【新结构】2024届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试数学试题（含详细答案解析）

这是一份【新结构】2024届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试数学试题（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点P−3,1是角α终边上一点，则csα=( )
A. − 1010B. 1010C. −3 1010D. 3 1010
2.若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是( )
A. 34,32B. 34,32C. 34,32D. 34,32
3.直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α=β”是“tanα=tanβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设正项等比数列an的前n项和为Sn，a1=1，且−a3，a2，a4成等差数列，则S2024与a2024的关系是( )
A. S2024=2a2024−1B. S2024=2a2024+1
C. S2024=4a2024−3D. S2024=4a2024+1
5.已知过点M(0,4)的动直线l交抛物线C：x2=4y于A，B两点(A,B不重合)，O为坐标原点，则∠AOB( )
A. 一定是锐角B. 一定是直角
C. 一定是钝角D. 是锐角、直角或钝角都有可能
6.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是( )
A. 18B. 36C. 54D. 72
7.下图是一个圆台的侧面展开图，已知BA=12，BD=6且∠ABC=120∘，则该圆台的体积为( )
A. 112 2πB. 7 23πC. 28 23πD. 112 23π
8.设方程3x⋅lg3x=1的两根为x1，x2x1A. 03B. x1>1x2
C. 04
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 若事件A和事件B互斥，PAB=PAPB
B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11
C. 若随机变量ξ∼N(6,σ2)，P(6<ξ≤7)=0.42，则P(ξ>7)=0.1
D. 已知y关于x的回归方程为y=0.3−0.7x，则样本点(3,−4)的残差的绝对值为2.2
10.已知非零函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，且f2+x=f2−x，则( )
A. f1=0
B. 4是函数fx的一个周期
C. fx+1=−f−x−1
D. y=fx在区间0,2024上至少有1012个零点
11.如图，正四棱锥P−ABCD每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M在四边形ABCD内(包含边界)运动，N为PD的中点，则( )
A. 当M为AD的中点时，异面直线MN与PC所成角为π2
B. 当MN//平面PBC时，点M的轨迹长度为2 3
C. 当MP⊥MD时，点M到AB的距离可能为3 22
D. 存在一个体积为5π3的圆柱体可整体放入正四棱锥P−ABCD内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=−1,2，b=m,−4，则a−2b//2a+b，则实数m=__________
13.已知F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PF1=3PF2，则双曲线的离心率为__________
14.如果复数z=x+yix∈R,y∈R，z1=−2，z2=−12，z3=i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，复数z满足z−z1=2z−z2，且Z1Z=λZ1Z2+μZ1Z3λ∈R,μ∈R，则3λ+2μ的最大值为__________
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知在△ABC中， 1−csA2−sinA=0，
(1)求A；
(2)若点D是边BC上一点，BD=2DC，△ABC的面积为 3，求AD的最小值.
16.(本小题12分)
如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1= 3.设点D为A1C1上的一点，过D，A作平面BCC1B1的垂面α，
(1)画出平面α与正三棱柱ABC−A1B1C1表面的交线(保留作图痕迹，不需证明)；
(2)若A1到平面α的距离为 32，求AC与平面α所成角的正弦值.
17.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的 3倍，且椭圆过点P1,32.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角.若点P1,32到直线l的距离为3 55，求直线PM与直线PN的斜率之和.
18.(本小题12分)
已知函数fx=xlnx.
(1)若函数gx=fx−a有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)已知Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3(其中x119.(本小题12分)
甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为12.甲如果第kk∈N*轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为23，如果第k轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为23；乙如果第k轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为13，如果第k轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为13.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有n(n>1,n∈N*)种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为P1，P2，⋯，Pn，则称H=−∑ni=1Pilg2Pi为该条信息的信息熵(单位为比特)，用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H；
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：EY<4.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】由三角函数的定义计算即可.
【详解】点P−3,1到原点的距离为 9+1= 10，
所以由三角函数定义可知csα=−3 10=−3 1010，
故选：C.
2.【答案】A
【解析】【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【详解】由题意可得2m×2−3>02m×1−3≤0，解得34故选：A.
3.【答案】B
【解析】【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“α=β”与“tanα=tanβ”的逻辑关系即可.
