2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）2z＝2﹣4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
3．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（ ）
A．y=x+1x
B．y=x2+3x2+2
C．y＝ex+e﹣x
D．y=sinx+1sinx(0＜x＜π2)
4．（5分）若tanα＝2，则2sinα-csαsinα+2csα的值为（ ）
A．0B．34C．1D．54
5．（5分）棱长分别为2，3，5的长方体的外接球的表面积为（ ）
A．4πB．12πC．24πD．48π
6．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD=π4，若AB→⋅AC→=2AB→⋅AD→，则AD→⋅AC→=（ ）
A．12B．16C．20D．410
7．（5分）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A．A33A1111B．2A33A1111
C．A33A44A77D．2A33A44A77
8．（5分）已知实数λ＞0，记函数构成的集合Aλ＝{m（x）|∀x1，x2∈R，|m（x2）﹣m（x1）|＜λ|x2﹣x1|}．已知实数α、β＞0，若g（x）∈Aα，h（x）∈Aβ，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）•h（x）∈Aα•β
B．若h（x）≠0，则g(x)h(x)∈Aαβ
C．g（x）﹣h（x）∈Aα﹣β
D．g（x）+h（x）∈Aα+β
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为ŷ=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m＝4
C．可以预测，当x＝11时，y约为2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|，实数a，b满足f（a）＝f（b）（a＜b），则（ ）
A．2a+2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a+b＜1
C．2a+2b＝2D．a+b＜0
（多选）11．（5分）已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．P（B|A）+P（B|A）＝P（A）
B．P（B|A）+P（B|A）＝1
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）
（多选）12．（5分）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（ ）
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程是 ．
14．（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3，则其渐近线方程为 ．
15．（5分）已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有x（0＜x＜20）个男生与20﹣x个女生，乙队伍中有20﹣x个男生与x个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，X表示所取的2个人中男生的个数，则当方差D（X）取到最大值时，x的值为 ．
16．（5分）已知y＝f（x），x∈R满足f（x+2）＝f（x﹣2），f（0）＝0，当x∈（0，4）时，f(x)=lg2x4-x．已知g(x)=2sin(π2x+π)，则函数y＝f（x）﹣g（x），x∈[﹣4，8]的零点个数为 ，这些零点的和为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}中，2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．
（1）求证：A1B⊥B1C；
（2）求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
19．（12分）一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5，15），[15，25），[25，35），[35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15）内的小球个数为X，求X的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）
20．（12分）（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边．请用向量方法证明等式a2＝b2+c2﹣2bccsA；
（2）若三个正数a，b，c满足a2＝b2+c2﹣2bccsA（0＜A＜π），证明：以a，b，c为长度的三边可以构成三角形．
21．（12分）已知抛物线x2＝2py，点P（2，8）在抛物线上，直线y＝kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（1）求点P到抛物线焦点的距离；
（2）是否存在实数k使NA→⋅NB→=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+x．
（1）证明f（x）≤0；
（2）关于x的不等式x2eax2-xex+lnx-ax2+x≤0恒成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．
故选：A．
2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）2z＝2﹣4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【解答】解：∵（1﹣i）2z＝2﹣4i，
∴﹣2iz＝2﹣4i，
∴z=2-4i-2i=-2i2-4i-2i=2+i，
∴z=2-i，其虚部为﹣1．
故选：B．
3．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（ ）
A．y=x+1x
B．y=x2+3x2+2
C．y＝ex+e﹣x
D．y=sinx+1sinx(0＜x＜π2)
【解答】解：当x＜0时，y=x+1x＜0，故A错误；
∵x2+2≥2，
∴y=x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2在[2，+∞）上单调递增，故当x＝0时，函数取得最小值322，故B错误；
∵ex＞0，
∴y＝ex+e﹣x≥2ex⋅e-x=2，当且仅当x＝0时取等号，故C正确；
