2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷(含详细答案解析)

这是一份2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={sinπ2,e−ln3}，B={−3,−1,0,13,1}，则A∩B=( )
A. {−3,1}B. {13,1}C. {−3,0}D. {0,13}
2.5名应届高中毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所高校，则不同的报名方法种数是( )
A. 35B. 53C. A53D. C53
3.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为( )
A. 79160B. 35C. 2132D. 58
4.已知i为虚数单位，复数z=a+bi，a，b∈R且满足|z−i|= 2，求点Z(a,b)到直线y=x+3距离的最大值为( )
A. 0B. 2 2−2C. 2D. 2 2
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48，lg7≈0.85)( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知a,b,c为不共线的平面向量，|b|=|c|，若a+b+c=0，则b在a方向上的投影向量为( )
A. 14aB. −14aC. 12aD. −12a
7.已知g(x)=x3f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，若关于实数m的不等式f(lg2m)+f(lg0.5m)≥2f(3)恒成立，则m的取值范围是( )
A. (0,13]B. [8,+∞)C. (0,13]∪[8,+∞)D. (0,18]∪[8,+∞)
8.已知函数f(x)=(x−1)ex,x<1−x2+4x−3,x≥1，g(x)=2(f(x))2+af(x)+1+a.若g(x)有5个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (−32,−1)B. (−32,−1]C. [−32,−1]D. [−32,−1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是( )
A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的下四分位数为9
B. 若随机变量X∼B(100,p)，且E(X)=20，则D(X)=16
C. 若随机变量X∼N(μ,σ2)，且P(X>4)=P(X<−2)=p，则P(−2≤X≤1)=12−p
D. 对一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯(xn,yn)，进行分析，由此得到的线性回归方程为：y =b x+a ，至少有一个数据点在回归直线上
10.已知(−π6,0)为函数f(x)=asin2x+cs2x的一个对称中心，则( )
A. a= 3B. 函数y=f(x−π6)为奇函数
C. 曲线y=f(x)关于x=7π12对称D. 函数y=f(x)在(−5π12,π12)单调递增
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥B1−C1D1P的体积为定值
B. 存在点P，使得D1P⊥AC1
C. 若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 2
D. 若点P是AD的中点，点Q是BB1的中点，过P，Q作平面α⊥平面ACC1A1，则平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为3 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2,−1)在终边上，则cs2α=______
.
13.已知(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，则a3=______.(用数字作答)
14.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=4x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=3|MF|，则直线OM的斜率的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设n∈N*，若数列{an}的前n项和为Sn，且an是2与Sn的等差中项；
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若{an⋅bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题.第二轮答题从B类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止.A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得20分，答错不扣分.以两轮总分和决定优胜者.总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖.某班小张同学A类题中有5道会做，B类5题中，每题答对的概率均为35，且各题答对与否互不影响.
(Ⅰ)求小张同学被终止比赛的概率；
(Ⅱ)现已知小张同学第一轮中回答的A类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分X的分布列及期望；
(Ⅲ)求小张同学获得三等奖的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13.
(Ⅰ)求证：AE⊥平面PCD；
(Ⅱ)求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.
(Ⅲ)设点G在PB上，且PGPB=34.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为y= 33x，如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接AO并延长交双曲线左支于点P，连接PF1与PF2，其中l垂直于∠F1PF2的平分线m，垂足为D.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程；
(Ⅱ)求证：直线m与直线OA的斜率之积为定值；
(Ⅲ)求S△APBS△APD的最小值.
19.(本小题17分)
设f(x)=ax2+csx−1，a∈R.
(1)当a=1π时，求函数f(x)的最小值；
(2)当a≥12时.证明：f(x)≥0；
(3)证明：cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43(n∈N*,n>1).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为sinπ2=1，e−ln3=eln13=13，
所以A={sinπ2,e−ln3}={1,13}，
因为B={−3,−1,0,13,1}，
所以A∩B={13,1}.
故选：B.
求出集合A，再求交集即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，
根据题意，5个人，每人都有3种不同的选法，
则有3×3×3×3×3=35种，
故选：A.
根据题意，5个人，每人都有3种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列的应用，解题时要首先分析题意，明确时排列，还是组合问题．
3.【答案】C
【解析】解：设事件A表示“考生答对”，设事件B表示“考生选到有思路的题”．
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
P(A)=P(B)P(A|B)+P(B−)P(A|B−)=58×0.9+38×0.25=2132.
故选：C.