【详解】因为直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，
所以α∈0,π,β∈0,π,
若tanα=tanβ，则α=β，
若α=β=π2，则tanα,tanβ都不存在，
所以“α=β”是“tanα=tanβ”的必要不充分条件，
故选：B.
4.【答案】A
【解析】【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出S2024和a2024观察它们之间的关系即可.
【详解】设正项等比数列an的公比为q，q>0
因为−a3，a2，a4成等差数列，所以2a2=−a3+a4，
所以2q=−q2+q3，解得q=2，
所以S2024=a11−q20241−q=22024−1，a2024=a1q2023=22023，
则S2024=2a2024−1.
故选：A.
5.【答案】B
【解析】【分析】设直线l的方程为y=kx+4，联立方程组，利用设而不求法求向量OA,OB的夹角可得结论.
【详解】若直线l的斜率不存在，则直线l与抛物线x2=4y只有一个交点，与已知矛盾，
故可设直线l的方程为y=kx+4，联立x2=4yy=kx+4，化简可得x2−4kx−16=0①，
方程①的判别式Δ=16k2+64>0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=4k,x1x2=−16，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+x124⋅x224=0，
所以OA⊥OB，即∠AOB=π2，
所以∠AOB一定是直角，
故选：B.
6.【答案】B
【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.
【详解】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，
剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有C31A33=18种选择，
若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，
此时有C32C11A33=18种选择，
综上，共有18+18=36种选择.
故选：B
7.【答案】D
【解析】【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.
【详解】设圆台上底面圆半径为r，下底面圆半径为R，母线长为l，高为h，
依题意2πr=6×2π3，2πR=12×2π3，
解得r=2，R=4，
而圆台的母线长l=AD=BA−DA=6，
因此圆台的高h= l2−R−r2=4 2，
所以圆台的体积V=13πr2+πR2+πrRh=13×4π+16π+8π×4 2=112 23π.
故选：D.
8.【答案】C
【解析】【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出0【详解】由3x⋅lg3x=1可得lg3x=13x=13x，
在同一直角坐标系中同时画出函数y=lg3x和y=13x的图象，如图所示：
因为lg31<131=13，lg32=lg32>132=19，
由图象可知，0所以1lg3x1x2=lg3x1+lg3x2=−13x1+13x2，
因为x113x2，所以lg3x1x2<0，
所以0故选：C
9.【答案】BD
【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据正态分布性质判断C；根据残差的定义判断D.
【详解】解：对于A，因为事件 A和事件B互斥，
所以PAB=0，故错误；
对于B，将原数据重新排列为：1，2，4，5，7，11，16，21，共8个数，
8×0.7=5.6，
所以该组数据的第70百分位数即为第6个数11，故正确；
对于C，因为随机变量ξ∼N(6,σ2)，P(6<ξ≤7)=0.42，
所以P(5<ξ≤6)=P(6<ξ≤7)=0.42，
所以P(ξ>7)=0.5−0.42=0.08，故错误；
对于D，因为y关于x的回归方程为y=0.3−0.7x，样本点(3,−4)的残差的绝对值为|e|=|−4−(0.3−0.7×3)|=2.2，故正确.
故选：BD.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】根据题意利用赋值法求得f1=0判断A，利用fx的对称性与奇偶性判断BC，利用fx的周期性判断D.
【详解】对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，
所以f(−x+1)=−f(x+1)，则f(x+2)=−f(−x)，
令x=−1，则f(1)=−f(1)，∴f1=0，故A正确；
对于B，∵f(2+x)=f(2−x)，所以f(x+4)=f(−x)，则f(x+4)=−f(x+2)，
所以f(x+2)=−f(x)，故f(x+4)=−f(x+2)=fx，故B正确；
对于C，假设fx+1=−f−x−1，则fx=−f−x，
又f(x+4)=f(−x)=fx，函数f(x)的定义域为R，
所以f(x)即是奇函数又是偶函数，则f(x)=0恒成立，与题干矛盾，故C错误；
对于D，因为f1=0，f(x+2)=−f(x)，所以f(3)=−f(1)=0，
所以f(x)在0,4上至少有两个零点，
又f(x+4)=fx，即f(x)为周期为4的偶函数，而2024=4×506，
所以fx在区间0,2024上至少有2×506=1012个零点，故D正确.
故选：ABD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】对于AC：建立空间直角坐标系计算求解；对于B：过N作面PBC的平行平面，进而可得点M的轨迹；对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥P−ABCD内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可.
