2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2＝（ ）
A．﹣3+2iB．﹣3+4iC．5+2iD．5+4i
2．（5分）函数在的最大值是（ ）
A．2B．0C．1D．
3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）若钝角三角形的边长分别为a，a+3，a+6，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，9）B．（0，9）C．（3，+∞）D．（9，+∞）
5．（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知△ABC是正三角形，若点M满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角C﹣AB﹣E，E﹣AB﹣F，F﹣AB﹣D的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）
A．θ1＝θ2＝θ3B．θ1＜θ2＜θ3C．θ1＝θ3＞θ2D．θ1＝θ3＜θ2
8．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（ ）
A．A：B：C＝4：5：6B．sinA+sinC＝2sinB
C．csCD．3sinA＝8sin2C
（多选）11．（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（ ）
A．A与B互斥B．A与B对立
C．A与C相互独立D．B与C相互独立
（多选）12．（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则（ ）
A．棱台的侧面积为12
B．棱台的体积为28
C．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在平行四边形ABCD中，，则λ＝ ．
14．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，AC＝2，A，点D在线段AB上，且AD＝2DB，sin∠ACDsin∠BCD，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）在△ABC中，若，则（tan2A﹣3）sin2C的最小值为 ．
四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在直角坐标系xOy中，设向量（2sinθ，1），（1，sin（θ）），θ∈R．
（1）若•0，求tanθ的值；
（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．
18．（12分）已知向量，满足，
（1）若，求的值；
（2）若，求在上的投影向量的坐标．
19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC1B1；
（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．
20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
21．（12分）如图，在△ABC中，AB，BC＝2，以AC为边，向△ABC外作正方形ACDE，连接BD．
（1）当AB⊥BC时，求B到直线DE的距离；
（2）设∠ABC＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD，并求BD的最大值．
22．（12分）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA＝α（α）．
（1）分别记△AGM，△AGN的面积为S1，S2，试将S1，S2表示为α的函数；
（2）求y的最大值与最小值．
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2＝（ ）
A．﹣3+2iB．﹣3+4iC．5+2iD．5+4i
【解答】解：z2＝（1+2i）2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，
故选：B．
2．（5分）函数在的最大值是（ ）
A．2B．0C．1D．
【解答】解：由已知可得，，
因为，所以，
又y＝csx在上单调递减，
所以，当，即x＝0时，函数取得最大值．
故选：C．
3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：取CD的中点M，连结ME，FM，
因为F，M分别为AB，DC的中点，所以FM∥AD，
又A'D'∥AD，
所以A'D'∥FM，
则∠EFM即为异面直线A'D'与EF所成角，
不妨设正方体的棱长为2，
则FM＝2，EM，
所以EF，
在Rt△EFM中，cs∠EFM，
所以异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是．
故选：A．
4．（5分）若钝角三角形的边长分别为a，a+3，a+6，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，9）B．（0，9）C．（3，+∞）D．（9，+∞）
【解答】解：由已知得，
∴3＜a＜9．
故选：A．
5．（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由图可得tanβ＝3，tanα，
∴tan（β﹣α）1，
∵0＜β，0＜α，∴β﹣α，
∴β﹣α的值为．
故选：B．
6．（5分）已知△ABC是正三角形，若点M满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，且△ABC是正三角形，
∴，
∴，
∴••2，
∴，
∴与夹角的余弦值为．
故选：D．
