八年级期末数学试卷03【北师大版】（原卷版+解析版）

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考卷信息:
本卷试题共 23 题，单选10题，填空5题，解答8题，满分 120 分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本册内容的具体情况!
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．若x＜y成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．x﹣2＞y﹣2C．﹣2x＞﹣2yD．x﹣y＞0
3．下列各式中，从左到右因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay+a＝a（x+y）
B．x2﹣4x+3＝（x+2）（x﹣2）+3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．y2+4y+4＝（y+2）2
4．下列各命题的逆命题一定成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45°D．两锐角都小于45°
7．已知关于x的方程有增根，则a的值为（ ）
A．4B．5C．6D．﹣5
8．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，连接DE，EF垂直平分AB，交AD于点G．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③∠C＝3∠BAD；④AG2﹣GD2＝CD2，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
10．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．因式分解：ab2﹣4a＝ ．
12．一个n边形的所有内角和等于540°，则n的值等于 ．
13．如图，若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），则不等式kx+b≤2的解集为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝38°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），点E是AD的中点，点P是线段BC上的一动点，当△DEP是以DE为腰的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（6分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
（6分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°．
（1）尺规作图，在AC上找到一点M，使MA＝MB（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）猜测AM与CM之间的数量关系，并证明你的猜测．
19．（8分）已知，如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BD上．∠BAE＝∠DCF，连接AF、EC．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
20．（11分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）求得AD的取值范围是 ；
A.6＜AD＜8 B.6≤AD≤8 C.1＜AD＜7 D.1≤AD≤7
【感倍】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中；
【问题解决】（3）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，猜想：
①∠AEB的度数；
②BC，AD，AB的数量关系，说明理由．
21．（12分）为推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现，A型电动公交车的单价比B型电动公交车的单价少4万元，用720万元购买A型电动公交车的数量与用800万元购买B型电动公交车的数量相同．
（1）A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元；
（2）该交通管理局计划购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不少于10辆且不超过B型电动公交车的两倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（12分）阅读理解并解答：
我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
（1）例如：①＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，
则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1；
②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7，
∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7，
则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是 ，这时相应的x的值是 ；
（2）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（3）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（4）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
23．（12分）如图，直线l1：与直线l2：y＝kx+2交于点，l1与x轴交于点B，l2与x轴交于点C．
（1）求直线l1和直线l2的表达式；
（2）点P是y轴上一点，点Q是直线l1上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且AC∥PQ，求点Q的坐标．