∵0＜x＜12π，
∴0＜sinx＜1，
由y＝t+1t在（0，1）上单调递减可知，y＜2，不存在最小值，故D错误
故选：C．
4．（5分）若tanα＝2，则2sinα-csαsinα+2csα的值为（ ）
A．0B．34C．1D．54
【解答】解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以csα（csα≠0）得，
原式=2sinα-csαsinα+2csα=2sinα-csαcsαsinα+2csαcsα=2tanα-1tanα+2=34
故选：B．
5．（5分）棱长分别为2，3，5的长方体的外接球的表面积为（ ）
A．4πB．12πC．24πD．48π
【解答】解：∵长方体的棱长分别为2，3，5，
∴长方体的对角线长为22+(3)2+(5)2=23，
则长方体外接球的半径为3．
∴长方体的外接球的表面积为4π×(3)2=12π．
故选：B．
6．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD=π4，若AB→⋅AC→=2AB→⋅AD→，则AD→⋅AC→=（ ）
A．12B．16C．20D．410
【解答】解：因为AB→•AC→=2AB→•AD→，所以AB→•AC→-AB→•AD→=AB→•（AC→-AD→）=AB→•DC→=AB→•AD→，
所以2|AB→|=AB→•AD→，可得|AD→|csπ4=2，解得|AD→|＝22，
所以AC→•AD→=AD→⋅(AD→+DC→)=AD→2+AD→⋅DC→=(22)2+22×2×csπ4=12．
故选：A．
7．（5分）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A．A33A1111B．2A33A1111
C．A33A44A77D．2A33A44A77
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①将3人的教练组看成一个整体，安排在左端或右端，有2A33种站法，
②将除队长外的11人全排列，安排在剩下11个位置，有A1111种站法，
③将队长安排在中间，有1种情况，
则有2A33A1111种站法．
故选：B．
8．（5分）已知实数λ＞0，记函数构成的集合Aλ＝{m（x）|∀x1，x2∈R，|m（x2）﹣m（x1）|＜λ|x2﹣x1|}．已知实数α、β＞0，若g（x）∈Aα，h（x）∈Aβ，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）•h（x）∈Aα•β
B．若h（x）≠0，则g(x)h(x)∈Aαβ
C．g（x）﹣h（x）∈Aα﹣β
D．g（x）+h（x）∈Aα+β
【解答】解：因为g（x）∈Aα，h（x）∈Aβ，设x2＞x1，
则﹣α（x2﹣x1）＜g（x2）﹣g（x1）＜α（x2﹣x1），﹣β（x2﹣x1）＜h（x2）﹣h（x1）＜β（x2﹣x1），
即有﹣（α+β）（x2﹣x1）＜g（x2）+h（x2）﹣[g（x1）+h（x1）]＜（α+β）（x2﹣x1），
所以g（x）+h（x）∈Aα+β，故D正确；
由于h（x）∈Aβ，则﹣h（x）∈Aβ，即﹣β（x2﹣x1）＜﹣[h（x2）﹣h（x1）]＜β（x2﹣x1），
所以﹣（α+β）（x2﹣x1）＜g（x2）﹣h（x2）﹣[g（x1）﹣h（x1）]＜（α+β）（x2﹣x1），
所以g（x）﹣h（x）∈Aα+β，故C错误；
根据﹣α（x2﹣x1）＜g（x2）﹣g（x1）＜α（x2﹣x1），﹣β（x2﹣x1）＜h（x2）﹣h（x1）＜β（x2﹣x1），
无法得到﹣αβ（x2﹣x1）＜g（x2）h（x2）﹣g（x1）h（x1）＜αβ（x2﹣x1），故A错误；
由于|h（x2）﹣h（x1）|＜β（x2﹣x1），
所以1|h(x2)-h(x1)|＞1β(x2-x1)，
又|g（x2）﹣g（x1）|＜α（x2﹣x1），故无法得到|g(x2)h(x2)-g(x1)h(x1)|＜αβ（x2﹣x1），故B错误．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为ŷ=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m＝4
C．可以预测，当x＝11时，y约为2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
【解答】解：对于A，由ŷ=-0.7x+10.3得：b̂=-0.7，故x，y呈负相关关系，A正确；
对于B，x=14×（6+8+10+12）＝9，y=14×（6+m+3+2）=m+114，
∴m+114=-0.7×9+10.3，解得m＝5，B错误；
对于C，当x＝11时，y＝﹣0.7×11+10.3＝2.6，C正确；
对于D，由m＝5知y=4，回归直线必过点（x，y），即必过点（9，4），D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|，实数a，b满足f（a）＝f（b）（a＜b），则（ ）
A．2a+2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a+b＜1
C．2a+2b＝2D．a+b＜0
【解答】解：画出函数f（x）＝|2x﹣1|的图象，如图所示，
由图知1﹣2a＝2b﹣1，则2a+2b＝2，故A错，C对，
由基本不等式可得2=2a+2b＞22a⋅2b=22a+b，所以2a+b＜1，则a+b＜0，故B错，D对．
故选：CD．
（多选）11．（5分）已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．P（B|A）+P（B|A）＝P（A）
B．P（B|A）+P（B|A）＝1
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）
【解答】解：选项A中：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故选项A错误，选项B正确；
选项C中：A，B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），则P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故选项C正确；
选项D中：A，B互斥，则P（AB）＝0，根据条件概率公式P（B|A）＝P（A|B）＝0，
故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（ ）
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，
∴平面MBF∥平面A1DE，
∴MB∥平面A1DE，故D正确；
由∠A1DE＝∠MFB，MF=12A1D＝定值，FB＝DE＝定值，
由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cs∠MFB，所以|BM|是定值，故A正确；
