2023年春人教版八年级下册数学期末考试押题卷A（含原卷+解析版）

这是一份2023年春人教版八年级下册数学期末考试押题卷A（含原卷+解析版），共39页。试卷主要包含了下列算式中，运算错误的是等内容，欢迎下载使用。
选择题（每题3分，共24分）
1．下列算式中，运算错误的是 （ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是 （ ）
A．B．C．D．
3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是，下列说法中一定正确的是 （ ）
A．甲的总环数大于乙的总环数B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．甲、乙成绩的众数相同D．乙的成绩比甲的成绩波动小
5．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为 （ ）
A．6B．8C．10D．12
6．如图，的对角线相交于点O，点E是中点，若，的周长为10，则的周长为 （ ）
A．20B．24C．28D．32
7．已知是一次函数图象上的不同的两个点，若，则k的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
8．如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为 （ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．式子有意义，则x的取值范围是_____．
10．两个最简二次根式与可以合并，则_____．
11．如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为___________．
12．如图，在中，，，E、F分别为边、上的点，沿将折叠，使点A落在边的中点处，若，则线段的长度为______．
13．在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间________时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
14．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为_________．
15．如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为 __________．
16．小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离s（单位：m）与时间t（单位：min）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为________m．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：.
18．已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．求证：．
19．已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数表达式；
(2)试判断点是否在此一次函数的图象上．
20．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元?
21．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如下，解答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽测了 名学生；
(2)参加抽测的学生的视力的众数在 范围内；中位数在 范围内；
(3)若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？
22．如图，直线：与直线：相交于点．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值．
23．（1）如图1，在中，，，垂足分别为E、F，求证：；
探究：（2）如图2，在中，AC、BD是两条对角线，则，请探究这个结论的正确性；
迁移：（3）如图3，AD是的中线，若，，，直接写出边长 ．
24．在一条笔直的公路上有A，B两地．小佳骑自行车从A地到B地，中途休息了一段时间后以原速继续行驶到B地；在小佳出发的同时小伟骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路原速返回，结果两人同时到B地．如图是小佳和小伟两人离B地的距离y（单位：km）与小伟行驶时间x（单位：h）之间的函数图象．
(1)求小佳骑自行车的速度；
(2)求小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若两人之间的距离不超过10 km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间x的取值范围．
25．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
2023春人教版八下数学期末考试押题卷A（解析版）
时间：120分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．下列算式中，运算错误的是 （ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．
【解析】解：A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、不是同类二次根式，不能合并，选项错误，符合题意；
D、，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
2．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是 （ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【解析】解：A．当，时，四边形可能为等腰梯形，故此选项符合题意；
B．当，时，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C．当，时，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限得出，求出取值范围即可．
【解析】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴，
解得.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握k和b与一次函数图像的位置之间的关系是解题的关系．即当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限；当，时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；当，时，一次函数的图像经过第一、二、四象限．
4．甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是，下列说法中一定正确的是 （ ）
A．甲的总环数大于乙的总环数B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．甲、乙成绩的众数相同D．乙的成绩比甲的成绩波动小
【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
【解析】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是9环，乙射击成绩的平均数是9环，
∴甲、乙的总环数相同，故A说法错误，不符合题意；
∵甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，甲的成绩比乙的成绩波动大，故B说法错误，不符合题意；D说法正确，符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故C说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差、平均数、众数的意义，熟练掌握方差、平均数的意义是解题的关键．