7．（5分）如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角C﹣AB﹣E，E﹣AB﹣F，F﹣AB﹣D的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）
A．θ1＝θ2＝θ3B．θ1＜θ2＜θ3C．θ1＝θ3＞θ2D．θ1＝θ3＜θ2
【解答】解：如图1，
在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG，DG，则CG⊥AB，DG⊥AB，而CG∩DG＝G，
所以AB⊥平面CDG，连接EG，FG，因为EG⊂平面CDG，FG⊂平面CDG，所以AB⊥EG，AB⊥FG．
由二面角的平面角的定义可以判断θ1＝∠CGE，θ2＝∠EGF，θ3＝∠FGD，由对称性容易判断θ1＝θ3．
设该正四面体的棱长为6，如图2，
CD＝6，易得，取CD的中点H，则GH⊥CD，CE＝2，EH＝HF＝1，
在△GCH中，由勾股定理可得，于是．
于是，在△GCE中，由余弦定理可得，
在△GEF中，由余弦定理可得，
而，即1＞csθ1＞csθ2＞0⇒θ1＜θ2，于是θ1＝θ3＜θ2．
故选：D．
8．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
【解答】解：取BC中点E，∵∠BAC＝90°，∴E为△ABC的外接圆圆心，
过E作AD的平行线，由球的性质可知，球心O必在此平行线上，
作OF∥AE，交AD于F，如图所示：，，
OA＝OD，∴AF＝DF＝OEAD＝1，
∵球O的表面积为22π∴球O的半径R，设AB＝x，AC＝y，
由，得：x2+y2＝18，
∴三棱锥A﹣BCD侧面积S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC•2x•2yxy＝x+yxy，
由x2+y2≥2xy，得：xy≤9，（当且仅当x＝y＝3时取等号），
又（x+y）2＝x2+y2+2xy≤18+x2+y2＝36（当且仅当x＝y＝3时取等号），
∴S≤6（当且仅当x＝y＝3时取等号）．
故选：B．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此A不正确；
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β，因此B正确；
C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n，因此C正确；
D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此D不正确．
故选：BC．
（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（ ）
A．A：B：C＝4：5：6B．sinA+sinC＝2sinB
C．csCD．3sinA＝8sin2C
【解答】解：对于A，由题意可知，sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，但推不出A：B：C＝4：5：6，故A错误；
对于BC，由a：b：c＝4：5：6，不妨设a＝4k，b＝5k，c＝6k，
则a+c＝2b，
由正弦定理可得，sinA+sinC＝2sinB，故B正确；
csC，故C正确；
又，故3sinA＝8sin2C，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（ ）
A．A与B互斥B．A与B对立
C．A与C相互独立D．B与C相互独立
【解答】解：对于A，事件：A＝“x+y＝7”包含的基本事件有：
（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
事件B＝“xy为奇数”，包含的基本事件有：
（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3），
A与B不能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；
P（A），P（B），P（C），P（AC），
P（A）•P（C），P（AC）＝P（A）•P（C），P（BC）P（B）P（C），
B与C不相互独立，A与C独立，故C正确，D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则（ ）
A．棱台的侧面积为12
B．棱台的体积为28
C．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
【解答】解：根据题意，如图所示，作正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，
依次分析选项：
对于A，在侧面梯形ABB1A1中，A1B1＝2，AB＝4，
则AH（4﹣2）＝1，则斜高A1H，
故梯形ABB1A1的面积S′3，
故棱台的侧面积S＝4S′＝12，A正确；
对于B，底面ABCD为正方形，则HM＝AH＝1，A1H，
则棱柱的高A1M，
故棱台的体积VOA（4+16+8），B错误；
对于C，棱台的侧棱与底面所成的角即∠A1AM，则余弦值cs∠A1AM，C正确；
对于D，棱台的侧面ABB1A1与底面ABCD所成锐二面角的平面角为∠DHM，
则cs∠DHM，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在平行四边形ABCD中，，则λ＝ ．
【解答】解：由得：，
在平行四边形ABCD中，由加法的平行四边形法则可得：，
故，
故，
答案为：．
14．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 ．
【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，
所以2πr＝2，h＝2，
所以h＝2，r，
所以圆柱的体积为πr2•h．
故答案为：．
15．（5分）如图，在△ABC中，AC＝2，A，点D在线段AB上，且AD＝2DB，sin∠ACDsin∠BCD，则△ABC的面积为 ．
【解答】解：在△ACD中，由正弦定理得，即，（1）