∵B是定点，
∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，
故B正确；
在矩形ABCD中，若AB＝2AD，E为边AB的中点，
所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，
可得DE⊥平面A1CE，
则DE⊥EA1，这与∠DEA1为45°矛盾，
∴当AB＝2AD时，不一定存在某个位置，使DE⊥A1C，
∴故C不正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程是 x﹣y+1＝0 ．
【解答】解：由f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，
∴f′（0）＝e0＝1，即曲线f（x）＝ex在x＝0处的切线的斜率等于1，
曲线经过（0，1），
∴曲线f（x）＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
14．（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3，则其渐近线方程为 y=±2x ．
【解答】解：双曲线的离心率e=ca=3即：c=3a，
∴c2＝a2+b2＝3a2，∴b2＝2a2，b=2a，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax=±2x，
故答案是y=±2x
15．（5分）已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有x（0＜x＜20）个男生与20﹣x个女生，乙队伍中有20﹣x个男生与x个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，X表示所取的2个人中男生的个数，则当方差D（X）取到最大值时，x的值为 10 ．
【解答】解：易知X的所有取值为0，1，2，
此时P（X＝0）=x20•20-x20=x(20-x)400，P(X=1)=20-x20⋅20-x20+x20⋅x20=(20-x)2+x2400，P(X=2)=x(20-x)400，
所以X的分布列为：
则E（X）＝0×x(20-x)400+1×(20-x)2+x2400+2×x(20-x)400=1，
D（X）＝（0﹣1）2×x(20-x)400+（1﹣1）2×(20-x)2+x2400+（2﹣1）2×x(20-x)400≤1200×（20-x+x2）2，
当且仅当x＝10时，等号成立，
则当方差D（X）取到最大值时，x的值为10．
故答案为：10．
16．（5分）已知y＝f（x），x∈R满足f（x+2）＝f（x﹣2），f（0）＝0，当x∈（0，4）时，f(x)=lg2x4-x．已知g(x)=2sin(π2x+π)，则函数y＝f（x）﹣g（x），x∈[﹣4，8]的零点个数为 13 ，这些零点的和为 26 ．
【解答】解：函数y＝f（x），x∈R满足f（x+2）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），
所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，
当x∈（0，4）时，f(x)=lg2x4-x，
则有4﹣x∈（0，4），
所以f（4﹣x）＝lg24-xx=-lg2x4-x=-f（x），
所以f（x）的图象关于（2，0）中心对称，而f（4）＝f（0）＝0，
因此函数y＝f（x），x∈R的图象关于点（4k+2，0）（k∈Z）对称，
函数g(x)=2sin(π2x+π)=-2sinπ2x的周期T=2ππ2=4，
g（4﹣x）＝2sin[π2（4﹣x）+π]＝2sin[2π+（π-π2x）]＝2sin（π-π2x）＝2sinπ2x＝﹣g（x），
所以点（2，0）是g（x）的图象的一个对称中心，
因此g（x）的图象关于点（4k+2，0）（k∈Z）对称，
所以点（4k+2，0）（k∈Z）是函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象的对称中心，
由f（x）﹣g（x）＝0，得f（x）＝g（x），
因此函数y＝f（x）﹣g（x）的零点即为函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象交点横坐标，
作出函数y＝f（x），y＝g（x）在区间（0，4）的图象，如图所示：
由图象知，函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在区间（0，4）上有3个公共点，公共点的横坐标和为3×2＝6，
于是函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在区间（﹣4，0）上有3个公共点，公共点的横坐标和为3×（﹣2）＝﹣6，
函数y＝f（x），y＝g（x）在区间（4，8）上有3个公共点，公共点的横坐标和为3×6＝18，
因为f（0）＝0，则f（﹣4）＝f（0）＝f（4）＝f（8）＝0，
又g（﹣4）＝g（0）＝g（4）＝g（8）＝0，
所以函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4，8]上共有3×3+4＝13个零点，
它们的和为﹣4﹣6+0+6+4+18+8＝26．
故答案为：13；26．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}中，2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100，
∴4a1+8d＝20，10a1+10×92d＝100，
联立解得a1＝1，d＝2．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（II）bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
∴数列{bn}的前n项和=12[(1-13)+(13-15)+⋯+(12n-1-12n+1)]
=12(1-12n+1)
=n2n+1．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．
（1）求证：A1B⊥B1C；
（2）求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
所以AA1⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，
所以AC⊥AA1，
又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，AA1，AB⊂平面ABA1，
所以AC⊥平面ABA1，
又A1B⊂平面ABA1，
则AC⊥A1B，
又A1B⊥AB1，AC∩AB1＝A，AB1，AC⊂平面ACB1，
所以A1B⊥平面ACB1，