5．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为 （ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据矩形和折叠的性质可得，，从而得到，
，设，则，在中，根据勾股定理求x，即可得到结果．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设，在中运用勾股定理求x是解题的关键．
6．如图，的对角线相交于点O，点E是中点，若，的周长为10，则的周长为 （ ）
A．20B．24C．28D．32
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得到是的中点，进而得到为的中位线，得到的周长是的周长的倍，用的周长减去的长，得到的长，即可得解．
【解析】解：∵的对角线相交于点O，
∴，
∵点E是中点，
∴，
∴的周长，
∵的周长，
∴，
∴，
∴的周长；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．
7．已知是一次函数图象上的不同的两个点，若，则k的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【解析】将点A，点B坐标代入解析式可求，即可求解．
【解答】解：∵是一次函数图象上的不同的两个点，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出是关键，是一道基础题．
8．如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为 （ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点D作轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点D的纵坐标，由此即可得．
【解析】解：对于直线，
当时，，解得，即，，
当时，y＝﹣5，即，，
是等腰直角三角形，
∴，
由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短，
则是等腰直角三角形，
过点D作轴于点E，
∴点E是的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为，即为，
∴点D的横坐标为，
将代入直线得，
，
则点D的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．式子有意义，则x的取值范围是_____．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．两个最简二次根式与可以合并，则_____．
【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．
【解析】解：由题意得：
，
∴，
∴，
但当时，，不是最简二次根式，应舍去，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．
11．如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为___________．
【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，利用等积法求出的长即可．
【解析】解：∵在菱形中，对角线，的长分别为6，8，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形性质．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．
12．如图，在中，，，E、F分别为边、上的点，沿将折叠，使点A落在边的中点处，若，则线段的长度为______．
【分析】由折叠的性质可得，由勾股定理可求解．
【解析】解：由折叠的性质可得，
为等腰直角三角形，，
，
为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
13．在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间________时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则，
设运动时间为t秒，
当时，，，，，
∴，
解得：；
当时，，，，
∴，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分两种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．
14．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为_________．
【分析】如图，连接、，根据已知条件和正方形、矩形的性质可以得到当最小就是最小，然后利用垂线段最短即可求解．
【解析】解：如图，连接、，
正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，
四边形为矩形，，，，
，
最小时最小，
当于的时最小，
而当时，为的中点，
，
，，，
∴，
，
的长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理、直角三角形斜边中线性质，得出是解题的关键．
15．如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为 __________．
【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，则函数的图象经过点，进而得到方程的解．
【解析】解：∵一次函数的图象经过点，
∴一次函数的图象向右平移单位后，交x轴于点，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与平移，关键是正确利用数形结合的方法解决问题．
16．小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离s（单位：m）与时间t（单位：min）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为________m．
【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小仙家的距离．
【解析】解：小峰骑车的速度为（），
该十字路口与小峰家的距离为（），
故答案为：720．
【点睛】此题考查是函数的图像，掌握函数图像的横、纵坐标的实际意义是解决此题的关键．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：.
【分析】根据平方差公式以及求一个数的算术平方根与立方根进行计算即可求解．
【解析】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及求一个数的算术平方根与立方根，熟练掌握有上运算法则是解题的关键．
18．已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．求证：．
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再利用 证明即可证明．
【解析】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
19．已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数表达式；
(2)试判断点是否在此一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数解析式为，将点坐标代入即可求出的值，进而求解；
（2）将横坐标代入解析式，求得值，即可判断．
【解析】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵，在函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：由（1）知，函数解析式为：，
∴当时，，
∴点在一次函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握一次函数的一般形式是解题的关键．
20．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元?
