1的普通方程为x+2y−4=0(x≠4).
∵曲线C2的极坐标方程为ρ2=43sin2θ+1，
即3ρ2sin2θ+ρ2=4，
根据x=ρcsθy=ρsinθx2+y2=ρ2，转换为3y2+x2+y2=4，
∴.曲线C2的直角坐标方程为x24+y2=1.
(Ⅱ)∵曲线C2的直角坐标方程为x24+y2=1
∴曲线C2的参数方程为x=2csθy=sinθ(θ为参数).
故可设曲线C2上的点Q(2csθ,sinθ)，
∴.点Q到直线C1的距离d=|2csθ+2sinθ−4| 12+22=|2 2sin(θ+π4)−4 5.
当sin(θ+π4)=1，即θ=π4+2kπ(k∈Z)时dmin=4−2 2 5=4 5−2 105，
|PQ|的最小值为4 5−2 105.
【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(Ⅱ)利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=−3x−2,x<−2x+6,−2≤x≤23x+2,x>2，
不等式f(x)≤7，等价于−3x−2≤7x<−2或x+6≤7−2≤x≤2或3x+2≤7x>2，
解得−3≤x<−2或−2≤x≤1，
∴不等式f(x)≤7的解集为{x|−3≤x≤1}；
(Ⅱ)证明：∵f(x)=|x−2|+|2x+4|=|x−2|+2|x+2|，
∴不等式f(x)≥| a+ b+ 2c|2+|x+2|等价于|x−2|+|x+2|≥| a+ b+ 2c|2，
又|x−2|+|x+2|≥4，
∴只需证4≥| a+ b+ 2c|2即可．
又正数a，b，c满足a+b+c=1，
∴4(a+b+c)=[12+12+( 2)2][( a)2+( b)2+( c)2]≥| a+ b+ 2c|2，
4≥| a+ b+ 2c|2，当且仅当a=b=14c=12时，等号成立．
∴f(x)≥| a+ b+ 2c|2+|x+2|.
【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论求解即可；
(Ⅱ)利用分析法结合柯西不等式即可得证．
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．x(千克)
2
4
5
6
8
y(千克)
300
400
400
400
500