【新结构】2023-2024学年贵州省黔南州高三下学期第二次模拟统考数学试题（含详细答案解析）

这是一份【新结构】2023-2024学年贵州省黔南州高三下学期第二次模拟统考数学试题（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.n∈N*，数列1，−3，7，−15，31，⋅⋅⋅的一个通项公式为( )
A. an=2n−1csnπB. an=1−2nsinnπ2
C. an=2n−1D. an=−1n1−2n
2.双曲线x2−y24=m(m>0)的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=±12xC. y=±2mxD. y=±12mx
3.若函数fx=csx−π3+φ为偶函数，则φ的值可以是( )
A. 5π6B. 4π3C. πD. π2
4.空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.AQI的数值越大、级别越高，说明空气污染状况越严重.某地区4月1日22时至4月2日5时的AQI整点报告数值为：15，17，20，22，20，23，19，21，则这组数据的第70百分位数是( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
5.已知直线y=x+2k与直线y=−x的交点在圆x2+y2=4的内部，则实数k的取值范围是( )
A. −16.某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是2cm和4cm)铁皮材料，通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为( )
A. 32cmB. 1cmC. 3cmD. 3 32cm
7.我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的1314+1年后是( )
A. 虎年B. 马年C. 龙年D. 羊年
8.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2+y2=b2的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且OA+OF=2OQ(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为( )
A. 53B. 33C. 63D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知非空集合M，N，P均为R的真子集，且MÜNÜP.则( )
A. M∪P=MB. NÜP∩MC. ∁RPÜ∁RND. M∩∁RN=⌀
10.若函数fx是定义域为R的奇函数，且fx+2=−fx，f1=1，则下列说法正确的是( )
A. f3=−1
B. fx的图象关于点2,0中心对称
C. fx的图象关于直线x=1对称
D. f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2023+f2024=1
11.已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为 34a2+c2−b2.则下列说法正确的是( )
A. B=π3
B. A的取值范围为π6,π2
C. 若b= 3，则△ABC的外接圆的半径为2
D. 若a= 3，则△ABC的面积的取值范围为3 38,3 32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.i为虚数单位，若z是以2+i的实部为虚部、以2i+1的虚部为实部的复数，则z的共轭复数的模长为__________.
13.已知四面体A−BCD的四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，∠BDC为直角，且AB=BC= 2CD=2 2，则四面体A−BCD的体积为__________，其外接球的表面积为__________.
14.欧拉函数φn表示不大于正整数n且与n互素(互素：公约数只有1)的正整数的个数.已知φn=n1−1p1⋅⋅⋅1−1p21−1pr，其中p1，p2，…，pr是n的所有不重复的质因数(质因数：因数中的质数).例如φ100=100×1−121−15=40.若数列an是首项为3，公比为2的等比数列，则φa1+φa2+φa3+⋅⋅⋅+φa100=__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F作直线l交抛物线E于A,B两点，D为抛物线E上的动点，且DF的最小值为1.
(1)抛物线E的方程；
(2)若直线l交抛物线E的准线于点C−1,−2，求线段AB的中点的坐标.
16.(本小题15分)
2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A，B两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为12；问题B为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为34，乙能正确回答每道题的概率均为23，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.
(1)求问题A被回答正确的概率；
(2)记正确回答问题B的人数为X，求X的分布列和数学期望.
17.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，EF//AD，AD=3，EF=32，CF=3 3，N是BF的中点，BE与CF交于点M.
(1)证明：AN⊥平面BCEF；
(2)求直线MD和平面ACF所成角的大小.
18.(本小题17分)
已知函数fx=lnx+m−x和gx=ex−x.
(1)若函数fx在点1,f1处的切线与直线2y−3x=0垂直，求fx的单调区间和极值；
(2)当m≤2时，证明：fx的图象恒在gx的图象的下方.
