2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
2．（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（ ）
A．老年男性志愿者人数为90
B．青年女性志愿者人数为72
C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
3．（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（ ）
A．70B．256C．1680D．4096
4．（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P（ξ＝1）＝（ ）
A．110B．13C．49D．35
5．（5分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且i=05 ai＝32，则实数m＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1）=1e，则f(lnx)＜1x的解集是（ ）
A．（0，1）B．（0，e）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
7．（5分）将三项式展开，得到下列等式：
（x2+x+1）0＝1；
（x2+x+1）1＝x2+x+1；
（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1；
（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；
……
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：
若关于x的多项式（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a＝（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得f(x0)≤95成立，则x0a=（ ）
A．2B．5C．﹣2D．﹣5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（ ）
A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增
B．f（x）有两个极值点
C．f（x）有三个零点
D．直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线
（多选）10．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为
则下列说法正确的是（ ）
A．t＝1或-12B．E(X)=18
C．D(X)=5564D．D（8X+9）＝64
（多选）11．（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），经计算得：i=120 xi＝60，i=120 yi＝1200，i=120 (xi-x）2＝80，i=120 (xi-x)(yi-y）＝640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：ŷ=b1̂x+a1̂和x关于y的线性回归方程l2：x̂=b2̂y+a2̂，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致．则下列说法正确的是（ ）
附：y关于x的线性回归方程ŷ=â+b̂x中，b̂=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，â=y-b̂x，r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2．
A．bî=8B．b1̂⋅b2̂＞1
C．l1经过点（3，60）D．l2经过点（3，60）
（多选）12．（5分）记两个函数f(x)=Atanx，x∈(-π2，π2)，g（x）＝xα的图象的公共点个数是φ（A，α），则（ ）
A．φ（1，﹣1）＝1B．φ（1，1）＝1C．φ（1，2）＝1D．φ(2，12)=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知An2=90，则Cn+2n的值为 ．
14．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（x＜3）＝0.5，则P（X＜4）的值为 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为 ．
16．（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为1320．
（1）请将上面的2×2列联表补充完整；
（2）根据以上数据，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？
附：
参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
18．（12分）已知2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯+2nCnn=728．
（1）求n的值；
（2）求(x+12x)n的二项展开式中的常数项．
19．（12分）已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx．
（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
20．（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立．
（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为34，求选手甲可以进入第三轮的概率；
（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰．
附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997．
21．（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．
（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；
（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1），且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R．
（1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x12+x22＞2(a+1)+e．
2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣2x，可得f'（x）=1x-2，所以f'（1）＝1﹣2＝﹣1，
因此曲线 y ＝ f （ x ）在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣1；
故选：B．
2．（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（ ）
A．老年男性志愿者人数为90
B．青年女性志愿者人数为72
C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
【解答】解：根据饼状图老年志愿者占比10%，则人数为10%×300＝30＜90，故A错，
青年志愿者占比60%，则人数为300×60%＝180人，而女性占比40%，则青年女性志愿者人数为180×40%＝72，故B正确；