在△BCD中，由正弦定理得，（2）
又，（3），
联立（1）（2）（3）得，，
在△ABC中，由正弦定理得，可得，
由余弦定理得，
即AB2﹣2AB﹣3＝0，
因为AB＞0，解得AB＝3，
因此，△ABC的面积为．
故答案为：．
16．（5分）在△ABC中，若，则（tan2A﹣3）sin2C的最小值为 ．
【解答】解：因为，所以B＝45°，
则（tan2A﹣3）sin2C＝（tan2A﹣3）sin[2π﹣2（A+B）]＝﹣（tan2A﹣3）sin（2A）•cs2A①，
令t＝1+cs2A，
因为A∈（0，），所以t∈（0，2），
①4t2﹣66＝4，当且仅当4t2，即t时取等号．
故答案为：46．
四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在直角坐标系xOy中，设向量（2sinθ，1），（1，sin（θ）），θ∈R．
（1）若•0，求tanθ的值；
（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．
【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，已知向量（2sinθ，1），（1，sin（θ）），θ∈R，
∵•0，
∴2sinθ+sin（θ）＝0，
即2sinθ+sinθcscsθsin0，
即sinθcsθ＝0，
∴tanθ；
（2）∵∥，
∴2sinθsin（θ）＝1，
∴2sin2θcs2sinθcsθsin1，
∴（1﹣cs2θ）sin2θ＝1，
整理得sin2θcs2θ，
所以sin（2θ），
又θ∈（0，），
所以2θ∈（，），
所以2θ，
即θ．
18．（12分）已知向量，满足，
（1）若，求的值；
（2）若，求在上的投影向量的坐标．
【解答】解：（1）由题得，
，
∴．
∴；
（2），
∴，
∴，
∴投影向量坐标为，
∴投影向量坐标为．
19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC1B1；
（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．
【解答】
证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分
因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，
又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，
从而，即四边形OEBF是平行四边形，
所以OE∥BF，…6分
又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，
所以OE∥面BCC1B1．…8分
（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，
所以BC1⊥DC，…10分
又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，
所以BC1⊥面B1DC，…12分
而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，
所以面B1DC⊥面B1DE．…14分
20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，
解得a＝0.035；
（2）平均数为：20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁，
因为0.1+0.15＝0.25＜0.5，0.1+0.15+0.35＝0.6＞0.5
所以中位数落在[35，45）内，设中位数为m，
则10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，
所以m≈42.1岁；
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，
分别记为a1，a2，b1，b2，b3，设从5人中随机抽取2人，为{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}共10个样本点，
这2人恰好在同一组的样本点为{a1，a2}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}共4个，
所以P．
21．（12分）如图，在△ABC中，AB，BC＝2，以AC为边，向△ABC外作正方形ACDE，连接BD．
（1）当AB⊥BC时，求B到直线DE的距离；
（2）设∠ABC＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD，并求BD的最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB，BC＝2，
又△ABC是以AC为斜边的直角三角形，可得AC，
则点B到AC的距离h，得B到DE的距离为．
（2）在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csθ＝6﹣4csθ，
所以CD2＝BC2＝6﹣4csθ．
设∠ACB＝α，
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcs（α）
＝BC2+CD2+2BC•ACsinα
＝4+6﹣4csθ+4S△ABC
＝10﹣4csθ+4sinθ
＝10+8sin（θ），0＜θ＜π．
于是当θ时，BD2最大为18，即BD的最大值为3．
22．（12分）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA＝α（α）．
（1）分别记△AGM，△AGN的面积为S1，S2，试将S1，S2表示为α的函数；
（2）求y的最大值与最小值．
【解答】解：（1）因为点G是正△ABC的中心，
所以．
在△AMG中，，，
所以，
在△ANG中，同理，可得．
所以，；
（2）


，
因为，
所以时，；当或时，ymax＝15．