湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

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2024年5月
时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知复数，若的共轭复数为，则（ ）
A. B. 5C. D. 10
2. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）
A. 调查一批小包装饼干的卫生是否达标
B. 调查一批袋装牛奶的质量
C. 调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求
D. 调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间
3. 已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
4. 已知菱形的边长为2，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A. 117mB. 120mC. 127mD. 135m
7. 已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8. 如图，一块三角形铁片ABC，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D，，.如果过点D作一条直线分别交AB，AC于点E，F，并沿直线EF裁掉，则剩下的四边形EFCB面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间两条异面直线所成的角等于60°，过点与所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（ ）
A. 30°B. 45°C. 75°D. 90°
10. 已知（），若方程在区间上恰有3个实根，则的取值可能是（ ）
A. B. 1C. D.
11. 已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据1，2，4，5，m平均数为4，则这组数据的方差为____________.
13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，该正四棱台的体积为时，侧棱与底面所成的角为____________.
14. 设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n最大值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
（1）求x；
（2）求抽取的x人的年龄的第80百分位数（保留小数）.
16. 已知在平面直角坐标系，向量.
（1）求与垂直的单位向量的坐标；
（2）若向量，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
17. 已知等式
（1）若x、y均为正整数，求x、y的值；
（2）设，，、分别是等式中的x取（）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由.
18. 如图1，设半圆半径为2，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：
（1）求在圆锥中的线段的长；
（2）求四面体的体积；
（3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积．
19 函数.
（1）若的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）当时，为定义域为的奇函数，且时，，
①求的解析式
②若关于x方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.