老年女性志愿者人数为30×70%＝21人，中年女性人数为300×30%×30%＝27人，则C错误；
中年男性志愿者人数为300×30%×70%＝63人，青年男性志愿者人数为300×60%×60%＝108，则D错误．
故选：B．
3．（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（ ）
A．70B．256C．1680D．4096
【解答】解：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，
则不同的停放方法数为A84=8×7×6×5＝1680．
故选：C．
4．（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P（ξ＝1）＝（ ）
A．110B．13C．49D．35
【解答】解：由题意可知ξ＝1表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球，
每一次取到黑球的概率为24+2=13，则取到白球的概率为23，
所以P（ξ＝1）=C31×13×(23)2=49．
故选：C．
5．（5分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且i=05 ai＝32，则实数m＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且i=05 ai＝32，
则令x＝0，可得i=05 ai＝m5＝32，解得m＝2．
故选：D．
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1）=1e，则f(lnx)＜1x的解集是（ ）
A．（0，1）B．（0，e）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
【解答】解：记g（x）＝exf（x），则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]，
因为f′（x）+f（x）＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在R上单调递增，
由f(lnx)＜1x知x＞0，所以原不等式等价于xf（lnx）＜1，
又因为f（1）=1e，所以g（1）＝ef（1）＝1，
所以原不等式等价于elnxf（lnx）＜ef（1），即g（lnx）＜g（1），
所以lnx＜1，解得0＜x＜e，即f(lnx)＜1x的解集是（0，e）．
故选：B．
7．（5分）将三项式展开，得到下列等式：
（x2+x+1）0＝1；
（x2+x+1）1＝x2+x+1；
（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1；
（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；
……
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：
若关于x的多项式（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a＝（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：由题意可得：（x2+x+1）5＝x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，
则（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为1×45+a×30+（﹣3）×15＝30a，
又x8的系数为30，
则30a＝30，
即a＝1．
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得f(x0)≤95成立，则x0a=（ ）
A．2B．5C．﹣2D．﹣5
【解答】解：已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2＝（x﹣a）2+（e2x+2﹣2a）2，
此时函数f（x）可以看作是动点M（x，e2x+2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，
因为动点M在函数g（x）＝e2x+2的图象上，动点N在直线y＝2x上，
要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，
易知g′（x）＝2e2x+2，y′＝2，
此时2e2x+2＝2，
解得x＝﹣1，
则点（﹣1，1）到直线y＝2x的最小距离d=35，
所以f（x）≥d2=95，
若存在x0，使得f(x0)≤95成立，
此时f（x0）=95，
即直线MN与直线y＝2x垂直，点N恰好为垂足，
因为kMN=2a-1a-(-1)=2a-1a+1，
所以2a-1a+1×2＝﹣1，
解得a=15，
则x0a=-115=-5．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（ ）
A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增
B．f（x）有两个极值点
C．f（x）有三个零点
D．直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线
【解答】解：已知f（x）＝x3﹣3x﹣2，函数定义域为R，
可得f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝0，
当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）＝﹣4，
当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
作出函数f（x）图象如下所示：
所以函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，故选项A错误；
函数f（x）有两个极值点，别分为x＝﹣1，x＝1，故选项B正确；
函数f（x）存在两个零点，故选项C错误；
不妨设切点为（x0，f（x0）），
则曲线y＝f（x）在切点处的切线方程为y﹣（x03-3x0﹣2）＝（3x02-3）（x﹣x0），
即y＝（3x02-3）x﹣2x03-2，
若直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线，
此时3x02-3=0-2x03-2=-4，
解得x0＝1，符合题意，
则直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为
则下列说法正确的是（ ）
A．t＝1或-12B．E(X)=18
C．D(X)=5564D．D（8X+9）＝64
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由X的分布列，有38+2t2-32t-38+12t＝1，解可得t＝1或-12，
又由0＜2t2-32t-38＜10＜12t＜1，则t＝1，A错误；
对于B，由A的结论，t＝1，
则离散型随机变量X的分布列为
则E（X）＝（﹣1）×38+0×18+1×12=18，B正确；
对于C，D（X）＝（﹣1-18）2×38+（0-18）2×18+（1-18）2×12=5564，C正确；
对于D，D（8X+9）＝64D（x）＝55，D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），经计算得：i=120 xi＝60，i=120 yi＝1200，i=120 (xi-x）2＝80，i=120 (xi-x)(yi-y）＝640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：ŷ=b1̂x+a1̂和x关于y的线性回归方程l2：x̂=b2̂y+a2̂，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致．则下列说法正确的是（ ）