19.(本小题17分)
1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1).此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根(重根按重数计算).对于n次复系数多项式fx=xn+an−1xn−1+⋅⋅⋅+a1x+a0，其中an−1，an−2，⋅⋅⋅,a0∈C，若方程fx=0有n个复根x1,x2,⋅⋅⋅,xn，则有如下的高阶韦达定理：∑ni=1xi=−an−1∑n1≤i(1)在复数域内解方程x2+4=0；
(2)若三次方程x3+ax2+bx+c=0的三个根分别是x1=1−i，x2=1+i，x3=2(i为虚数单位)，求a，b，c的值；
(3)在n≥4的多项式fx=xn+an−1xn−1+⋅⋅⋅+a1x+a0中，已知an−1=−1，a1=−n2a，a0=a，a为非零实数，且方程fx=0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根(用含n的式子表示).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用排除法，取特值检验即可.
【详解】对于选项A：因为a1=2−1csπ=−1≠1，故A错误；
对于选项B：因为a2=1−22sinπ=0≠−3，故B错误；
对于选项C：因为a2=22−1=3≠−3，故C错误；
对于选项D：检验可知对n=1,2,3,4,5均成立，故D正确；
故选：D.
2.【答案】A
【解析】【分析】由双曲线方程可得x2−y24=0，运算求解即可.
【详解】由双曲线x2−y24=m可得x2−y24=0，解得y=±2x，
所以渐近线方程为y=±2x.
故选：A.
3.【答案】B
【解析】【分析】由题意可知：x=0为函数fx的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【详解】由题意可知：x=0为函数fx的对称轴，
则−π3+φ=kπ,k∈Z，则φ=kπ+π3,k∈Z，
对于选项A：令φ=kπ+π3=5π6，解得k=12∉Z，不合题意；
对于选项B：令φ=kπ+π3=4π3，解得k=1∈Z，符合题意；
对于选项C：令φ=kπ+π3=π，解得k=23∉Z，不合题意；
对于选项D：令φ=kπ+π3=π2，解得k=16∉Z，不合题意；
故选：B.
4.【答案】C
【解析】【分析】把数据从小到大排列后计算百分位数，再求出即可.
【详解】把数值从小到大排列为15,17,19,20,20,21,22,23，
由8×70%=5.6，
所以这组数据的第70百分位数是第6个数，即21.
故选：C.
5.【答案】D
【解析】【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.
【详解】联立y=x+2ky=−x，解得y=kx=−k，即点−k,k在圆x2+y2=4的内部，
即有−k2+k2<4，解得− 2故选：D.
6.【答案】C
【解析】【分析】根据圆台的侧面展开图求得r=1R=2l=2，再结合圆台的结构特征分析求解.
【详解】设圆台的上底面半径为rcm，下底面半径为Rcm，母线长为lcm，高为hcm，
由题意可得：2πr=12×2π×22πR=12×2π×4l=2，解得r=1R=2l=2，
所以该圆台的高为h= l2−R−r2= 3cm.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】【分析】借助二项式的展开式计算即可得.
【详解】由1314=12+114=C1401214+C1411213+⋯+C1413121+C1414
=12C1401213+C1411212+⋯+C1413+1，
故1314除以12的余数为1，故1314+1除以12的余数为2，
故1314+1年后是马年.
故选：B.
8.【答案】A
【解析】【分析】根据题意分析可知：AF2⊥AF，AF2=2OQ=2b，根据勾股定理结合椭圆定义可得ba=23，进而可求离心率.
【详解】由题意可知：圆x2+y2=b2的圆心为点O，半径为b，c>b，
设椭圆E的右焦点为F2，连接AF2，
因为OA+OF=2OQ，可知点Q为AF的中点，
且点O为FF2的中点，则OQ//AF2，AF2=2OQ=2b，
由椭圆定义可知：AF=2a−AF2=2a−2b，
因为Q为切点，可知OQ⊥AF，则AF2⊥AF，
可得AF22+AF2=F2F2，即4b2+2a−2b2=4c2=4a2−b2，
解得2a=3b，即ba=23，
所以椭圆E的离心率e=ca= c2a2= 1−ba2= 53.
故选：A.
【点睛】方法点睛：1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解.
【详解】因为MNP，
对于选项A：可知M∪P=P，故A错误；
对于选项B：因为P∩M=M，所以P∩M为N的真子集，故B错误；
对于选项C：可知∁RP为∁RN的真子集，故C正确；
对于选项D：因为∁RN为∁RM的真子集，且M∩∁RM=⌀，
所以M∩∁RN=⌀，故D正确；
故选：CD.