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可．
【解析】解：连接AC
在Rt△ACD中，
∵CD＝3，AD＝4
∴AC＝=5
又∵BC＝12，AB＝13
∴AC2+BC2＝AB2
∴∠ACB＝90°
∴m2
∴共需24200＝4800元
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
21．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如下，解答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽测了 名学生；
(2)参加抽测的学生的视力的众数在 范围内；中位数在 范围内；
(3)若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？
【分析】（1）直接利用条形图得出样本容量；
（2）利用众数以及中位数的定义分别分析得出即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解析】（1）解：由图表可得出：30+50+40+20+10＝150（名）；
故答案为：150；
（2）解：∵4.25～4.55范围内的数据最多，
∴参加抽测的学生的视力的众数在4.25～4.55范围内；
∵150个数据最中间是：第75和76个数据，
∴中位数是第75和76个数据的平均数，
而第75和76个数据在4.25～4.55范围内，
∴中位数在4.25～4.55范围内；
故答案为：4.25～4.55，4.25～4.55；
（3）解：∵视力为4.9及以上为正常，样本中有20+10＝30（人），
∴（人），
答：该市学生的视力正常的人数约为6000人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数以及中位数的定义，利用样本估计总体，掌握基本的统计知识是解题的关键．
22．如图，直线：与直线：相交于点．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值．
【分析】（1）由点在直线：上，可得；由点在直线：上，可得，进而可得的值；
（2）由题意知，当时，；当时，．由，可得，计算求解即可．
【解析】（1）解：∵点在直线：上，
∴；
∵点在直线：上，
∴，解得，
∴；．
（2）解：由题意知，当时，；
当时，．
∵，
∴，
解得：或．
∴a的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．（1）如图1，在中，，，垂足分别为E、F，求证：；
探究：（2）如图2，在中，AC、BD是两条对角线，则，请探究这个结论的正确性；
迁移：（3）如图3，AD是的中线，若，，，直接写出边长 ．
【分析】（1）只需要利用证明即可证明；
（2）如图所示，过点C作于H，过点D作交延长线于G，先证明，得到，利用勾股定理得到，推出，，用即可推出；
（3）如图所示，延长到E使得，连接，证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，由（2）的结论可知，据此代值计算即可．
【解析】解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）这个结论正确，证明如下：
如图所示，过点C作于H，过点D作交延长线于G，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
得，
∵，
∴，
∴，即；
（3）如图所示，延长到E使得，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（2）的结论可知，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质于判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．
24．在一条笔直的公路上有A，B两地．小佳骑自行车从A地到B地，中途休息了一段时间后以原速继续行驶到B地；在小佳出发的同时小伟骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路原速返回，结果两人同时到B地．如图是小佳和小伟两人离B地的距离y（单位：km）与小伟行驶时间x（单位：h）之间的函数图象．
(1)求小佳骑自行车的速度；
(2)求小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若两人之间的距离不超过10 km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间x的取值范围．
【分析】（1）由函数图象读出小佳骑自行车的时间，由求出小佳骑自行车的速度；
（2）由函数图象读出小伟行驶的时间，由求出小伟行驶的速度，由相遇问题的数量关系直接求出结论；
（3）设小佳在休息前y与x之间的函数关系式为，上佳在休息后y与x之间的函数关系式为，小伟前往A地的距离y与小伟行驶时间x之间的关系式为，设小伟返回B地距离B地的距离y（km）与小伟行驶时间x（h）之间的关系式为，由待定系数法求出解析式，再建立不等式组求出其解即可．
【解析】（1）解：由题意，得．
∴小佳的速度为．
（2）解：．
当时，设小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式为．
把，代入，得解得
∴；
当时，小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式为；
当时，设小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式为．
把，代入，得解得
∴．
（3）解：设小佳在休息前y与x之间的函数关系式为，
由题意，得
，解得：，
∴，
设小佳在休息后y与x之间的函数关系式为，
由题意，得
，解得：，
∴，
设小伟前往A地的距离y与行驶时间x之间的关系式为，
由题意，得，
∴，
设小伟返回B地的距离y与行驶时间x之间的关系式为，
由题意，得，解得：，
∴，
当时，解得，
当时，解得：．
∴小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间x的取值范围为或．
【点睛】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，不等式组的解法，理解题意，从函数图象获取有用信息，求出一次函数的解析式是解题的关键．
25．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可；
②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（2）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；
②先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；
③根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可．
【解析】解：（1）①根据折叠可知，，
∵，
∴；
故答案为：；
②根据折叠可知，，，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
故答案为：2；
（3）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示：
②∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
③由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴菱形的边长为；
由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：；
故答案为：；；
（3）由折叠可知，，设，则，，
当时，在中，，
解得：，
∴此时；
当时，过点D作于点F，如图所示：
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴此时；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论.