附：y关于x的线性回归方程ŷ=â+b̂x中，b̂=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，â=y-b̂x，r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2．
A．bî=8B．b1̂⋅b2̂＞1
C．l1经过点（3，60）D．l2经过点（3，60）
【解答】解：对于选项A，b1=i=120 (xi-x)(yi-y)i=120 (xi-x)2=64080=8，即选项A正确；
对于选项B，因为b2=i=120 (xi-x)(yi-y)i=120 (yi-y)2，
所以b1•b2=r2≤1，即选项B错误；
对于选项C和D，由题意知，x=120i=120 xi＝3，y=120i=120 yi＝60，
所以线性回归方程l1和l2均经过样本中心点（3，60），即选项C和D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）记两个函数f(x)=Atanx，x∈(-π2，π2)，g（x）＝xα的图象的公共点个数是φ（A，α），则（ ）
A．φ（1，﹣1）＝1B．φ（1，1）＝1C．φ（1，2）＝1D．φ(2，12)=2
【解答】解：对于A，当A＝1，α＝﹣1时，f（x）＝tanx，x∈（-π2，π2），g（x）＝x﹣1，
在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：
由此可得两函数有2个交点，所φ（1，﹣1）＝2，故A错误；
对于B，当A＝1，α＝1时，f（x）＝tanx，x∈（-π2，π2），g（x）＝x，
在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：
由此可得两函数有1个交点，所φ（1，1）＝1，故B正确；
对于C，当A＝1，α＝2时，f（x）＝tanx，x∈（-π2，π2），g（x）＝x2，
在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：
由此可得两函数有1个交点，所φ（1，2）＝1，故C正确；
对于D，当A＝2，α=12时，f（x）＝2tanx，x∈（-π2，π2），g（x）=x12=x，
在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：
由此可得两函数有2个交点，所φ（2，12）＝2，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知An2=90，则Cn+2n的值为 66 ．
【解答】解：因为An2=90，即n（n﹣1）＝90，且n∈N+，
则n＝10，
则C1210=C122=66．
故答案为：66．
14．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（x＜3）＝0.5，则P（X＜4）的值为 0.8 ．
【解答】解：因为随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（X＜3）＝0.5，
则对称轴为μ＝3，
则P（2＜X＜3）＝0.5﹣0.2＝0.3，
则P（X＜4）＝0.5+0.3＝0.8．
故答案为：0.8．
15．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为 ﹣1 ．
【解答】解：因为函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，
所以f′（x）＝lnx+a+1≥0在（1，+∞）上恒成立，
即a≥﹣lnx﹣1在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）＝﹣lnx﹣1，因为g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以g（x）＜g（1）＝﹣1，
所以a≥﹣1，即a的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 14 ．
【解答】解：黄皮非红肉的番茄为P1=38×(1-815)=38×715=740，
因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730，
所以730=P1P非红肉，解得P非红肉=307P1=307×740=34，
因此P红肉＝1﹣P非红肉＝1-34=14．
故答案为：14．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为1320．
（1）请将上面的2×2列联表补充完整；
（2）根据以上数据，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？
附：
参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由题意可得：
（2）零假设为H0：喜欢天宫课堂与性别之间无关联，
x2=200×(75×45-55×25)2100×100×130×70≈8.791＞6.635，
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢天宫课堂与性别有关系，
故依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联．
18．（12分）已知2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯+2nCnn=728．
（1）求n的值；
（2）求(x+12x)n的二项展开式中的常数项．
【解答】解：（1）因为2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯+2nCnn=728=（1+2）n﹣1，
解得n＝6；
（2）由（1）知，n＝6，
∴(x+12x)n 的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(12x)r=C6r⋅(12)rx6-32r，r＝0，1，…，6，
令6-32r=0，解得r＝4，
∴展开式中的常数项为 T5=(12)4C64=1516，
故二项展开式中的常数项为1516．
19．（12分）已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx．
（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
【解答】解：（1）依题意，f'(x)=x-(a+1)+ax，
则f'(2)=2-(a+1)+a2=0，
解得：a＝2，
经检验，符合题意．
（2）函数定义域为 （0，+∞），因为 f(x)=x-(a+1)+ax=(x-a)(x-1)x，
所以，当a＝1时 f'(x)=(x-1)2x≥0，f（x）在 （0，+∞） 单调递增；
当a≤0时，若0＜x＜1，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）递减，
若x＞1，f'（x）＞0，f（x）在 （1，+∞） 递增；
当0＜a＜1时，若a＜x＜1，f'（x）＜0，f（x）在 （a，1）单调递减，
若0＜x＜a或x＞1，f'（x）＞0，f（x）在（0，a）和 （1，+∞） 递增；
当a＞1时，若1＜x＜a，f'（x）＜0，f（x）在（1，a）单调递减，
若0＜x＜1或x＞a，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）和 （a，+∞） 单调递增；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a）和（1，+∞）单调递增；
当a＝1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1）和（a，+∞）单调递增．