利用全概率公式求解即可．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：z=a+bi，|z−i|= 2，
则|a+(b−1)i|= 2，即a2+(b−1)2=2，圆心为(0,1)，半径为r= 2，
圆心(0,1)到直线x−y+3=0的距离d=|0−1+3| 1+1= 2，
故点Z(a,b)到直线y=x+3距离的最大值为d+r= 2+ 2=2 2.
故选：D.
结合复数模公式，求出圆心、半径，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设此人至少经过x个小时才能驾驶，
则有0.6×(1−0.3)x<0.2，
即0.7x<13，
所以x>lg0.713=lg13lg0.7=−lg3lg7−1=lg31−lg7≈0.481−0.85=3.2(小时)，
所以此人至少要4小时后才能驾驶．
故选：D.
设此人至少经过x个小时才能驾驶，则有0.6×(1−0.3)x<0.2，求解后取整数即可．
本题考查了对数的基本运算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由于a+b+c=0，如图所示，
因为|b|=|c|，由平行四边形法则，平行四边形为菱形，
菱形对角线垂直平分，则b在a方向上的投影向量为−12a.
故选：D.
根据平行四边形法则可找到b在a方向上的投影向量的位置，由此可计算．
本题考查投影向量的计算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为g(x)=x3f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)是偶函数，f(lg0.5m)=f(−lg2m)=f(lg2m)，
所以f(lg2m)+f(lg0.5m)≥2f(3)可化为：
f(lg2m)≥f(3)，又f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上递增，
所以|lg2m|≥3，即lg2m≥3或lg2m≤−3，
即m≥8或0故选：D.
根据g(x)=x3f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(x)是偶函数，然后结合单调性构造关于m的不等式求解．
本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知当x<1时，f′(x)=xex，
令f′(x)<0，可得x<0；令f′(x)>0，可得0故f(x)在(−∞,0)上单调递减，f(x)在(0,1)上单调递增，
f(x)min=f(0)=−1，且当x<1时，f(x)<0，
当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于0；
当x≥1时，f(x)=−x2+4x−3图象的对称轴为直线x=2，
f(x)max=f(2)=1.
故作出f(x)的大致图象如图所示．
令t=f(x)，数形结合可知要使g(x)有5个零点，
需使方程at+1+a=0有2个不同的实数根t1，t2且−1①若−1②若−101+a≤02+a+1+a>0，解得−32当a=−1时，方程为2t2−t=0，解得t=0或12，不符合方程2个根的取值范围，舍去．
故实数a的取值范围为(−32,−1).
故选：A.
当x<1时，对f(x)求导，得到f(x)的单调性和最值再结合二次函数的性质画出f(x)的图象，令t=f(x)，将函数的零点个数问题转化为方程根的问题，结合图象求解即可．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：把10次射击成绩从小到大排列为5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.
由10×75%=7.5，可得这组数据的下四分位数为第8个数，等于9，故A正确；
若随机变量X∼B(100,p)，且E(X)=100p=20，则p=0.2，
∴D(X)=100×0.2×0.8=16，故B正确；
若随机变量X∼N(μ,σ2)，且P(X>4)=P(X<−2)=p，则μ=4−22=1，
∴P(−2≤X≤1)=P(1≤X≤3)=12(1−2p)=12−p，故C正确；
对一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯(xn,yn)，进行分析，由此得到的线性回归方程为：y =b x+a ，其中的样本数据可能都不在回归直线上，故D错误．
故选：ABC.
根据百分位数的计算判断A；根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B；根据正态分布的性质判断C；根据线性回归方程的定义判断D.
本题考查了二项分布、百分位数、正态分布和线性回归方程的定义，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为(−π6,0)为函数f(x)=asin2x+cs2x的一个对称中心，
所以f(−π6)=asin2(−π6)+cs2(−π6)=0，
即− 32a+12=0，解得a= 33，故A错误；
所以f(x)= 33sin2x+cs2x=2 33sin(2x+π3)，
y=f(x−π6)=2 33sin(2x−π3+π3)=2 33sin2x，显然为奇函数，故B正确；
f(7π12)=2 33sin(2×7π12+π3)=2 33sin9π6=2 33sin3π2=−2 33，是最小值，
所以曲线y=f(x)关于x=7π12对称，故C正确；
当x∈(−5π12,π12)时，2x+π3∈(−π2,π2)，所以函数y=f(x)在(−5π12,π12)单调递增，故D正确．
故选：BCD.