【详解】对于A，因为ABCD为正方形，连接BD与AC，相交于点O，连接OP，
则OD，OC，OP两两垂直，
故以OD,OC,OP为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，
C(2 2,0,0)，A(−2 2,0,0)，D(0,2 2,0)，B(0,−2 2,0)，P(0,0,2 2)，
N为PD的中点，则N(0, 2, 2).
当M为AD的中点时，M(− 2, 2,0)，MN= 2,0, 2，PC=2 2,0,−2 2，
设异面直线MN与PC所成角为θ，
csθ=csMN,PC=MN⋅PCMNPC=4+0−42×4=0，θ∈(0,π2],故θ=π2，A正确；
对于B，设Q为DC的中点，N为PD的中点，则QN//PC，PC⊂平面PBC，QN⊄平面PBC，
则QN//平面PBC，又MN//平面PBC，
MN,QN⊂平面MNQ，又MN∩QN=N，设H∈AB，
故平面MNQ//平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，
平面MNQ∩平面ABCD=QH，则QH//BC，则H为AB的中点，
点M在四边形ABCD内(包含边界)运动，则M∈QH，
点M的轨迹是过点O与BC平行的线段QH，长度为4，B不正确；
对于C，当MP⊥MD时，设M(x,y,0)，MP=(−x,−y,2 2)，MD=(−x,2 2−y,0)，
MP⋅MD=x2+y(y−2 2)=0，得x2+y2−2 2y=0，即x2+(y− 2)2=2，
即点M的轨迹以OD中点K为圆心，半径为 2的圆在四边ABCD内(包含边界)的一段弧(如下图)，
K到AB的距离为3，弧上的点到AB的距离最小值为3− 2，
因为3− 2<3 22，所以存在点M到AB的距离为3 22，C正确；
对于D，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥P−ABCD内接最大圆柱的体积，
设圆柱底面半径为r，高为h，Q为DC的中点，H为BC的中点，HQ=4，PO=2 2，
根据△POH相似△PJW，得JWOH=PJPO，即r2=2 2−h2 2，h= 2(2−r)，
则圆柱体积V=πr2h= 2πr2(2−r)，
设V(r)= 2π(2r2−r3)(0令V′(r)=0得，r=43或r=0，因为0当00，当43即r=43时V有极大值也是最大值，V有最大值32 227π，
32 227−53=96 2−13527= 962×2− 135227= 18432− 1822527>0，故32 227>53
所以存在一个体积为5π3的圆柱体可整体放入正四棱锥P−ABCD内，D正确.
故选：ACD.
方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
(1)立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
(2)对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
(3)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
12.【答案】2
【解析】【分析】根据向量坐标运算求a−2b,2a+b，结合向量平行坐标表示求m.
【详解】因为a=−1,2，b=m,−4，
所以a−2b=−1−2m,10,2a+b=−2+m,0，
因为a−2b//2a+b，
所以−1−2m×0−10×−2+m=0，
解得m=2，
故答案为：2.
13.【答案】 3
【解析】【分析】设过F2与双曲线的一条渐近线y=bax平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可得|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】解：设过F2与双曲线的一条渐近线y=bax平行的直线交双曲线于点P，
由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，
由|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，
由tan∠F1F2P=ba可得cs∠F1F2P=1 1+b2a2=ac，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：
|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2−2|PF2|•|F1F2|cs∠F1F2P，
即有9a2=a2+4c2−2a•2c•ac，
化简可得，c2=3a2，
则双曲线的离心率e=ca= 3.
故答案为 3.
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
14.【答案】4+2 2
【解析】【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件z−z1=2z−z2进行变形，得到x2+y2=1，由此可以证明x−y≤ 2.之后再使用向量的坐标运算将3λ+2μ表示为关于x,y的表达式，利用x−y≤ 2即可证明3λ+2μ≤4+2 2，最后给出一个3λ+2μ=4+2 2的例子即可说明3λ+2μ的最大值是4+2 2.
【详解】由z=x+yi，z1=−2，z2=−12，z3=i，知Zx,y，Z1−2,0，Z2−12,0，Z30,1，从而Z1Z=x+2,y，Z1Z2=32,0，Z1Z3=2,1.
