八年级期末数学试卷01【北师大版】（原卷版+解析版）

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考卷信息:
本卷试题共 26 题，单选 12题，填空6题，解答8题，满分 120 分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本册内容的具体情况!
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
2．若a＜b，则下列结论成立的是（ ）
A．a+2＞b+2B．﹣2a＜﹣2bC．3a＞3bD．1﹣a＞1﹣b
【答案】D
【解答】解：A、a＜b，则a+2＜b+2，选项说法错误，不符合题意；
B、a＜b，则﹣2a＞﹣2b，选项说法错误，不符合题意；
C、a＜b，则3a＜3b，选项说法错误，不符合题意；
D、a＜b，则1﹣a＞1﹣b，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
3．只用同一种正多边形铺满地面，不可以选择（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三角形
【答案】B
【解答】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺，故不符合题意；
B、正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺，故符合题意；
C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，故不符合题意；
D、正三角形的每个内角是60°，能整除360度，6个能密铺，故不符合题意；
故选：B．
4．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．9x2﹣1＝（9x﹣1）（9x+1）
B．a4﹣1＝（a2+1）（a2﹣1）
C．﹣81a2﹣b2＝﹣（9a﹣b）（9a+b）
D．（ab+a）﹣1﹣b＝（a﹣1）（b+1）
【答案】D
【解答】解：A．9x2﹣1＝（3x+1）（3x﹣1）≠（9x﹣1）（9x+1），故选项A分解错误；
B．a4﹣1＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1），故选项B分解错误；
C．﹣81a2﹣b2＝﹣（81a2+b2）≠（9a﹣b）（9a+b），故选项C分解错误；
D．（ab+a）﹣1﹣b＝a（b+1）﹣（1+b）＝（a﹣1）（b+1），故选项D分解正确．
故选：D．
5．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点D．三边上高的交点
【答案】C
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】A
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故选：A．
7．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．∠ACD＝∠ACBD．BC＝CD
【答案】A
【解答】解：A、AC＝BD时，▱ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACD＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、BC＝CD时，▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（ ）
A．x＞﹣5B．x＞﹣2C．x＞﹣3D．x＜﹣2
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
【答案】D
【解答】解：∵BC＝14，
∴FC＝BC﹣BF＝14﹣BF．
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝5．
∴FC＝10．
∴14﹣BF＝10．
∴BF＝4．
故选：D．
10．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，4）
【答案】A
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的，
∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）．
故选：A．
11．若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠10D．m＜6且m≠2
【答案】D
【解答】解：关于x的方程＝2的解为：x＝，
∵原方程有可能产生增根2，
∴，
∴m≠2．
∵关于x的方程＝2的解为正数，
∴，
∴m＜6．
综上，m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△BEF＝S△ABE；⑤S△CEF＝S△ABE．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②⑤
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE＝∠EAD＝60°，
∵AB＝AE，BC＝AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD＝S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC＝S△DEC，
∴S△ABE＝S△CEF．
若AD与BF相等，则BF＝BC，
题中未限定这一条件，
若S△BEF＝S△ACD；则S△BEF＝S△ABC，
则AB＝BF，
∴BF＝BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确．
若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC，
即EC＝CD＝BE
即BC＝2CD，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确，
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD＝S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC＝S△DEC，
∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确；
故选：D．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．因式分解：6x2﹣9xy＝ 3x（2x﹣3y） ．
【答案】3x（2x﹣3y）．
【解答】解：原式＝3x•2x﹣3x•3y
＝3x（2x﹣3y）．
故答案为：3x（2x﹣3y）．
14．若分式的值为0，则x＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣2＝0且x﹣4≠0，
解得x＝2且x≠4，
∴x＝2．
故答案为：2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积为20，则平移距离为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC•BE＝20，即5BE＝20，
∴BE＝4，
即平移距离等于4．
故答案为：4．
16．如图，直线y1＝﹣x+a与y2＝bx﹣4相交于点P，已知点P的坐标为（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a≤bx﹣4的解集是 x≥1 ．