由已知可求出a的值，即可判断A；求出函数f(x)的解析式，再由正弦函数的性质即可判断BCD.
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由题意及图形可知平面ABCD//平面A1B1C1D1，
所以点P到平面A1B1C1D1距离d为定值．
所以VB1−C1D1P=VP−B1D1C1=13d⋅S△B1D1C1，
又S△B1D1C1为定值，故三棱锥B1−C1D1P的体积为定值．故A正确；
对于B，当P在点C处时，D1C⊥DC1，AD⊥平面DCC1D1，AD⊥CD1.
又DC1∩AD=D.D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1.
所以D1C⊥AC1，故存在点P，使得D1P⊥AC1，故B正确；
对于C，如图有B1D⊥平面D1AC.
理由如下：连接DB，A1D.
由题可得AC⊥DB，AC⊥BB1，
又DB∩BB1=B，DB，BB1⊂平面DBB1，所以AC⊥平面DBB1.
因为DB1⊂平面DBB1，所以AC⊥DB1.
同理可证得AD1⊥DB1，
又AD1∩AC=A，所以B1D⊥平面D1AC，得D1P⊂平面D1AC.
故点P轨迹为平面D1AC与底面ABCD交线，即为线段AC，AC=2 2，故C不正确；
对于D，如图取AB中点为P1，连接PP1.
由题可得DB⊥AC，AA1⊥平面ABCD.
连接BD，因为PP1//DB，PP1⊂平面ABCD，
则PP1⊥AC，PP1⊥AA1.
又AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，
则PP1⊥平面ACC1A1.
又取DD1中点为Q1，则QQ1//DB//PP1，
有P，P1，Q，Q1四点共面．
则平面PP1QQ1即为平面α.
又由两平面平行性质可知，PP1//RR1，PQ1//QR1，P1Q//Q1R，
又P，P1，Q，Q1都是中点，故R是D1C1中点，R1是B1C1中点．
则平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为正六边形，
又正方体棱长为2，则PP1= 2，
故截面面积为6× 34×( 2)2=3 3.故D正确．
故选：ABD.
根据空间几何体的结构特征，结合每个选项的条件计算即可判断每个选项的正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查截面面积的求法，属中档题．
12.【答案】35
【解析】解：角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2,−1)在终边上，
则csα=2 4+1=2 55，∴cs2α=2cs2α−1=35，
故答案为：35.
由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
13.【答案】−80
【解析】解：由二项式定理可得展开式中含x3的项为C53⋅(−2x)3=−80x3，
所以a3=−80.
故答案为：−80.
利用二项式定理求出展开式中含x3的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】 33
【解析】解：根据题意可设P(t24,t)，t>0，M(x,y)，
又F(1,0)，MF=14PF，
∴(1−x,−y)=14(1−t24,−t)，
∴1−x=14(1−t24)−y=−14t，
∴x=34+t216y=t4，∴M(34+t216,t4)，
∴kOM=t434+t216=4tt2+12=4t+12t≤42 12= 33，
当且仅当t=12t，即t=2 3时，等号成立，
∴直线OM的斜率的最大值为 33.
故答案为： 33.
根据题意可设P(t24,t)，t>0，M(x,y)，再根据MF=14PF求出M点坐标，从而得直线OM的斜率关于t的函数，最后利用基本不等式即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，函数思想，基本不等式的应用，属中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)由an是2与Sn的等差中项，可得2an=2+Sn，
当n=1时，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2，
当n≥2时，由2an=2+Sn，可得2an−1=2+Sn−1，
两式相减可得2an−2an−1=2+Sn−2−Sn−1=an，
即为an=2an−1，
可得数列{an}是首项和公比均为2的等比数列，
则an=2n；
(Ⅱ)若{an⋅bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，
则an⋅bn=2+4(n−1)=4n−2，
可得bn=(2n−1)⋅(12)n−1，
数列{bn}的前n项和Tn=1⋅(12)0+3⋅(12)1+...+(2n−1)⋅(12)n−1，
12Tn=1⋅(12)1+3⋅(12)2+...+(2n−1)⋅(12)n，
两式相减可得12Tn=1+1+12+...+(12)n−2−(2n−1)⋅(12)n
=1+1−12n−11−12−(2n−1)⋅(12)n，
化简可得Tn=6−(2n+3)⋅(12)n−1.