由于z−z12=ZZ12=x+22+y2，z−z22=ZZ22=x+122+y2，故条件z−z1=2z−z2即为x+22+y2=4x+122+y2，展开得到x2+4x+4+y2=4x2+4x+4y2+1，再化简得3x2+3y2=3，所以x2+y2=1，故我们有x−y2≤x−y2+x+y2=x2+y2−2xy+x2+y2+2xy=2x2+y2=2，从而x−y≤x−y= x−y2≤ 2.
由于Z1Z=λZ1Z2+μZ1Z3，Z1Z=x+2,y，Z1Z2=32,0，Z1Z3=2,1，故x+2,y=3λ2+2μ,μ，从而3λ+2μ=23λ2+2μ−2μ=2x+2−2y=4+2x−y≤4+2 2.
经验证，当x= 22，y=− 22时，条件满足.此时3λ+2μ=4+2x−y=4+2 2.
所以3λ+2μ的最大值是4+2 2.
故答案为：4+2 2.
关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度.另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点M,N的距离之比恒为常数c∈0,1∪1,+∞的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于M,N的阿波罗尼斯圆.使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论.
15.【答案】解：(1)
因为 1−csA2−sinA=0，所以 sin2A2=sinA，
因为00，则sinA2=2sinA2csA2，故csA2=12，
所以A2=π3，A=2π3，
(2)
因为BD=2DC，则BD=2DC，
所以AD−AB=2AC−AD，故AD=13AB+23AC，
因为△ABC的面积为 3，所以12bcsinA= 3，所以bc=4
|AD|2=13AB+23AC2=19c2+49b2+49AB⋅AC
=19c2+49b2−29bc≥49bc−29bc=89
上式当且仅当c=2b，即c=2 2，b= 2时取得“=”号，
所以AD的最小值是2 23.

【解析】【分析】(1)由二倍角的正弦公式，降幂公式，结合三角函数值求出即可；
(2)由向量的加法得到AD=13AB+23AC，再利用三角形面积公式得到bc=4，然后由向量的模长计算结合基本不等式求出结果即可.
16.【答案】解：(1)
记BC，B1C1的中点分别为O,O1，过点D作DE//A1O1，交B1C1于点E，
连接AO,OE，易知AO//A1O1，所以DE//AO，所以平面AOC1D即为α.
由正三棱柱的的性质可知，AO⊥BC，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，
且平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1，
又AO⊂平面AOC1D，所以平面α⊥平面BCC1B1.
(2)
如图，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A12 3,0, 3,C10,−2, 3,A2 3,0,0，
所以A1C1=−2 3,−2,0,OA=2 3,0,0,AA1=0,0, 3，
设A1D=λA1C1，则点的D坐标为(2 3(1−λ),−2λ, 3)，
所以AD=(−2 3λ,−2λ, 3).
设平面α的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅OA=2 3x=0n⋅AD=−2 3λx−2λy+ 3z=0，
所以x=0，−2λy+ 3z=0，
令y= 3，则z=2λ，所以n=(0, 3,2λ)，
所以A1到平面α的距离d=AA1⋅nn=2 3λ 3+4λ2= 32，解得λ=12，
因为AC//A1D，AC与平面α所成角θ等于A1D与平面α所成角，
所以sinθ=dA1D= 322= 34.

【解析】【分析】(1)记BC，B1C1的中点分别为O,O1，过点D作DE//A1O1，交B1C1于点E，连接AO,OE，平面AOC1D即为α；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法由A1到平面α的距离为 32确定点D位置，然后由线面角的定义求解可得.
17.【答案】解：(1)
椭圆C上的点到F的最大距离为a+c，由题意知a+c= 3b，
平方得a2+2ac+c2=3b2，由a2=b2+c2，得a2+2ac+c2=3a2−3c2，
化简得a=2c，所以b= 3c，
又因为椭圆过点P1,32，所以1a2+94b2=1
所以14c2+912c2=1，解得c=1.
所以a=2，b= 3，即C的方程为x24+y23=1.
(2)
设直线l的方程为x=my+1，m>0.
由点P1,32到直线l与的距离为3 55，得32m 1+m2=3 55，解得m=2.
联立x=2y+1x24+y23=1，整理得16y2+12y−9=0.