10.【答案】ABC
【解析】【分析】对于A：根据fx+2=−fx，赋值令x=1，即可得结果；对于C：根据fx+2=−fx结合奇函数定义可得fx+2=f−x，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得fx+2+f−x+2=0，即可得结果；对于D：分析可知：4为fx的周期，结合周期性分析求解.
【详解】因为fx+2=−fx，f1=1，
对于选项A：令x=1，可得f3=−f1=−1，故A正确；
对于选项C：因为函数fx是定义域为R的奇函数，则fx=−f−x，
则fx+2=−fx=f−x，所以fx的图象关于直线x=1对称，故C正确；
对于选项B：因为fx+2=f−x，可得f−x+2=fx，
则fx+2=f−x=−fx=−f−x+2，
即fx+2+f−x+2=0，所以fx的图象关于点2,0中心对称，故B正确；
对于选项D：因为fx+2+f−x+2=0，
令x=0，可得2f2=0,f2=f0=0，
令x=1，可得f3+f1=0，
又因为fx+2=−fx，则fx+4=−fx+2=fx，
可知4为fx的周期，可得f2+f4=0，即f1+f2+f3+f4=0，
因为2024=4×506，所以f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2023+f2024=0，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A表示出来，结合A的范围即可得解.
【详解】对A：由题意可得12acsinB= 34a2+c2−b2，由余弦定理可得a2+c2−b2=2accsB，
即有12acsinB= 34×2accsB= 32accsB，即sinB= 3csB，
由B∈0,π2，故tanB= 3，即B=π3，故A正确；
对B：则A∈0,π2，C=π−A−B=23π−A∈0,π2，解得A∈π6,π2，故B正确；
对C：由正弦定理可得2R=bsinB= 3 32=2，即R=1，故C错误；
对D：若a= 3，则S=12acsinB=12× 3c× 32=3c4，
由正弦定理可得asinA=csinC，即c=asinA⋅sinC= 3sinCsinA，
即S=3c4=34× 3sinCsinA=3 34⋅sinA+π3sinA=3 34⋅12sinA+ 32csAsinA
=3 38+98tanA，
由A∈π6,π2，则tanA∈ 33,+∞，故S∈3 38,3 32，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A表示出来，结合A的范围即可得解.
12.【答案】2 2
【解析】【分析】根据复数的实部、虚部的概念可得z=2+2i，再结合共轭复数和模长公式运算求解.
【详解】因为2+i的实部为2，2i+1的虚部为2，
由题意可知：z=2+2i，则z=2−2i，
所以z的共轭复数的模长为z= 22+−22=2 2.
故答案为：2 2.
13.【答案】4 23 ； 16π
【解析】【分析】根据题意求AC,BD，结合锥体的体积公式求四面体A−BCD的体积；取AC的中点O，分析可知四面体A−BCD的外接球的球心即为点O，进而可求外接球的表面积.
【详解】因为∠BDC=π2，且AB=BC= 2CD=2 2，
可得AC= AB2+BC2=4，BD= BC2−CD2=2，
所以四面体A−BCD的体积为VA−BCD=13AB⋅S△BDC=13×2 2×12×2×2=4 23；
取AC的中点O，
因为四面体A−BCD的四个面都为直角三角形，则OA=OB=OC=OD=12AC=2，
可知四面体A−BCD的外接球的球心即为点O，半径R=2，
所以其外接球的表面积为4πR2=16π.
故答案为 ：4 23；16π.
14.【答案】2100
【解析】【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数φn计算即可得解.
【详解】由题意可得an=3×2n−1，则φa1=φ3=3×1−13=2，
当n≥2时，φan=3⋅2n−1×1−121−13=2n−1，
则φa1+φa2+φa3+⋅⋅⋅+φa100=2+21+22+⋯+299=2+21−2991−2=2100.
故答案为：2100.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分n=1及n≥2进行讨论，结合题中公式求φan的通项公式.