【解析】(Ⅰ)由等差数列的中项性质可得2an=2+Sn，由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；
(Ⅱ)由等差数列的通项公式求得an⋅bn=4n−2，可得bn=(2n−1)⋅(12)n−1，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)小张同学被终止比赛的概率为P1=C52C22C74=27；
(Ⅱ)由题意可知，X的所有可能取值为40，60，80，100，
则P(X=40)=(25)3=8125，P(X=60)=C31⋅(35)×(25)2=36125，P(X=80)=C32⋅(35)2×(25)=54125，P(X=100)=(35)3=27125，
所以X的分布列为：
所以E(X)=40×8125+60×36125+80×54125+100×27125=76；
(Ⅲ)设小张同学获得三等奖的概率为P2，
则P2=12C53CC74⋅C32⋅(35)2×25+C54C74⋅C32⋅(35)2×25=54175.
【解析】(Ⅰ)利用古典概型的概率公式求解；
(Ⅱ)由题意可知，X的所有可能取值为40，60，80，100，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解；
(Ⅲ)利用独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】证明：(I)因为PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，则PA⊥CD，
又AD⊥CD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD；
又AE⊂面PAD，
∴CD⊥AE，
∵PA=AD，E为PD中点，
∴AE⊥PD，
∵CD∩PD=D，CD，PD⊂面PCD，
∴AE⊥面PCD；
解：(Ⅱ)过点A作AD的垂线交BC于点M，
因为PA⊥平面ABCD，且AM，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD，
故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)，B(2,−1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
因为E为PD的中点，则E(0,1,1)，所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,−2),AP=(0,0,2)，
又PFPC=13，所以PF=13PC=(23,23,−23)，故AF=AP+PF=(23,23,43)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=0n⋅AF=0，即y+z=023x+23y+43z=0，
令z=1，则y=−1，x=−1，故n=(−1,−1,1)，
又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0)，
所以csθ=|cs|=|n⋅p||n||p|= 33，
面AEF与面PAD夹角的余弦值为 33；
(Ⅲ)直线AG不在平面AEF内，
因为点G在PB上，且PGPB=34，又PB=(2,−1,−2)，故PG=34PB=(32,−34,−32)，
则AG=AP+PG=(0,0,2)+(32,−34,−32)=(32,−34,12)，
由(2)可知，平面AEF的法向量为n=(−1,−1,1)，
所以AG⋅n=−32+34+12≠0，
所以直线AG不在平面AEF内．
【解析】(Ⅰ)利用线面垂直的性质可得PA⊥CD，结合AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理证明即可；
(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PAD及AEF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
(Ⅲ)利用空间向量的坐标运算，求出AG的坐标，由向量的坐标表示，得到AG⋅n≠0，即可判断得到答案．
本题主要考查了垂直关系的应用，空间角的求解及空间位置关系的判断，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为双曲线C的虚轴长为2，
所以2b=2，
解得b=1，
因为双曲线C一条渐近线方程为y= 33x，
所以a= 3，
则双曲线C的标准方程为x23−y2=1；
(Ⅱ)证明：不妨设A(x0,y0)，
因为点A与点P关于原点对称，
所以P(−x0,−y0)，
易知直线m的斜率存在，
不妨设直线m的斜率为k，
记a=(1,k)，
因为直线m为∠F1PF2的平分线，
所以PF1⋅a|PF1|=PF2⋅a|PF2|，
因为A，P两点均在双曲线上，
所以x023−y02=1，
此时x0> 3，
则|PF1|= (−2+x0)2+y02= (−2+x0)2+x023−1=2 33x0− 3，
同理得|PF2|=2 33x0+ 3，
因为PF1=(x0−2,y0)，PF2=(x0+2,y0)，
又PF1⋅a|PF1|=PF2⋅a|PF2|，
所以(x0−2,y0)⋅(1,k)2 33x0− 3=(x0+2,y0)⋅(1,k)2 33x0+ 3，
整理得x0=3ky0，
则kOA⋅k=y0x0⋅k=13，
故直线OA与直线m的斜率之积为定值；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知x0=3ky0，
因为x0>0，y0>0，
所以k>0，
联立x0=3ky0x023−y02=1，
又x0> 3，
解得x0=3k 3k2−1,y0=1 3k2−1，
所以A(3k 3k2−1,1 3k2−1),P(−3k 2k2−1,−1 3k2−1),k> 33，k> 33，
不妨设直线m的方程为y=kx+n，
因为点P在直线m上，
解得n= 3k2−1，
所以直线m的方程为y=kx+ 3k2−1,k> 33，
易知|AD|=|3k2−1 3k2−1+ 3k2−1| k2+1=2 3k2−1 k2+1，
因为直线AB的斜率为−1k，
不妨设直线AB的方程为x=−ky+t，
因为点A在直线AB上，
解得t=4k 3k2−1，
所以直线AB的方程为x=−ky+4k 3k2−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=−ky+4k 3k2−1x23−y2=1，消去x并整理得(k2−3)y2−8k2 3k2−1y+7k2+33k2−1=0，
由韦达定理得y1+y2=8k2(k2−3) 3k2−1,y1y2=7k2+3(k2−3)(3k2−1)，
因为y1y2<0，
所以k2∈(13,3)，
此时|AB|= 1+k2|y1−y2|= 1+k2 (y1+y2)2−4y1y2=6(k2+1)32(3−k2) 3k2−1，
所以S△APBS△APD=|AB||AD|=3(k2+1)2(3−k2)(3k2−1)≥3(k2+1)2(k2+1)2=3，
当且仅当3−k2=3k2−1，即k2=1时，等号成立，
故当k=1时，S△APBS△APD取得最小值，最小值为3.