设Mx1,y1，Nx2,y2，则y1+y2=−34，y1y2=−916，
所以直线PM与直线PN的斜率的和为
y1−32x1−1+y2−32x2−1=y1−322y1+y2−322y2=1−34⋅y1+y2y1y2=0.

【解析】【分析】(1)由题意可得a+c= 3b，又因为椭圆过点P1,32，则1a2+94b2=1，解方程可求出a,b，即可求出椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为x=my+1，由点P1,32到直线的l距离可求出m=2，再联立直线和椭圆的方程，设Mx1,y1，Nx2,y2，得到y1+y2，y1y2，表示出直线 PM与直线PN的斜率，将y1+y2，y1y2代入即可得出答案.
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18.【答案】解：(1)
令gx=0，由题设知方程fx=a有两个实数根，
因为f′(x)=lnx+1，由f′(x)=lnx+1=0，得x=1e，
所以，
当0当x>1时f(x)>0，f(1)=0且x→+∞时f(x)→+∞，
所以当−1e即gx=fx−a有两个不同的零点.
(2)
因为x11，
则x2=x1q，x3=x1q2，
直线AC的斜率kAC=y3−y1x3−x1=x3lnx3−x1lnx1x3−x1=q2lnx1+2lnq−lnx1q2−1=lnx1+2q2lnqq2−1，
函数y=fx在点B处的切线斜率kB=f′x2=lnx2+1=lnx1+lnq+1，
假设直线AC与函数y=fx在点B处的切线平行，则kAC=kB，整理成lnq−q2−1q2+1=0，
令g(x)=lnx−x2−1x2+1，(x>1)，则g′(x)=1x−4xx2+12=x2−12x2+12≥0，
所以g(x)=lnx−x2−1x2+1在(1,+∞)单调递增，所以gx>g1=0，
所以lnq−q2−1q2+1=0在q>1时无实数解，所以直线AC与函数y=fx在点B处的切线不能平行.

【解析】【分析】(1)根据fx的单调区间和极值情况，函数gx=fx−a有两个零点，即y=fx与y=a有两个不同的交点，得到实数a的取值范围；
(2)由已知，x1，x2，x3成等比数列，用x1和公比为q表示出直线AC和点B处的切线斜率，再利用导函数得到其单调性，判断出当斜率相等时，关于q的方程无解，得出结论.
关键点点睛：第二问的关键是根据斜率关系式得到lnq−q2−1q2+1=0，再利用导函数得到其单调性，得到结论.
19.【答案】解：(1)
设Ai=“甲在第i轮活动中猜对成语”，Bi=“乙在第i轮活动中猜对成语”，
Ci=“甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，(i=1,2)，
则PC2=PA1A2PB1B2+PA1A2PB1B2+PA1A2PB1B2+PA1A2PB1B2
=12×23×12×13+12×13×12×13+12×23×12×23+12×13×12×23=14
故PC1∣C2=PC1C2PC2=11814=29
(2)
由题意知X=0，1，2，
由(1)知P(X=2)=14，
P(X=0)=12×23+12×13×12×23+12×13=14，P(X=1)=1−14−14=12
故X的信息熵H=−14lg214+12lg212+14lg214=32
(3)
第二轮甲猜对的概率为PA2=PA1A2+PA1A2=12×23+12×13=12，
第二轮乙猜对的概率为PB2=PB1B2+PB1B2=12×13+12×23=12，
所以PAn=12，PBn=12，
每一轮甲乙都猜错的概率为12×12=14，
因此P(Y=i)=34i−1×14，(i=1,2,⋯,n,⋯)
则E(Y)=1⋅340⋅14+2⋅341⋅14+⋯+n⋅34n−1⋅14+⋯①
所以34E(Y)=1⋅341⋅14+2⋅342⋅14+⋯+n⋅34n⋅14+⋯，②
①-②得14EY<14+341⋅14+342⋅14+⋯=1−34n<1，
所以EY<4.

【解析】【分析】(1)根据全概率公式即可求解，
(2)根据全概率公式求解概率，即可由对数的运算求解，
(3)根据全概率公式，结合错位相减法以及等比求和即可求解.
关键点点睛：根据全概率公式公式得PAn=12，PBn=12，由期望公式可得EY的表达式，将其转化为数列求和，利用错位相减求数列的和是本题的关键所在.
x
0,1e
1e
1e,+∞
f′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值−1e
单调递增