又B1C⊂平面ACB1，
所以A1B⊥B1C；
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），
B1（2，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），E（0，2，1），
则A1B→=（2，0，﹣2），|A1B|＝22，
AF→=（1，1，0），AE→=（0，2，1），
设平面AEF的法向量为n→=（x，y，z），
则n→⋅AE→=0n→⋅AF→=0，得2y+z=0x+y=0，
令y＝﹣1，则x＝1，z＝2，
∴平面AEF的一个法向量为n→=（1，﹣1，2），
设直线A1B与平面AEF所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜n→，A1B→＞|=|n→⋅A1B→||n→||A1B→|=|1×2-2×2|6×22=243=36．
即直线A1B与平面AEF所成角的正弦值为36．
19．（12分）一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5，15），[15，25），[25，35），[35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15）内的小球个数为X，求X的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）
【解答】解：（1）由题意得（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1，
解得a＝0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
X=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体可知：
一个盒子中小球的重量在[5，15]内的概率为0.2；
则X～B（3，15），
X＝0，1，2，3；
P（X＝0）=C30×（45）3=64125；
P（X＝1）=C31×（45）2×15=48125；
P（X＝2）=C32×（45）×（15）2=12125；
P（X＝3）=C33×（15）3=1125，
∴X的分布列为：
即E（X）＝0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．
20．（12分）（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边．请用向量方法证明等式a2＝b2+c2﹣2bccsA；
（2）若三个正数a，b，c满足a2＝b2+c2﹣2bccsA（0＜A＜π），证明：以a，b，c为长度的三边可以构成三角形．
【解答】证明：（1）因为BC→=AC→-AB→，
则BC→2＝（AC→-AB→）2
=AC→2+AB→2﹣2AC→⋅AB→
＝b2+c2﹣2bccsA，
所以a2＝b2+22﹣2bcsA，得证．
（2）因为b2+c2﹣2bc＜a2＝b2+c2﹣2bccsA＜b2+c2+2bc，
所以（b﹣c）2＜a2＜（b+c）2，
所以|b﹣c|＜a＜b+c，
则a＜b+cb-c＜ac-b＜a，
所以a＜b+cb＜a+cc＜a+b，
所以a，b，c为长度的三边可以构成三角形，得证．
21．（12分）已知抛物线x2＝2py，点P（2，8）在抛物线上，直线y＝kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（1）求点P到抛物线焦点的距离；
（2）是否存在实数k使NA→⋅NB→=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点P（2，8）代入抛物线方程，则p=14，x2=12y，抛物线焦点F(0，18)，
则点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离|PF|=8+18=658．
（2）存在，证明如下：
如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，
把y＝kx+2代入y＝2x2得2x2﹣kx﹣2＝0，Δ＝k2+16＞0，
由根与系数的关系得x1+x2=k2，x1x2=-1．
∴xN=xM=x1+x22=k4，∴N点的坐标为(k4，k28)．
假设存在实数k，使NA→⋅NB→=0，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴|MN|=12|AB|．
由（1）知，yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2，
∵MN⊥x轴，∴|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168，
又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(k2)2-4×(-1)=12k2+1k2+16，
∴k2+168=14k2+1k2+16⇒k2+16=2k2+1，
两边同时平方得：k2+16＝4（k2+1），
解得k＝±2，即存在k＝±2，使NA→⋅NB→=0．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+x．
（1）证明f（x）≤0；
（2）关于x的不等式x2eax2-xex+lnx-ax2+x≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：f'(x)=1x-2x+1=-2x2-x-1x=-(2x+1)(x-1)x，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由 f′（x）＜0，可得x＞1，
所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）≤f（1），即f（x）≤0．
（2）解：由x2eax2-xex+lnx-ax2+x≤0得e2lnx-ax2+2lnx﹣ax2≤elnx﹣x+lnx﹣x，
因为g（x）＝ex+x为增函数，则2lnx﹣ax2≤lnx﹣x，
则a≥lnx+xx2，
令h（x）=lnx+xx2，则h′（x）=1-x-2lnxx3，
由 h′（x）＞0，可得0＜x＜1，由h′（x）＜0，可得x＞1，
所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间 （1，+∞）上单调递减，h（x）最大值为h（1）＝1，
所以实数a的取值范围是[1，+∞），x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
X
0
1
2
P
x(20-x)400
(20-x)2+x2400
x(20-x)400
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125