【解析】(Ⅰ)由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得双曲线的方程；
(Ⅱ)设出A，P两点的坐标，设直线m的斜率为k，记a=(1,k)，根据直线m为∠F1PF2的平分线，得到PF1⋅a|PF1|=PF2⋅a|PF2|，结合弦长公式以及斜率公式进行求证即可；
(Ⅲ)先求出点A，P的坐标，推出直线AB的方程，将直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=ax2+csx−1，a∈R可知，f(x)的定义域为R，
且f(−x)=a(−x)2+cs(−x)−1=ax2+csx−1=f(x)，
所以f(x)为偶函数，下取x≥0，
当a=1π时，f(x)=1πx2+csx−1，则f′(x)=2πx−sinx，
当x>π2时，则f′(x)=2πx−sinx>1−sinx≥0，此时f(x)在(π2,+∞)内单调递增，
当0≤x≤π2时，令g(x)=f′(x)，则g′(x)=2π−csx，显然g′(x)在[0,π2]内单调递增，
因为0<2π<1，所以∃x0∈(0,π2)，使得csx0=2π，
当x∈[0,x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0,π2]时，g′(x)>0；
所以g(x)在[0,x0)上单调递减，在(x0,π2]上单调递增，且g(0)=g(π2)=0，
则f′(x)=g(x)≤0在[0,π2]内恒成立，所以f(x)在[0,π2]内单调递减；
综上，f(x)在[0,π2]内单调递减，在(π2,+∞)内单调递增，
所以f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(π2)=π4−1，
又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在R内的最小值为π4−1.
(2)证明：由(1)可知，f(x)为定义在R上的偶函数，下取x≥0，
由f′(x)=2ax−sinx，令φ(x)=f′(x)=2ax−sinx，
因为a≥12，则φ′(x)=2a−csx≥1−csx≥0，
所以φ(x)在[0,+∞)内单调递增，所以φ(x)≥φ(0)=0，
即f′(x)≥0在[0,+∞)内恒成立，所以f(x)在[0,+∞)内单调递增，
所以f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(0)=0，
结合偶函数性质可知，f(x)≥0.
(3)证明：由(2)可知，当a=1时，f(x)=x2+csx−1≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
即csx≥1−x2，令x=1n,n≥2,n∈N*，则cs1n>1−1n2，
当n=2时，cs12>1−122=34>23=2−43，不等式成立；
当n≥3时，cs1n>1−1n2=1−44n2>1−44n2−1=1−2(12n−1−12n+1)，
即cs1n>1−2(12n−1−12n+1)，
则cs12>1−2(13−15),cs13>1−2(15−17),⋯,cs1n>1−2(12n−1−12n+1)，
相加，可得cs12+cs13+⋯+cs1n>(n−1)−2(13−12n+1)=n−43−2n−53(2n+1)，
因为n≥3，所以2n−53(2n+1)>0，所以cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43，
综上，cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43(n∈N*,n>1).
【解析】(1)由题意可知，f(x)为偶函数，则仅需研究x≥0的部分，求导，分x>π2和0≤x<π2两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；
(2)由题意可知，f(x)为偶函数，则仅需研究x≥0的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，再证明f(x)≥0即可；
(3)由(2)，可得cs1n>1−1n2(n≥2)，分n=2和n≥3两种情况，结合裂项相消法证明不等式即可；
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明和裂项相消法求和，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．X
40
60
80
100
P
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36125
54125
27125