长沙市雅礼中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题及参考答案

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时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足＝{1,3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4M D．5M
2．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
3.下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋eq \f(2,x) B．y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))
C．y＝ex＋e－x D．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(04.若tan α＝2，则eq \f(2sin α－cs α,sin α＋2cs α)的值为( )
A．0 B.eq \f(3,4) C．1 D.eq \f(5,4)
5.长、宽、高分别为2，eq \r(3)，eq \r(5)的长方体的外接球的表面积为( )
A．4π B．12π C．24π D．48π
6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若，则＝（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军.在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A． B． C． D．
8.已知实数，记函数构成的集合
．已知实数，若，则下列结论正确的是 ( )
A． B．若，则
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.已知变量x，y之间的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是( )
A.变量x，y之间成负相关关系
B．m＝4
C．可以预测，当x＝11时，y约为2.6
D．由表格数据知，该经验回归直线必过点(9,4)
10.已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(aA．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0
11.已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．若，独立，则D．若，互斥，则
12.矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是（ ）
A．|BM|是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.曲线y＝ex在点处的切线方程为 ．
14.若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为 .
15.已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有x(016.已知满足，，当时，.已知，则函数的零点个数为 ，这些零点的和为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．
18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．
（1）求证：
（2）求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
19.(本小题满分12分)
一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．(以直方图中的频率作为概率)
20.(本小题满分12分)
（1）已知，，分别为△三个内角，，的对边.请用向量方法证明等式；
（2）若三个正数，，满足，证明：以，，为长度的三边可以构成三角形.
21.(本小题满分12分)
已知抛物线x2＝2py，点P(2，8)在抛物线上，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求点P到抛物线焦点的距离；
(2)是否存在实数k使＝0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
22.(本小题满分12分)
已知函数.
（1）证明；
（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2