20．（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立．
（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为34，求选手甲可以进入第三轮的概率；
（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰．
附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997．
【解答】解：（1）设Bi：第i次通过第二关，Ai：第i次通过第一关，甲可以进入第三关的概率为P，
由题意知P＝（P（A1）+P（A1A2））•（P（B1）+P（B1B2））＝（45+15×45）（34+14×34）=910．
（2）∵选手得分X～N（212，σ2），
∴对称轴为μ＝212，
∵3172000=0.1585%，且 P(X＞μ+σ)=1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)2=1-，
∴462000=0.023%，且 (X＞μ+2σ)=1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)2=1-0.9542≈0.023，
∴μ+2σ＝270，则σ=270-2122=29，
∴前317名参赛者的最低得分高于μ+σ＝241，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励．
21．（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．
（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；
（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1），且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大．
【解答】解：（1）根据题意可知X的取值可能为 2，3，4，5，
则可以得到：P(x=2)=C22C62=115，P（X＝3）=2C21C41C61C51×1C41=215，P（X＝4）=3C41C31C21C61C51C41×1C31=15，
P（X＝5）=4×3×2×2×46×5×4×3×12=415，P（X＝6）=4×3×2×1×2×56×5×4×3×2=13，
则X的分布列为：
所以E（X）＝2×115+3×215+4×15+5×415+6×13=143；
（2）由题意可得f(p)=C502p2(1-p)48(0＜p＜1)，
所以f'(p)=C502[2p(1-p)48-48p2(1-p)47]=C502⋅2p⋅(1-p)47⋅(1-25p)，
令f′（p）＝0，解的P=125，
因为当 0＜p＜125 时，f′（p）＞0，所以f（p）为单调增函数；
因为当 125＜p＜1 时，f′（p）＜0，所以f（p）为单调减函数，
所以，当 p=125 时，f（p）取得最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R．
（1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x12+x22＞2(a+1)+e．
【解答】解：（1）已知f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R，函数定义域为R，
可得f'（x）＝ex+2ax，
不妨设g（x）＝f'（x），函数定义域为R，
可得g'（x）＝ex+2a，
当a＞0时，g'（x）＞0，
所以函数g（x）在R上单调递增，
即函数f'（x）在R上单调递增，
又f'（-1a）＜0，f'（0）＝1＞0，
所以f'（x）在R上存在唯一变号零点，
即函数f（x）存在唯一的极值点，符合题意；
当a＝0时，
易知函数f（x）＝ex﹣1在R上单调递增，
此时函数f（x）无极值点，不符合题意；
当a＜0时，
令g'（x）＝0，
解得x＝ln（﹣2a），
因为g'（x）为增函数，
所以当x＜ln（﹣2a）时，f′（x）单调递减；
当x＞ln（﹣2a）时，f′（x）单调递增，
又f′（ln（﹣2a））＝﹣2a[1﹣ln（﹣2a）]，
当ln（﹣2a）≤1，即-e2≤a＜0时，
易知f′（ln（﹣2a））≥0，
所以f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，
此时函数f（x）无极值点，不符合题意；
当ln（﹣2a）＞1，即a＜-e2时，
易知f′（ln（﹣2a））＜0，
又f′（0）＝1＞0，
f′（﹣2a）＝e﹣2a﹣4a2＝（e﹣a﹣2a）（e﹣a+2a）＞（e﹣a﹣2a）[e（﹣a）+2a]＝﹣a（e﹣a﹣2a）（e﹣2）＞0，
此时f′（x）在R上存在两个变号零点，
即函数f（x）在R上存在两个极值点，不符合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为（0，+∞）；
（2）证明：若f（x）存在两个极值点x1，x2，
由（1）知，只有当a＜-e2且x1，x2均为正数时满足条件，
此时2a+e＜0，x12+x222＞(x1+x22)2，
即x12+x22＞(x1+x2)22，
要证x12+x22＞2(a+1)+e，
需证(x1+x2)22＞2，
即证x1+x2＞2，
因为f′（x1）=ex1+2ax1＝0，f′（x2）=ex2+2ax2，
所以ex1x1=ex2x2，
对等式两边同时取对数，可得lnex1x1=lnex2x2，
此时x1﹣lnx1＝x2﹣lnx2，
即x1-x2lnx1-lnx2=1，
下证x1+x22＞x1-x2lnx1-lnx2，
不妨设x2＞x1，
令x2x1=t，t＞1，
此时需证1+t2＞1-t-lnt，
即证lnt＞2(t-1)t+1，
不妨设h（t）＝lnt-2(t-1)t+1，函数定义域为（1，+∞），
可得h′（t）=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2＞0，
所以函数h（t）在定义域上单调递增，
此时h（t）＞h（1）＝0，
所以当t＞1时，lnt＞2(t-1)t+1恒成立，
即x1+x22＞x1-x2lnx1-lnx2成立，
可得x1+x22＞x1-x2lnx1-lnx2=1，
即x1+x2＞2，
故x12+x22＞2(a+1)+e．X
﹣1
0
1
P
38
2t2-32t-38
12t
喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
合计
男生
75
女生
45
合计
200
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
﹣1
0
1
P
38
2t2-32t-38
12t
X
﹣1
0
1
P
38
18
12
喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
合计
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75
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200
α
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3.841
6.635
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喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
合计
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200
X
2
3
4
5
6
P
115
215
15
415
13