15.【答案】(1)
由题意可知：抛物线E的焦点Fp2,0，准线为x=−p2，
设Dx0,y0,x0≥0，则DF=x0+p2≥p2，当且仅当x0=0时，等号成立，
可得p2=1，解得p=2，
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)
由题意可知：直线l与抛物线E必相交(斜率不为0)，
设Ax1,y1,Bx2,y2，线段AB的中点MxM,yM，
且直线l过点C−1,−2和F1,0，
则直线l的方程y−0−2−0=x−1−1−1，即x=y+1，
联立方程x=y+1y2=4x，消去x得y2−4y−4=0，
则y1+y2=4，可知yM=y1+y22=2，
将yM=2代入x=y+1可得xM=yM+1=3，
所以线段AB的中点的坐标为3,2.

【解析】(1)设Dx0,y0,x0≥0，结合抛物线的定义分析可知p=2，即可得方程；
(2)由题意可得直线l过点C−1,−2和F1,0，求直线l的 方程，与抛物线联立，结合韦达定理求中点坐标.
16.【答案】(1)
设“甲抢到问题A”为事件M，“问题A被回答正确”为事件N，
由题意可知：PM=PM=12,PN|M=34,PN|M=23，
由全概率公式可得PN=PN|MPM+PN|MPM=1724
所以问题A被回答正确的概率为1724.
(2)
由题意可知：X的可能取值有：0，1，2，则有：
PX=0=1−341−23=112，
PX=1=1−34×23+34×1−23=512，
PX=2=34×23=12，
所以X的分布列为
期望EX=0×112+1×512+2×12=1712.

【解析】(1)设相应的事件，结合全概率公式运算求解；
(2)由题意可知：X的可能取值有：0，1，2，结合独立事件概率公式求相应的概率，进而可得分布列和期望.
17.【答案】(1)
因为AF⊥平面ABCD，且AC,AD⊂平面ABCD，则AF⊥AC,AF⊥AD，
且AB⊥AD，AF,AB⊂平面ABF，可得AD⊥平面ABF，
由AN⊂平面ABF，则AD⊥AN，
且AD//BC，可得BC⊥AN，
又因为AC=2 2，AF= CF2−AC2=3，
即AB=AF，且N是BF的中点，可得AN⊥BF，
且BC∩BF=B，BC,BF⊂平面BCEF，
所以AN⊥平面BCEF.
(1)
以A为坐标原点，AB,AD,AF为x,y,z轴所在直线，建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,C3,3,0,D0,3,0,F0,0,3，
可得AC=3,3,0,AF=0,0,3,CF=−3,−3,3,DC=3,0,0，
设平面ACF的法向量为n=x,y,z，则n⋅AC=3x+3y=0n⋅AF=3z=0，
令x=1，则y=−1,z=0，可得n=1,−1,0，
因为EF//AD，则FMMC=EFBC=12，可知CM=23CF=−2,−2,2，
则DM=DC+CM=1,−2,2，
可得csDM,n=DM⋅nDM⋅n=33× 2= 22，
设直线MD和平面ACF所成角为θ∈0,π2，则sinθ= 22，可知θ=π4，
所以直线MD和平面ACF所成角为π4.

【解析】(1)根据题意可证AD⊥平面ABF，结合平行关系可得BC⊥AN，根据长度关系可知AB=AF，可得AN⊥BF，即可得线面垂直；
(2)建系，求平面ACF，分析可知CM=23CF，可得DM=1,−2,2，结合空间向量求线面夹角.
18.【答案】(1)
因为fx=lnx+m−x的 定义域为−m,+∞，则f′x=1x+m−1，
且直线2y−3x=0的斜率为32，
由题意可得：−m<1f′1=11+m−1=−23，解得m=2，
此时fx=lnx+2−x的定义域为−2,+∞，f′x=1x+2−1=−x−1x+2，
令f′x>0，解得−2−1；
所以fx的单调递增区间为−2,−1，单调递减区间为−1,+∞，极大值为f−1=1，无极小值.
(2)
构建Fx=ex−lnx+2,x>−2，则F′x=ex−1x+2，
因为y=ex,y=−1x+2在−2,+∞内单调递增，可知F′x在−2,+∞内单调递增，
且F′−1=1e−10,F′0=120，
则F′x在−2,+∞内存在唯一零点x0∈−1,0，
当−2x0，则F′x>0；
可知Fx在−2,x0内单调递减，在x0,+∞内单调递增，
则Fx≥Fx0=ex0−lnx0+2，
又因为F′x0=ex0−1x0+2=0，可得ex0=1x0+2x0+2=e−x0,x0∈−1,0，
则Fx0=1x0+2−lne−x0=1x0+2+x0=x0+12x0+2>0，x0∈−1,0，
即Fx>0，可得ex>lnx+2，
若m≤2，可得lnx+m≤lnx+2可得lnx+m−x所以fx的 图象恒在gx的图象的下方.

【解析】(1)求导，根据导数的几何意义以及垂直关系可得m=2，代入原函数，利用导数判断fx的单调区间和极值；
(2)构建Fx=ex−lnx+2,x>−2，利用导数分析可得Fx>0，进而可得lnx+m方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数hx；
(3)利用导数研究hx的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
19.【答案】(1)
由x2+4=0可得x2=−4，解得x=±2i.
(2)
由题意可知：x1+x2+x3=−ax1x2+x2x3+x1x3=bx1x2x3=−c，
将x1=1−i，x2=1+i，x3=2代入可得4=−a6=b4=−c，
所以a=4,b=6,c=−4.
(3)
设a=a1,a2,⋅⋅⋅,an,b=b1,b2,⋅⋅⋅,bn，a1,a2,⋅⋅⋅,an,b1,b2,⋅⋅⋅,bn>0，
因为a⋅b≤ab，当且仅当a//b时，等号成立，
可得a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn≤ a12+a22+⋅⋅⋅+an2⋅ b12+b22+⋅⋅⋅+bn2，
即a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn≤ a12+a22+⋅⋅⋅+an2⋅ b12+b22+⋅⋅⋅+bn2，
当且仅当a1b1=a2b2=⋅⋅⋅=anbn时，等号成立，
因为方程fx=xn+an−1xn−1+⋅⋅⋅+a1x+a0=0的根恰好全是正实数，
设这n个正根分别为x1,x2,⋅⋅⋅,xn，
且an−1=−1，a1=−n2a，a0=a，
由题意可知：x1+x2+⋅⋅⋅+xn=1x1x2⋅⋅⋅xn−1+x1⋅⋅⋅xn−2xn+⋅⋅⋅+x2x3⋅⋅⋅xn=−1n−1−n2ax1x2⋅⋅⋅xn=−1na，
因为x1+x2+⋅⋅⋅+xn=1，且x1,x2,⋅⋅⋅,xn均为正数，
则1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn=x1+x2+⋅⋅⋅+xn1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn
≥ x1⋅1 x1+ x2⋅1 x2+⋅⋅⋅+ xn⋅1 xn2=n2，
当且仅当1x1=1x2=⋅⋅⋅=1xn=1n时，等号成立，
又因为x1x2⋅⋅⋅xn−1+x1⋅⋅⋅xn−2xn+⋅⋅⋅+x2x3⋅⋅⋅xnx1x2⋅⋅⋅xn=1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn=−1n−1−n2a−1na=n2，
即1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn=n2，
所以1x1=1x2=⋅⋅⋅=1xn=1n.

【解析】(1)根据题意直接解方程即可；
(2)根据题意结合韦达定理分析运算求解；
(3)根据题意结合韦达定理可得x1+x2+⋅⋅⋅+xn=1，结合不等式可得1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn≥n2，由x1x2⋅⋅⋅xn−1+x1⋅⋅⋅xn−2xn+⋅⋅⋅+x2x3⋅⋅⋅xn=−1n−1−n2ax1x2⋅⋅⋅xn=−1na可得1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn=n2，结合不等式成立条件分析求解.
关键点点睛：利用柯西不等式可得则1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn≥n2，当且仅当1x1=1x2=⋅⋅⋅=1xn=1n时，等号成立，注意等号成立的条件分析求解.
X
0
1
2
P
112
512
12