【答案】x≥1．
【解答】解：∵直线y1＝﹣x+a与y2＝bx﹣4相交于点P，已知点P的坐标为（1，﹣3），
∴关于x的不等式﹣x+a≤bx﹣4的解集是x≥1．
故答案为：x≥1．
17．宜宾市与甲、乙两地的距离分别为320千米和250千米，从宜宾市开往甲地高铁的速度比从宜宾市开往乙地高铁的速度快70千米/时，结果从宜宾市到甲、乙两地所需时间相同．求从宜宾市到甲、乙两地高铁的速度分别是多少千米/时？设从宜宾市开往乙地高铁的速度为x千米/时，则可列方程为 ＝ ．
【答案】＝．
【解答】解：设从宜宾市开往乙地高铁的速度为x千米/时，则从宜宾市开往甲地高铁的速度为（x+70）千米/时，
根据题意可得＝．
故答案为：＝．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解不等式组：．
【答案】1＜x＜5．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞1；
解不等式②，得 x＜5；
∴原不等式组的解集为1＜x＜5．
（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝x+2，
当x＝3时，原式＝3+2＝5．
21．（8分）在如图所示的直角坐标系中，画图并解答下列问题：
（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）A（2，0），B（﹣1，﹣4）；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）A（2，0），B（﹣1，﹣4）；
（2）如图，△AB1C1为所作，
（3）△ABC的面积＝4×4﹣﹣﹣＝．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF（AAS），
∴DE＝BF＝4，
在Rt△BFN中，由勾股定理得：BN＝＝＝5．
23．（10分）【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【答案】【三角形中位线定理】见解析；
【应用】135°；
【拓展】见解析．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NH＝BD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
24．（10分）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
【答案】（1）甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；
（2）书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
【解答】解：（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则1.4x＝1.4×20＝28，
答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；
（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，
由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，
∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，
解得：a≤500，
∵w随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元），
此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本）
答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
25．（10分）阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝ ；
（2）解决问题：因式分解；ac﹣bc+a2﹣b2．
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）（y+2）（x﹣9）；
（2）（a﹣b）（a+b+c）；
（3）这个三角形是等边三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）2x﹣18+xy﹣9y，
＝（2x﹣18）+（xy﹣9y），
＝2（x﹣9）+y（x﹣9），
＝（y+2）（x﹣9），
故答案为：（y+2）（x﹣9）；
（2）ac﹣bc+a2﹣b2
＝c（a﹣b）+（a+b）（a﹣b），
＝（a﹣b）（a+b+c），
（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：
a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在边BC上．
（1）如图1，将线段AD绕着点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接EB，判断线段EB，BD，AD的数量关系，并证明；
（2）在图2中，在线段BD取一点F，使得DF＝DC，以BF为斜边向△ABC外作等腰直角三角形BGF，连接AG．
①补全图形；
②判断线段AG与AD的数量关系，并证明．
【答案】（1）BE2+BD2＝2AD2，理由见解析；
（2）①补全图形见解析；
②AG＝AD，证明见解析．
【解答】解：（1）EB2+BD2＝2AD2，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由旋转的性质得：AE＝AD，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△EAB与△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠EBA＝∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
在Rt△BED中，由勾股定理得：EB2+BD2＝DE2，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴DE2＝2AD2，
∴EB2+BD2＝2AD2；
（2）①补全图形，如图2；
②线段AG与AD的数量关系为：AG＝AD，证明如下：
如图3，延长GF交AC于点H，连接DH、DG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵△BGF是以BF为斜边的等腰直角三角形，
∴BG＝FG，∠GBF＝∠BFG＝45°，∠BGF＝90°，
∴∠ABG＝∠ABC+∠GBF＝45°+45°＝90°，
∴∠BAH＝∠ABG＝∠BGH＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴∠AHG＝90°，BG＝AH＝FG，
∵∠HFC＝∠BFG＝45°，
∴∠HFC＝∠C＝45°，
∴△CHF是等腰直角三角形，
∵DF＝DC，
∴DF＝DH＝DC，∠HDF＝∠HDC＝90°，∠DHC＝∠FHD＝45°，
∴∠AHD＝∠AHG+∠FHD＝90°+45°＝135°，
∵∠GFD＝180°﹣∠BFG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHD＝∠GFD，
在△AHD和△GFD中，
，
∴△AHD≌△GFD（SAS），
∴AD＝DG，∠ADH＝∠GDF，
∴∠ADH+∠ADB＝∠GDF+∠ADB，
即∠HDF＝∠ADG＝90°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝AD．